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1、1 平面向量专题复习 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 2零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB u uu r 共线的单位向量是 | AB AB u uu r u uu r )； 4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规 定零向量和任何向量平行。 提醒： 相等向
2、量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线 平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！ （因为有0 r ) ； 三点 ABC、 、 共线ABAC uuu ruuu r 、共线； 6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如 例 1： （ 1）若ab rr ，则ab rr 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 ABDC u uu ruuur ，则ABCD是平行四边形。 （4）若ABCD是平行四边形，则ABDC uuu ruuu r 。 （ 5）若,a
3、b bc rr rr ，则 ac rr 。 （6）若/ ,/ab bc rr rr ，则/ac rr 。其中正确的是_ 二、向量的表示 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底， 则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y rrr ，称, x y为向量a的坐标，a, x y叫做向量a的 坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不
4、共线向量，那么对该平面内的任一向量a， 有且只有一对实数 1 、 2，使 a= 1e12e2。如 例 2（1）若(1,1),ab rr (1, 1),( 1,2)c r ，则c r _ （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12 (0,0),(1, 2)ee u ru u r B. 12 ( 1,2),(5,7)ee u ru u r C. 12 (3,5),(6,10)ee u ru u r D. 12 13 (2, 3),(,) 24 ee u ru u r （3）已知,AD BE uuu r uuu r 分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb uuu
5、 rr uuu rr ,则BC uuu r 可用向量,a b r r 表示为 _ （4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是 _ 四实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下： 1, 2aa rr 当0 时，a的方向与a的方向相同， 当0时，a的方向与a的方向相反， 当0 时，0a rr ，注意：a0。 2 五平面向量的数量积： 1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAa OBb uu u rr u uu rr ，AOB 0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当 2 时， a，b垂直。 2平面
6、向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量| cosab rr 叫做a 与b的数量积（或内积或点积），记作：a ? b，即a ? bcosa b r r 。规定：零向量与任一向量的数量 积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3b在a上的投影为| cosb r ，它是一个实数，但不一定大于0。 4a ? b的几何意义：数量积a ? b等于a的模|a r 与b在a上的投影的积。 5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： 0abab? rrrr ； 当a，b同向时，a ? ba b r r ，特别地， 222 ,aaaaaa? rrrrrr ；当a与b
7、反向时，a ? b a b r r ；当为锐角时，a ? b0，且a b rr 、不同向，0a b rr 是为锐角的必要非充分条件；当为钝 角时，a ? b0，且a b rr 、不反向，0a b r r 是为钝角的必要非充分条件； 非零向量a，b夹角的计算公式：cos a b a b ? rr r r；| | |abab? rrrr 。 例 3 如（ 1） ABC 中，3| AB，4| AC，5| BC，则 BCAB_ （2）已知 11 (1, ),(0,), 22 abcakb dab rrrrr u rrr ，c r 与d u r 的夹角为 4 ，则k等于 _ （3）已知2,5,3aba
8、b rrr r g，则ab rr 等于 _ （4）已知,a b r r 是两个非零向量，且abab rrrr ，则与aab rrr 的夹角为 _ 例 4 已知3| a ，5| b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 _ 例 5（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 _ （2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若 2 3 2 1 S，则FQOF ,夹角的取值范围是。 六向量的运算： 1几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之 外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABa BCb uu u rr
9、uuu rr ，那么向量AC uu u r 叫做a r 与b r 的和，即 abABBCAC rru uu ru uu ruuu r ； 向量的减法：用“三角形法则”：设,ABa ACbabABACCA uuu rr uuu rrrruuu ruu u ruu u r 那么，由减向量的终 点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 2坐标运算：设 1122 (,),(,)axybxy rr ，则： 向量的加减法运算： 12 (abxx rr ， 12) yy。 实数与向量的积： 1111 ,ax yxy r 。 3 若 1122 (,),(,)A x yB xy，则 2121
10、 ,ABxx yy uuu r ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标。 平面向量数量积： 1212 a bx xy y? rr 。如 已知向量a（ sinx ，cosx ）, b（ sinx ，sinx ）, c（ 1，0） 。 （1）若 x 3 ，求向量a、c 的夹角；（2）若 x 4 , 8 3 ，函数baxf)(的最大值为 2 1 ，求的值 向量的模： 2 22222 |,|axyaaxy rrr 。 两点间的距离：若 1122 ,A x yB xy，则 22 2121 |ABxxyy。 例 6：ABBCCD uuu ruuu ruuu r _；ABADD
11、C uuu ruuu ruuu r _；()()ABCDACBD uuu ruuu ruuu ruuu r _ 例 7（1）已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR uuu ruuu ruu u r ，则当_时，点 P 在第一、 三象限的角平分线上 （2）已知 1 (2,3),(1,4),(sin,cos ) 2 ABABxy uuu r 且，,(,) 22 x y，则xy 例 8 设(2,3),( 1,5)AB，且 1 3 ACAB uuu ruuu r ，3ADAB uuu ruuu r ，则 C、D 的坐标分别是_ 例 9 已知,a b r r 均为单位向量
