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1、1 2009 年浙江省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分） 1 （ 5 分） （2009?浙江）设U=R，A=x|x 0，B=x|x 1 ，则 A ?UB=（） Ax|0 x 1 Bx|0 x 1 C x|x 0 Dx|x 1 【考点】 交、并、补集混合运算 【专题】 集合 【分析】 欲求两个集合交集，先得求集合CUB，再求它与 A 交集即可 【解答】 解：对于 CUB=x|x 1 ， 因此 A CUB=x|0 x 1， 故选 B 【点评】 这是一个集合常见题，属于基础题之列 2 （ 5分） （2009?浙江）已知a，b 是实数，则
2、“ a0 且 b0” 是 “ a+b0 且 ab0” （） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件判断 【专题】 简易逻辑 【分析】 考虑 “ a0 且 b0” 与 “ a+b0 且 ab0” 互推性 【解答】 解：由 a0 且 b0? “ a+b0 且 ab0” ， 反过来 “ a+b0 且 ab 0” ? a0 且 b0， “ a 0且 b 0” ? “ a+b0 且 ab0” ， 即“ a 0且 b 0” 是“ a+b0 且 ab0” 充分必要条件， 故选 C 【点评】 本题考查充分性和必要性，此题考得几率
3、比较大，但往往与其他知识结合在一起考 查 3 （ 5 分） （2009?浙江）设复数z=1+i （i 是虚数单位） ，则+z2=（） A 1i B 1+i C1i D 1+i 【考点】 复数代数形式混合运算 【专题】 数系扩充和复数 【分析】 把复数 z 代入表达式化简整理即可 【解答】 解：对于， 故选 D 【点评】 本小题主要考查了复数运算和复数概念，以复数运算为载体，直接考查了对 于复数概念和性质理解程度 4 （ 5 分） （2009?浙江）在二项式展开式中，含x4项系数是（ ） A 10 B10 C 5 D5 2 【考点】 二项式定理 【专题】 二项式定理 【分析】 利用二项展开式通项
4、公式求出第r+1 项，令 x 指数为4 求得 【解答】 解：对于， 对于 103r=4， r=2， 则 x4项系数是C52（ 1）2=10 故选项为 B 【点评】 二项展开式通项是解决二项展开式特定项问题工具 5 （ 5 分） （2009?浙江）在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面 BB1C1C 中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角大小是（） A30 B45 C60 D90 【考点】 空间中直线与平面之间位置关系 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 本题考查知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D 点做 BC 垂线，垂足为 E，则 DE
5、底面 ABC ，且 E 为 BC 中点， 则 E 为 A 点在平面 BB1C1C 上投影， 则 ADE 即为所求线面夹角，解三角形即可求解 【解答】 解：如图，取BC 中点 E，连接 DE、 AE、AD ， 依题意知三棱柱为正三棱柱， 易得 AE 平面 BB1C1C，故 ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成角 设各棱长为1，则 AE=， DE=，tanADE=， ADE=60 故选 C 【点评】求直线和平面所成角时，应注意问题是：（1） 先判断直线和平面位置关系 （ 2） 当直线和平面斜交时，常用以下步骤： 构造作出或找到斜线与射影所成角； 设 定论证所作或找到角为所求角； 计算常用解
