圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典).pdf

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1、. . 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。 （2）与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 点 到 直 线 的 距 离 00 22 AxByC d AB 夹 角 公 式 ： 21 21 tan 1 kk k k （3）弦长公式 直线ykxb上两点 1122 (,),(,)A xyB xy间的距离： 2 12 1ABkxx 22 1212 (1)()4kxxx x或 122 1 1AByy k （4）两条直线的位置关系 1212 llk k=-1 212121 /bbkkll且 2、圆

2、锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0) xy mnmn mn 且 距离式方程： 2222 ()()2xcyxcya 参数方程：cos ,sinxayb (2)、双曲线的方程的形式有两种 . . 标准方程： 22 1(0) xy m n mn 距离式方程： 2222 |()()| 2xcyxcya (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 22 2 bb p aa 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知 21 FF 、是椭圆1 34 22 yx 的两个焦点，平面内一个动点M 满 足2 21 MFMF则动

3、点 M 的轨迹是（） A、双曲线； B、双曲线的一支； C、两条射线； D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式： 12 2 tan 2 F PF Pb在椭圆上时， S 12 2 cot 2 F PF Pb在双曲线上时， S （其中 222 12 121212 12 |4 ,cos,|cos | | PFPFc F PFPFPFPFPF PFPF ? uu u ru uu u ruu u r uuuu r ） (6)、记住焦半径公式：（1） 00 ;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 ，可简记为“左加右减，上加下减” 。 （2） 0 |xe xa双曲线焦点在轴上时为 （3） 1

4、1 |,| 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 11, y xA、 22,y xB，baM,为椭圆1 34 22 yx 的弦AB中点则有 . . 1 34 2 1 2 1 yx ，1 34 2 2 2 2 yx ；两式相减得0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 34 21212121 yyyyxxxx AB k= b a 4 3 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？ 经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消

5、去一个未知数，得到 一个二次方程， 使用判别式0，以及根与系数的关系， 代入弦 长公式，设曲线上的两点 1122 (,),(,)A x yB xy，将这两点代入曲线方 程得到 1 2 两个式子，然后 1 -2 ，整体消元 ，若有两个 字母未知数，则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系， 根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线 为ykxb，就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆8054 22 yx上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在 y 轴正半轴上） . （1）若三角形

6、ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程 ; （2）若角 A 为 0 90，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦 BC的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为 0 90可得 出 ABAC，从而得016)(14 212121 yyyyxx，然后利用联立消元 法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解： （ 1）设 B（ 1 x, 1 y） ,C( 2 x, 2 y),BC 中点为 ( 00, y x),F(2,0)则 有 . . 1 1620 , 1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1 y

7、xyx 两式作差有0 16 )( 20 )( 21212121 yyyyxxxx 0 45 00 kyx (1) F(2,0)为三角形重心，所以由2 3 21 xx ，得3 0 x，由0 3 4 21 yy 得 2 0 y，代入（ 1）得 5 6 k 直线 BC的方程为02856yx 2)由 ABAC 得016)(14 212121 yyyyxx（2） 设直线BC方程为8054, 22 yxbkxy代入，得 080510)54( 222 bbkxxk 2 21 54 10 k kb xx， 2 2 21 54 805 k b xx 2 22 21221 54 804 , 54 8 k kb y

8、y k k yy代入（ 2）式得 0 54 16329 2 2 k bb ，解得)(4 舍b或 9 4 b 直 线 过 定 点 （ 0，) 9 4 ， 设D （ x,y） ， 则1 4 9 4 x y x y ， 即 0163299 22 yxy 所以所求点 D 的轨迹方程是)4() 9 20 () 9 16 ( 222 yyx。 4、设而不求法 例 2、如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2，点 E 分有向线段 AC所成的比为， 双曲线过 C、 D、 E 三点， 且以 A、 B 为焦点当 4 3 3 2 时，求双曲线离心率e的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的

9、概念 . . 和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建 立直角坐标系xOy，如图，若设 Ch c , 2 ，代入1 2 2 2 2 b y a x ，求得hL， 进 而 求 得, EE xyLL再 代 入1 2 2 2 2 b y a x ， 建 立 目 标 函 数 ( , , , )0f a b c，整理( ,)0f e，此运算量可见是难上加难.我们对h可 采取设而不求的解题策略, 建立目标函数( , , , )0f a b c，整理( ,)0f e,化繁为简 . 解法一：如图，以AB 为垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴， 建立直角坐标系xOy，则 CDy轴因为双曲线经

10、过点C、D，且以 A、 B 为焦点，由双曲线的对称性知C、D 关于y轴对称 依题意，记 A0, c，Ch c , 2 ，E 00, y x，其中| 2 1 ABc为双 曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得 12 2 1 2 0 c c c x， 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，则离心率 a c e 由点 C、E 在双曲线上，将点C、E 的坐标和 a c e代入双曲线方 程得 1 4 2 22 b he ， 1 11 2 4 2 22 b he 由式得1 4 2 2 2 e b h ， . . 将式代入式，整理得 2144 4 2 e ， 故 1

11、 3 1 2 e 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析：考虑,AEAC为焦半径 ,可用焦半径公式 , ,AEAC用,E C的横坐 标表示，回避h的计算 , 达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，, EC AEaexACaex， 2 2 121 E c c c x，又 1 AE AC ，代入整理 1 3 1 2 e ，由题 设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例 3已知双曲线 1 22 : 22 xy C ，

12、 直线l过点0,2A， 斜率为k， 当10k 时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l的距离为2，试求k的 值及此时点 B 的坐标。 分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l平行的直线，必 与双曲线C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . . 0. 由此出发，可设计如下解题思路： 10)2(:kxkyl kkkxyl22 2 2: 的值解得k 解题过程略 . 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式 表达，即所谓“有且仅有一点

13、B 到直线l的距离为2” ，相当于化归 的方程有唯一解 . 据此设计出如下解题思路： 简解：设点)2,( 2 xxM为双曲线 C 上支上任一点，则点M 到直 线l的距离为： 2 1 22 2 2 k kxkx 10k 于是，问题即可转化为如上关于x的方程 . 由于10k，所以kxxx 2 2，从而有 把直线 l 的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 0 直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x的方程102 1 22 2 2 k k kxkx 有唯一解 . . .2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 ) 1(222 22 k

14、kxkx 02) 1(2 ,)2) 1(2(2 2 22 2 2 kxkk kxkkx .02)1(2 ,022)1(22)1(221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10k可知： 方程022) 1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk的二根同 正，故02) 1(2 2 kxkk恒成立，于是等价于 022)1(22) 1(221 2 2222 kkxkkkxk. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得 5 52 k. 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了 全局观念与整体思维的优越性. 例 4 已知椭圆 C:xy 22 28和点 P（4

15、，1） ，过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使 AP PB AQ QB ，求动点 Q 的轨迹所 在曲线的方程 . 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往 往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因 此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表 达，最后通过消参可达到解题的目的. . . 由于点),(yxQ的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点Q 在 直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件： AP PB AQ QB 来转化 .由 A、 B

16、、 P、Q 四点共线，不难得到 )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x ，要建立x与k的关系，只需 将直线 AB 的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可. 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于 如何解决本题，已经做到心中有数. 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点 Q 满足直线 AB 的方程： y = k (x4)+1，消去参数k 点 Q 的轨迹方程 QB AQ PB AP )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x kfx . . 在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参， 目的不过是得到关于yx,的方程（不含k）

17、 ，则可由1)4(xky解得 4 1 x y k，直接代入kfx即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过 程。 简解： 设),(),(, 2211 yxQyxByxA， 则由 QB AQ PB AP 可得： xx xx x x 2 1 2 1 4 4 ， 解之得： )(8 2)(4 21 2121 xx xxxx x（1） 设直线 AB 的方程为：1)4(xky，代入椭圆 C 的方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程： 08)41 (2)41(412 222 kxkkxk（2） . 12 8)41 (2 , 12 ) 14(4 2 2 21 2 21 k k xx k kk xx 代入（1），化

18、简得： . 2 34 k k x (3) 与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx 在（2）中，由0246464 2 kk，解得 4 102 4 102 k ，结合（3） 可求得 . 9 10216 9 10216 x 故知点 Q 的轨迹方程为：042yx（ 9 10216 9 10216 x）. 点评： 由方程组实施消元 ，产生一个标准的关于一个变量的一元 二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在 引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参” 三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. . . 6、求根公式法 例 5 设直线l过点 P