6、三角形方法求角； 结论 点明斜线和平面所成角值 6 （ 5 分） （2009?浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出k 值是（） 3 A4 B5 C6 D7 【考点】 程序框图 【专题】 算法和程序框图 【分析】 根据流程图所示顺序，逐框分析程序中各变量、各语句作用可知：该程序作 用是计算满足S= 100 最小项数 【解答】 解：根据流程图所示顺序，程序运行过程中各变量值变化如下表： 是否继续循环S K 循环前 /0 0 第一圈是1 1 第二圈是3 2 第三圈是11 3 第四圈是2059 4 第五圈否 最终输出结果k=4 故答案为 A 【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序运行结果，是算法
7、这一模块最重要题型，其处 理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算类型， 又要分析出参与计算数据（如果参与运算数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管 理） ? 建立数学模型，根据第一步分析结果，选择恰当数学模型 解模 7 （ 5 分） （2009?浙江）设向量，满足： | |=3，| |=4，?=0以，模为 边长构成三角形，则它边与半径为1 圆公共点个数最多为（） A3 B4 C5 D6 【考点】 直线与圆相交性质；向量模；平面向量数量积运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆半径，进而看 半径为 1
8、 圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆位置稍一右移或其他变化，能实现 4 个交点情况，进而可得出答案 【解答】 解： 向量 a?b=0，此三角形为直角三角形，三边长分别为3， 4，5，进而可知 其内切圆半径为1， 4 对于半径为1 圆有一个位置是正好是三角形内切圆，此时只有三个交点， 对于圆位置稍一右移或其他变化，能实现4 个交点情况， 但 5 个以上交点不能实现 故选 B 【点评】 本题主要考查了直线与圆位置关系可采用数形结合结合方法较为直观 8 （ 5 分） （2009?浙江）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax 图象不可能是（） AB CD 【考点】 正弦函数图象 【专题】 三
9、角函数图像与性质 【分析】 函数 f（x）=1+asinax 图象是一个正弦曲线型图，其振幅为|a|，周期为， 周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象 【解答】 解：对于振幅大于1 时， 三角函数周期为：， |a| 1， T2 ， 而 D 不符合要求，它振幅大于1，但周期反而大于了2 对于选项 A，a1， T2 ，满足函数与图象对应关系， 故选 D 【点评】 由于函数解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相 互制约，这是本题关键 9 （ 5 分） （2009?浙江）过双曲线=1（a 0，b0）右顶点A 作斜率为 1 直 线，该直线与双曲线两条渐近线交点分别为B、 C若=
10、，则双曲线离心率是 （） ABCD 【考点】 直线与圆锥曲线综合问题；双曲线简单性质 【专题】 圆锥曲线定义、性质与方程 5 【分析】 分别表示出直线l 和两个渐近线交点，进而表示出和， 进而根据=求 得 a 和 b 关系，进而根据c2a2=b2，求得 a和 c 关系，则离心率可得 【解答】 解：直线l：y= x+a 与渐近线 l1：bxay=0 交于 B（ ，） ， l 与渐近线l2：bx+ay=0 交于 C（，） ，A（a， 0） ， =（，） ，=（，） ，=， =， b=2a， c2 a 2=4a2， e2=5，e=， 故选 C 【点评】 本题主要考查了直线与圆锥曲线综合问题要求学生有
11、较高地转化数学思想运 用能力，能将已知条件转化到基本知识运用 10 （5 分） （2009?浙江）定义A B=x|x A 且 x?B ，若 P=1 ，2，3，4 ，Q=2 ，5 ，则 QP=（） AP B5 C1， 3，4 D Q 【考点】 集合包含关系判断及应用 【专题】 集合 【分析】 理解新运算， 根据新定义A B 知道， 新集合AB 是由所有属于A 但不属于 B 元素组成 【解答】 解： QP 是由所有属于Q 但不属于P元素组成，所以Q P=5 故选 B 【点评】 本题主要考查了集合运算，是一道创新题，具有一定新意要求学生对新定义 AB 有充分理解才能正确答 二、填空题（共7 小题，每
12、小题4 分，满分 28 分） 11 （4 分） （2009?浙江）设等比数列an公比，前 n 项和为 Sn，则=15 【考点】 等比数列性质 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 先通过等比数列求和公式，表示出S4，得知 a4=a1q3，进而把a1和 q 代入 约 分化简可得到答案 6 【解答】 解：对于， 【点评】 本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式应用属基础题 12 （4 分） （2009?浙江）若某个几何体三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体体 积是18cm3 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 立体几何 【分析】 由图可知，图形由两个体积相同长方体组成，求出其中一个
13、体积即可 【解答】 解：由图可知，底下长方体底面长为3，宽为 1，底面积为3 1=3，高为 3，因 此体积为3 3=9； 上面长方体底面是个正方形，边长为3，高为 1，易知与下面长方体体积相等， 因此易得该几何体体积为9 2=18 【点评】 本题考查学生空间想象能力，是基础题 13 （4 分） （2009?浙江）若实数 x， y 满足不等式组， 则 2x+3y 最小值是4 【考点】 简单线性规划 【专题】 不等式解法及应用 【分析】 先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点坐标，将坐标逐一代入目标函 数，验证即得答案 【解答】 解：如图即为满足不等式组可行域， 由图易得：当x=2，y=0
14、时， 2x+3y=4 ； 当 x=1，y=1 时， 2x+3y=5 ； 当 x=4，y=4 时， 2x+3y=20 ， 因此，当x=2，y=0 时， 2x+3y 有最小值4 7 故答案为4 【点评】 在解决线性规划小题时，我们常用“ 角点法 ” ，其步骤为： 由约束条件画出可 行域 ? 求出可行域各个角点坐标? 将坐标逐一代入目标函数? 验证，求出最优 解 14 （4 分） （ 2009?浙江） 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该 地区电网销售电价表如图： 高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷 月用 电
15、量 （单 位： 千瓦 时） 低谷 电价 （单 位： 元/ 千瓦 时） 50 及以下部分0.568 50 及以 下 部分 0.288 超过 50 至 200 部分0.598 超过 50 至 200 部 分 0.318 超过 200 部分0.668 超过 200 部 分 0.388 若某家庭5 月份高峰时间段用电量为200 千瓦时， 低谷时间段用电量为100 千瓦时， 则按 这种计费方式该家庭本月应付电费为148.4元（用数字作答） 【考点】 分段函数解析式求法及其图象作法 8 【专题】 函数性质及应用 【分析】 先计算出高峰时间段用电电费，和低谷时间段用电电费，然后把这两个电费相 加 【解答】
16、解：高峰时间段用电电费为50 0.568+150 0.598=28.4+89.7=118.1 （元） ， 低谷时间段用电电费为50 0.288+50 0.318=14.4+15.9=30.3 （元） ， 本月总电费为118.1+30.3=148.4 （元）， 故答案为： 148.4 【点评】 本题考查分段函数函数值求法，体现了分类讨论数学思想，属于中档题 15 （4 分） （2009?浙江）观察下列等式：观察下列等式： C+C=232， C+C+C=2 7+23， C+C+C+C=2112 5， C+C+C+C+C=215+27， 由以上等式推测到一个一般结论： 对于 n N*， C+C+C+
17、 +C=24n 1 +（ 1） n22n1 【考点】 二项式定理应用 【专题】 二项式定理 【分析】 通过观察类比推理方法结论由二项构成，第二项前有（1）n，二项指数分别为 24n 1，22n1 【解答】 解：结论由二项构成，第二项前有（1） n，二项指数分别为 24n 1，22n1， 因此对于n N * ，C4n+11+C4n+15+C4n+19+ +C4n+14n+1=24n 1+（ 1）n 2 2n1 故答案为24n 1+（ 1）n22n1 【点评】 本题考查观察、类比、归纳能力 16 （4 分） （2009?浙江）甲、乙、丙3 人站到共有7 级台阶上，若每级台阶最多站2 人， 同一级台