19、（0，3） ，和椭圆 xy 22 94 1顺次交于 A、B 两点， 试求 AP PB 的取值范围 . 分析：本题中，绝大多数同学不难得到： AP PB = B A x x ，但从此后却一 筹莫展 , 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取 值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个） 参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则 是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1:从第一条想法入手， AP PB = B A x x 已经是一个关系式，但由于 有两个变量 BA xx ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利 用第 3 个变量直线A

20、B的斜率k. 问题就转化为如何将 BA xx ,转化 为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得 出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 所求量的取值范围 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 xA= f（k） ，xB = g（k） 得到所求量关于k 的函数关系式 求根公式 AP/PB = （ xA / xB） 由判别式得出k 的取值范围 . . 简解 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得 5 1 PB AP ; 当l与 x 轴不垂直时，设)(, 2211 yxByxA，直线l的方程为： 3kxy，代入椭圆方程

21、，消去y得0455449 22 kxxk 解之得 . 49 59627 2 2 2,1 k kk x 因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑0k的情 形. 当0k时， 49 59627 2 2 1 k kk x， 49 59627 2 2 2 k kk x， 所以 2 1 x x PB AP = 5929 5929 2 2 kk kk = 5929 18 1 2 kk k = 2 5 929 18 1 k . 由049180)54( 22 kk, 解得 9 52 k， 所以 5 1 5 929 18 11 2 k ， 综上 5 1 1 PB AP . 分析 2: 如果想构

22、造关于所求量的不等式，则应该考虑到： 判别式 往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值 范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来 . 一般来说，韦达 定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因 在于 2 1 x x PB AP 不是关于 21,x x的对称关系式 . 原因找到后，解决问题的 . . 方法自然也就有了，即我们可以构造关于 21,x x的对称关系式 . 简解 2：设直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得 0455449 22 kxxk（*） 则 . 49 45 , 49 54 2 21 221 k xx k k xx 令 2 1

23、 x x ，则， . 2045 324 2 1 2 2 k k 在（*）中，由判别式,0可得 9 52 k， 从而有 5 36 2045 324 4 2 2 k k ，所以 5 36 2 1 4，解得 5 5 1 . 把直线 l 的方程 y = kx+3代入椭圆方程， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA+ xB = f（k） ，xA xB = g（k） 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = （ xA / xB） 由判别式得出k 的取值范围 . . 结合10得1 5 1 . 综上， 5 1 1 PB AP . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判

24、别式法，均值 不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题 也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有 见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。 以已知的真实数学命题， 即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。 在推理过程中， 必须注意所使用的命题 之间的相互关系（充分性、必要性、充要性

25、等），做到思考缜密、推 理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。 例 6 椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点， 且1FBAF ， 1OF （）求椭圆的标准方程； （）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问：是否 存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程; 若不存在，请说明理由。 思维流程： . . （） （） 消元 解题过程： （）如图建系，设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ,则1c 又1FBAF即 22 () ()1acacac ， 2 2a 故椭圆方程为 2 2 1 2 x y （）假设存在直线l交椭

26、圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂心， 则 2,1ab 写出椭圆方程 由1AFFB? uu u ruu u r ，1OF uu u r ()()1ac ac，1c 1 PQ k由 F为PQM的重心,PQMF MPFQ 22 22 yxm xy 22 34220xmxm 两根之和， 两根之积0MPFQ? uuuruuu r 得出关于 m 的方程 解出 m . . 设 1122 (,),(,)P x yQ xy，(0,1),(1,0)MF，故1 PQ k， 于 是 设 直 线l为yxm， 由 22 22 yxm xy 得 ， 22 34220xmxm 1221 0(1)(1)MP FQx xyy

27、uuu r uuu r 又(1,2) ii yxm i 得 1221 (1)()(1)0x xxmxm即 2 1212 2()(1)0x xxxmmm由韦达定理得 2 2 224 2(1)0 33 mm mmm 解得 4 3 m或 1m（舍）经检验 4 3 m符合条件 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两 向量乘积为零 例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点， 焦点在坐标轴上， 且经过 ( 2,0)A、(2,0)B、 3 1, 2 C三点 （）求椭圆E的方程： （）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，( 1,0),(1,0)FH， 当DFH内切圆的面积最大时，求DFH内

28、心的坐标； . . 思维流程： （） （） 解题过程：（）设椭圆方程为1 22 nymx0,0 nm ， 将 ( 2,0)A、(2,0)B、 3 (1, ) 2 C代入椭圆E的方程，得 41, 9 1 4 m mn 解得 11 , 43 mn.椭圆E的方程 22 1 43 xy 得出D点坐标为 3 3 ,0 由椭圆经过A、B、C三点设方程为1 22 nymx 得 到 nm, 的 方 程 解出nm, 由 DFH 内切圆面积最大转化为 DFH 面积最大 转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点 DFH面积最大值为3内切圆 周长rS DFH 2 1 3 3 内切圆 r . . （）|2FH

29、，设DFH边上的高为hhS DFH 2 2 1 当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以 DFH S的最大值为3 设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值6所以， 6 2 1 RS DFH 所以R的最大值为 3 3 所以内切圆圆心的坐标为 3 (0,) 3 . 点石成金： 的内切圆的内切圆 的周长rS 2 1 例 8、已知定点)01(，C及椭圆53 22 yx，过点C的动直线与椭圆 相交于AB，两点. （）若线段AB中点的横坐标是 1 2 ，求直线AB的方程； （）在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在， 求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程： （） 解： 依题

30、意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)yk x， 将(1)yk x代入53 22 yx， 消去y整理得 2222 (31)6350.kxk xk 设 1122 ()()A xyB xy， 则 422 2 122 364(31)(35)0 (1) 6 . (2) 31 kkk k xx k ， 由线段AB中点的横坐标是 1 2 ，得 2 12 2 31 2312 xxk k ，解得 3 3 k，符合题意。 所以直线AB的方程为310xy，或310xy. （）解：假设在x轴上存在点(,0)M m，使MBMA为常数. . . 当 直 线AB与x轴 不 垂 直 时 ， 由 （ ） 知 22

31、1212 22 635 . (3) 3131 kk xxx x kk ， 所以 2 12121212 ()()()()(1)(1)MA MBxm xmy yxm xmkxx u uu r uu u r 2222 1212 (1)()().kx xkmxxkm将(3)代入，整理得 2 2 22 22 114 (2)(31)2 (61)5 33 3131 mkm mk MA MBmm kk u uu r uu u r 2 2 1614 2. 33(31) m mm k 注意到 MBMA是与k无关的常数，从而有 7 6140 3 mm， 此时 4 . 9 MA MB u uu r uu u r 当

32、直 线AB与x轴 垂 直 时 ， 此 时 点AB，的 坐 标 分 别 为 22 11 33 ，、，当 7 3 m时， 亦有 4 . 9 MA MB uuu r uuu r 综上，在x轴上存在定点 7 0 3 M ，使MBMA为常数 . 点石成金： 2 2 22 22 114 (2)(31)2 (61)5 33 3131 mkm mk MA MBmm kk uuu r uuu r 2 2 1614 2. 33(31) m mm k 例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点 M（2，1） ，平行于 OM 的直线l在 y 轴上的截距为 m（m 0） ，l交椭圆于

33、A、B 两个不同点。 （）求椭圆的方程； （）求 m 的取值范围； （）求证直线MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. . . 思维流程： 解： （1）设椭圆方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 则 2 8 1 14 2 2 2 22 b a ba ba 解得椭圆方程为 1 28 22 yx （）直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM= 2 1 mxyl 2 1 的方程为： 由0422 1 28 2 1 22 22 mmxx yx mxy 直 线l与 椭 圆 交 于A 、 B两 个 不 同 点 ， 0, 22 ,0)42(4)2( 22 mm mm

34、且解得 （） 设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可 设42,2),(),( 2 21212211 mxxmxxyxByxA且 则 2 1 , 2 1 2 2 2 1 1 1 x y k x y k 由可得0422 2 2 mmxx 42,2 2 2121 mxxmxx 而 )2)(2( )2)(1()2() 1( 2 1 2 1 21 1221 2 2 1 1 21 xx xyxy x y x y kk . . )2)(2( )1(4)2)(2(42 )2)(2( )1(4)(2( )2)(2( )2)(1 2 1 ()2)(1 2 1 ( 21 2 2