18、阶上人不区分站位置，则不同站法总数是336 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【专题】 排列组合 【分析】 由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7 个台阶上每一个只站一人，若 有一个台阶有2 人另一个是1 人，根据分类计数原理得到结果 【解答】 解：由题意知本题需要分组解决， 对于 7 个台阶上每一个只站一人有A73种； 若有一个台阶有2 人另一个是1人共有 C31A72种， 根据分类计数原理知共有不同站法种数是A73+C31A72=336 种 故答案为： 336 【点评】 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理 求和，得到总数分步要做到步骤完整完成
19、了所有步骤，恰好完成任务 9 17 （4 分） （2009?浙江）如图，在长方形ABCD 中， AB=2 ，BC=1 ，E 为 DC 中点， F 为 线段 EC（端点除外）上一动点，现将AFD 沿 AF 折起，使平面ABD 平面 ABC ，在平 面 ABD 内过点 D 作 DK AB，K 为垂足，设AK=t ，则 t 取值范围是（，1） 【考点】 平面与平面垂直性质；棱锥结构特征 【专题】 空间位置关系与距离；空间角；立体几何 【分析】 此题破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于 DC 中点时与随着F 点到 C 点时，分别求出此两个位置t 值即可得到所求答案 【解答】 解：此题破解可采用二个
20、极端位置法，即对于F 位于 DC 中点时，可得t=1， 随着 F 点到 C 点时，当C 与 F 无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2 因 CBAB ，CBDK ， CB平面 ADB ，即有 CB BD， 对于 CD=2 ，BC=1 ，在直角三角形CBD 中，得 BD=， 又 AD=1 ，AB=2 ，再由勾股定理可得BDA 是直角，因此有AD BD 再由 DK AB ，可得三角形ADB 和三角形AKD 相似，可得t=， 因此 t 取值范围是（， 1） 故答案为（，1） 【点评】 考查空间图形想象能力，及根据相关定理对图形中位置关系进行精准判断 能力 三、解答题（共5 小题，满分72 分） 1
21、8 （14 分） （2009?浙江）在 ABC 中，角 A、B、C 所对应边分别为a、b、c，且满足 =，?=3 （ ）求 ABC 面积； （ ）若 b+c=6，求 a值 【考点】 二倍角余弦；平面向量数量积运算；余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】 （） 利用二倍角公式利用=求得 cosA， 进而求得 sinA， 进而根据 求得 bc 值，进而根据三角形面积公式求得答案 （ ）根据 bc 和 b+c 值求得b 和 c，进而根据余弦定理求得a 值 【解答】 解： （）因为， 10 ， 又由， 得 bccosA=3， bc=5， （ ）对于 bc=5，又 b+c=6， b=5，c=1 或 b=
22、1，c=5， 由余弦定理得a2=b 2+c22bccosA=20 ， 【点评】 本题主要考查了解三角形问题涉及了三角函数中倍角公式、余弦定理和三角 形面积公式等，综合性很强 19 （14 分） （2009?浙江）在1，2，3 ，9，这 9 个自然数中，任取3 个数 （ ）求这 3 个数中，恰有一个是偶数概率； （ ）记 为这三个数中两数相邻组数，（例如：若取出数1、2、3，则有两组相邻 数 1、2 和 2、3，此时 值是 2） 求随机变量 分布列及其数学期望E 【考点】 等可能事件概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量期望与方差； 组合及组合数公式 【专题】 概率与统计 【分析】（I）