35、1 2121 21 1221 xx mmmm xx mxxmxx xx xmxxmx 0 0 )2)(2( 444242 21 21 22 kk xx mmmm 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金：直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形0 21 kk 例 10、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率 3 32 e，过),0(),0,(bBaA的直 线到原点的距离是. 2 3 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且C，D都 在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程： 解 ： （ 1 ） ,

36、3 32 a c 原 点 到 直 线AB： 1 b y a x 的 距 离 .3,1 . 2 3 22 ab c ab ba ab d . 故所求双曲线方程为 .1 3 2 2 y x （ 2 ） 把335 22 yxkxy代入中 消 去y， 整 理 得 07830)31( 22 kxxk. . . 设CDyxDyxC),(),( 2211 的中点是),( 00yxE，则 . 11 , 31 5 5 31 15 2 0 0 2 00 2 21 0 kx y k k kxy k kxx x BE ,0 00 kkyx 即7,0,0 31 5 31 15 2 22 kkk k k k k 又 故所

37、求k=7. 点石成金 : C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBECD; 例 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的 点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1 （）求椭圆C的标准方程； （II ）若直线:ly=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是 左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 求证： 直线l过定点，并求出该定点的坐标 思维流程： 解： （）由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由已知得：31acac， 222 21 3 ac bac ， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （II ）设 1122 ()()A xyB

38、 xy， 联立 22 1. 43 ykxm xy ， 得 222 (34)84(3)0kxmkxm，则 . . 222222 12 2 2 12 2 6416(34)(3)0340 8 34 4(3) . 34 m kkmkm mk xx k m x x k ，即， ， 又 22 22 121212122 3(4) ()()() 34 mk y ykxm kxmk x xmk xxm k 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)D， 1 ADBD kk，即1 22 2 2 1 1 x y x y . 121212 2()40y yx xxx 222 222 3(4)4(3)15 40 34

39、3434 mkmmk kkk 22 71640mmkk 解得： 12 2 2 7 k mkm，且均满足 22 340km 当 1 2mk时，l的方程(2)yk x，直线过点(2 0)，与已知矛盾； 当 2 2 7 k m时，l的方程为 2 7 ykx，直线过定点 2 0 7 ， 所以，直线l过定点，定点坐标为 2 0 7 ， 点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CACB; 例 12、已知双曲线)0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右两个焦点分别为 21 FF 、, 点 P在双曲线右支上 . （）若当点 P的坐标为) 5 16 , 5 413 (时, 21 PFPF,求

40、双曲线的方程； （） 若|3| 21 PFPF,求双曲线离心率e的最值 ,并写出此时双曲线的渐 进线方程 . 思维流程： 解： （）(法一)由题意知 , 1 PF) 5 16 , 5 413 ( c, 2 PF) 5 16 , 5 413 (c, . . 21 PFPF, 0 21 PFPF) 5 413 ( c0) 5 16 () 5 413 ( 2 c（1 分） 解得5,25 2 cc. 由双曲线定义得 : ,2| 21 aPFPF 2222 ) 5 16 () 5 413 5() 5 16 () 5 413 5(2a 6)341()341( 22 ,4, 3 ba 所求双曲线的方程为 :

41、 1 169 22 yx (法二) 因 21 PFPF,由斜率之积为1,可得解. （）设 2211 | ,|rPFrPF, ( 法 一 ) 设P的 坐 标 为),(yx, 由 焦 半 径 公 式 得 aexexarexaexar|,| 21 , c a xaexexarr 2 21 2 ),(3,3, 2 , 2 a c a axca2， e的最大值为 2,无最小值 . 此时31,2 2 22 e a ac a b a c , 此时双曲线的渐进线方程为xy3 (法二)设 21PF F,0(. (1)当时, 22121 423,2rcrrcrr，且, 221 22rrra 此时2 2 4 2 2 2 2 r r a c e. (2)当），（0,由余弦定理得 : cos610cos22 2 2 2 221 2 2 2 1 2 rrrrrrc）（ 2 cos610 2 cos610 2 2 2 2 r r a c e, ) 1, 1(cos,)2, 1(e,综上,e的最大值为 2,但e无最小值 . (以下 法一) . .