23、由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含所有事件是从9 个数字中选3 个，而满足条件事件是3 个数恰有一个是偶数，即有一个偶数和两个奇数根据概率公式 得到结果 （2）随机变量 为这三个数中两数相邻组数，则 取值为0，1，2，当变量为0 时表示 不包含相邻数，结合变量对应事件写出概率和分布列，算出期望 【解答】 解： （I）由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含所有事件是C93， 而满足条件事件是3 个数恰有一个是偶数共有C41C5 2 记“ 这 3 个数恰有一个是偶数” 为事件 A， ； （II ）随机变量 为这三个数中两数相邻组数， 则 取值为0，1，2， 当变量为0 时表示不包含相邻数
24、P（ =0）=， P（ =1）=，P（ =2）= 分布列为 0 1 2 p 11 数学期望为 【点评】 本题考查离散型随机变量分布列，求离散型随机变量分布列和期望是近年来理 科高考必出一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大 20 （14 分） （2009?浙江）如图，平面PAC平面 ABC ，ABC 是以 AC 为斜边等腰直 角三角形， E，F， O 分别为 PA，PB，AC 中点， AC=16 ，PA=PC=10 （ ）设 G 是 OC 中点，证明：FG平面 BOE； （ ）证明：在 ABO 内存在一点M，使 FM平面 BOE，并求点M 到 OA，OB 距离 【考
25、点】 直线与平面平行判定；点、线、面间距离计算 【专题】 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何 【分析】 由于 PAC平面 ABC ，ABC 是以 AC 为斜边等腰直角三角形，O 为 AC 中 点， AC=16 ，PA=PC=10，所以 PO、OB、OC 是两两垂直三条直线， 因此可以考虑用空间向量解决：连接OP，以 O 为坐标原点，分别以OB、OC、OP 所在直 线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 对于（ I） ，只需证明向量FG 与平面 BOE 一个法向量垂直即可，而根据坐标，平面一 个法向量可求，从而得证； 对于（ II） ，在第一问基础上，课
26、设点M 坐标，利用FM 平面 BOE 求出 M 坐标， 而其道 OA 、OB 距离就是点M 横纵坐标绝对值 【解答】 证明： （I）如图，连接OP，以 O 为坐标原点，分别以OB、OC、OP 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则 O（0，0，0） ，A（0， 8，0） ，B（8，0，0） ，C（0，8，0） ，P（0，0，6） ，E（0， 4，3） ，F（4，0， 3） ， （3 分） 由题意得， G（0，4，0） ，因， 因此平面 BOE 法向量为，） 得，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有FG平面 BOE （6 分） （II ）设点 M 坐标为（ x0
27、，y0，0） ，则 ， 因为 FM 平面 BOE， 所以有，因此有， 即点 M 坐标为（8 分） 12 在平面直角坐标系xoy 中， AOB 内部区域满足不等式组， 经检验，点M 坐标满足上述不等式组， 所以在 ABO 内存在一点M，使 FM 平面 BOE， 由点 M 坐标得点M 到 OA ，OB 距离为 （12 分） 【点评】 本题考查直线与平面平行判定以及距离问题，建立了空间坐标系，所有问题就 转化为向量运算，使得问题简单，解决此类问题时要注意空间向量使用 21 （15 分） （2009?浙江）已知椭圆C1：（ab 0）右顶点A（1，0） ，过 C1 焦点且垂直长轴弦长为1 （ ）求椭圆
28、C1方程； （ ）设点 P在抛物线C2：y=x 2+h（h R）上， C 2在点 P 处切线与C1交于点 M，N当 线段 AP 中点与MN 中点横坐标相等时，求h 最小值 【考点】 圆锥曲线综合；椭圆标准方程 【专题】 圆锥曲线定义、性质与方程；圆锥曲线中最值与范围问题 【分析】（I）根据题意，求出a，b 值，然后得出椭圆方程 （II ）设出 M，N，P 坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据判断最值即可 【解答】 解： （I）由题意得， 所求椭圆方程为， （II ）不妨设M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，P（t，t2+h） ， 则抛物线 C2在点 P 处切线斜率为 y|x=t=2t，
29、直线 MN 方程为y=2tx t2+h，将上式代入椭圆 C1方程中， 得 4x2+（2txt2+h）24=0， 即 4（1+t 2） x24t（t2h）x+（t2h）24=0， 因为直线MN 与椭圆 C1有两个不同交点， 13 所以有 1=16 t4+2（h+2）t2 h2+40， 设线段 MN 中点横坐标是x3， 则， 设线段 PA 中点横坐标是x4， 则，由题意得x3=x4， 即有 t2+（1+h）t+1=0， 其中 2=（1+h） 24 0， h 1 或 h 3； 当 h 3 时有 h+20，4h20， 因此不等式 1=16t4+2（h+2）t2h2+40 不成立； 因此 h 1，当 h
30、=1 时代入方程t 2+（1+h）t+1=0 得 t=1， 将 h=1，t=1 代入不等式 1=16t4+2（h+2）t2h2+40 成立，因此 h 最小值为1 【点评】 本题考查圆锥图象综合利用，椭圆方程应用，通过构造一元二次方程，利用根 判别式计算，属于中档题 22 （15 分） （2009?浙江）已知函数f（x）=x 3（k2 k+1）x2+5x2，g（x）=k2x2+kx+1 ， 其中 k R （ ）设函数 p（x）=f（x）+g（x） 若 p（x）在区间（ 0，3）上不单调，求k 取值范围； （ ）设函数是否存在k，对任意给定非零实数x1，存在惟 一非零实数x2（ x2 x1） ，使
31、得 q （x2）=q（x1）？若存在，求k 值；若不存在，请说明 理由 【考点】 利用导数研究函数单调性；函数单调性与导数关系 【专题】 导数综合应用 【分析】（I）因 P（x）=f（x）+g（x）=x 3+（k1）x2+（ k+5） x1，先求导数： p （x） ， 因 p（x）在区间（ 0，3）上不单调，得到p（x）=0 在（ 0，3）上有实数解，且无重根，再 利用分离参数方法得出，最后再 利用导数求出此函数值域即可； （II ）先根据题意得出当k=0 时不合题意， 因此 k 0，下面讨论 k 0 情形， 分类讨论：（） 当 x10 时， （ ）当 x1 0 时，最后综合（ ） （）即可得
32、出k 值 【解答】 解析： （I）因 P（ x）=f（ x）+g（ x）=x 3+（k 1）x2+（k+5）x1， p （x）=3x 2+2（k1）x+（k+5） ， 因 p（x）在区间（ 0，3）上不单调，所 以 p （x）=0 在（ 0，3）上有实数解，且无重根， 由 p （x）=0 得 k（2x+1）=（ 3x22x+5 ） ， ， 14 令 t=2x+1 ，有 t （1， 7） ，记， 则 h（t）在（ 1，3上单调递减，在3，7）上单调递增，所 以有 h（ t） 6，10） ，于是， 得 k （ 5， 2，而当 k=2 时有 p （x）=0 在（ 0，3）上有两个相等实根x=1，故舍
33、 去， 所以 k （ 5， 2） ； （II ）当 x 0 时有 q （x） =f（x）=3x 22（k2k+1）x+5； 当 x0 时有 q （x） =g（x）=2k2x+k ， 因为当 k=0 时不合题意，因此k 0， 下面讨论k 0 情形，记A= （k，+） ，B=（5，+） （ ）当 x10 时， q （x）在（ 0，+）上单调递增， 所以要使q（x2）=q （x1）成立，只能 x20 且 A? B， 因此有 k 5， （ ）当 x10 时， q （x）在（ ，0）上单调递减， 所以要使q（x2）=q （x1）成立，只能 x20 且 A? B， 因此 k 5，综合（ ） （）k=5； 当 k=5 时 A=B ，则 ?x10，q （x1） B=A ，即 ?x2 0， 使得 q （x2）=q （ x1）成立， 因为 q （x）在（ 0， +）上单调递增，所以x2值是唯一； 同理， ?x10，即存在唯一非零实数 x2（x2 x1） ， 要使 q （x2）=q （ x1）成立，所以k=5 满足题意 【点评】 本题主要考查导函数正负与原函数单调性之间关系，即当导函数大于0时原 函数单调递增， 当导函数小于0 时原函数单调递减， 同时考查了分析与解决问题综合能力， 属于中档题