12、，它们的夹角为60 o，那么 |3 |ab u u rr _ 七向量的运算律： 1交换律：abba rrrr ，aa rr ，a bba? rrrr ； 2结合律： ,abcabc abcabc rrrrrr rrrrrr ， aba bab? rrrrrr ； 3分配律：,aaaabab rrrrrrr ，abca cbc? rrrrrrr 。 例 10 下列命题中： cabacba)(；cbacba)()(； 2 ()ab 2 |a 2 2| |abb； 若0ba， 则0a或0b； 若,a bc b r rr r 则ac rr ； 2 2 aa rr ； 2 a bb a a r rr r
13、 r ； 22 2 ()a bab r rrr ； 22 2 ()2abaa bb rrrr rr 。其中正确的是_ 提醒： （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、 两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约 去一个向量，切记两向量不能相除(相约 )； （ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(?，为 什么？ 八向量平行( 共线 ) 的充要条件：/abab rrrr 22 ()(|)a bab r rrr 1212 x yy x0。 例 11(1)若向量( ,1),(4, )axbx
14、 rr ，当x_时a r 与b r 共线且方向相同 （2）已知(1,1),(4, )abx rr ，2uab rrr ，2vab rrr ，且/uv rr ，则x_ （3）设( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk uu u ruuu ruuu r ，则k_时， A,B,C 共线 4 九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：0| |aba babab rrrrrrrr 1212 0x xy y. 特 别 地 ()() ABACABAC ABACABAC uuu ruuu ruuu ru uu r uuu ruuu ruuu ru uu r。 例 11(1)已知( 1,2),(3
15、,)OAOBm uuu ruuu r ，若OAOB uuu ruuu r ，则 m （2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B，则点 B 的坐标是 _ （3）已知( , ),na b r 向量nm ru r ，且nm ru r ，则m ur 的坐标是 _ 十向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）| | |ababab rrrrrr ，特别地，当a b rr 、同向或有0 r | |abab rrrr | |abab rrrr ； 当a b rr 、反 向 或 有0 r | |abab rrrr | |aba
16、b rrrr ； 当a b rr 、不 共 线 | | |ababab rrrrrr ( 这些和实数比较类似). （3 ）在ABC中， 若 112233 ,A x yB xyC x y， 则 其重 心的 坐 标为 123123 , 33 xxxyyy G 。 1 () 3 PGPAPBPC uu u ruu u ru uu ru uu r G为ABC的重心，特别地0PAPBPCP uu u ruu u ruuu rr 为ABC的重 心； PA PBPB PCPC PAP uu u r u uu ru uu r uuu ruuu r uu u r 为ABC的垂心； 向量()(0) | ACAB
17、ABAC uuu ruu u r uu u ruuu r所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在直线) ； （ 4 ） 向 量PA PB PC uu u ruuu ruuu r 、中 三 终 点ABC、 、共 线存 在 实 数、使 得PAPBPC u u u ru u u ruu u r 且 1. 例 12 若 ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （ -3， 4） 、 （-1，-1） ，则 ABC 的重心的坐标为_ 例 13 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1 ,3(A,)3, 1(B,若点C满足OCOBOA 21 , 其中R 21, 且1 21 ,则点C的轨迹是 _
18、 5 AD B C P 高考真题选讲 一、选择题 1 设xR , 向量( ,1),(1, 2),axb rr 且ab rr , 则|ab rr （） A5B10C2 5D10 3 在ABC中 ,90A,1AB,设点,P Q满足,(1),APAB AQACR uuu ruuu r uuu ruuu r . 若2BQ CP uuu r u uu r ,则（） A 1 3 B 2 3 C 4 3 D2 4 设a r 、b r 都是非零向量 , 下列四个条件中, 使 | ab ab rr rr 成立的充分条件是（） A| |ab rr 且/ab rr Bab rr C/ab rr D2ab rr 5
19、已知向量a = (1,1),b = (2,x).若 a b = 1,则 x =（） A 1 B 1 2 C 1 2 D1 6 对任意两个非零的平面向量和, 定义, 若平面向量a、b满足0ab,a与b的夹 角0, 4 , 且oab和ob a都在集合 2 n nZ 中, 则oab（） A 1 2 B1 C 3 2 D 5 2 7 若向量1,2AB uuu r ,3,4BC uuu r , 则AC uuu r （） A4,6B4, 6C2, 2D2,2 9 ABC中,AB边的高为CD, 若CBa u uu rr ,CAb uu u rr ,0a b r r ,| 1a r ,| 2b r , 则AD
20、 uuu r （） A 11 33 ab rr B 22 33 ab rr C 33 55 ab rr D 44 55 ab rr 二、填空题 10在 ABC中,M 是 BC的中点 ,AM=3,BC=10, 则AB AC uuu r uuu r =_. 12已知向量a,b夹角为 0 45, 且|a|=1,| 2ab|=10, 则|b|=_. 14如图 , 在平行四边形ABCD 中 ,AP BD,垂足为 P,3AP且AP AC uuu v uuu v g = . 6 15已知向量(1,0),(1,1)ab rr , 则 ( ) 与2ab rr 同向的单位向量的坐标表示为_; ( ) 向量3ba
21、rr 与向量a r 夹角的余弦值为_. 16已知正方形ABCD 的边长为 1, 点 E是 AB边上的动点 , 则DE CB uu u r uuu r 的值为 _. 17设向量(1,2),(1,1),(2,)am bmcm rrr , 若()ac rr b r , 则a r _. 巩固练习 例 1 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简： ABBCCD uuu ruu u ru uu r ，DBACBD u uu ru uu ruuu r OAOCOBCO uu u ru uu ruuu ruuu r 例 2 设非零向量 a r 、b r 不共线， c r =ka r +b r ，d
22、 r =a r +kb r (k R)，若 c r d r ，试求 k 例 3 已知向量(1,2),( ,1),2abxuab rrrrr ，2vab rrr ，且/uv rr ，求实数x的值 7 例 4 已知点)6 , 2(),4 ,4(),0 , 4(CBA,试用向量方法求直线AC 和OB（ O为坐标原点）交点 P的坐标 例 5 已知两单位向量 a r 与b r 的夹角为 0 120，若2,3cab dba r rr rrr ，试求 c r 与d r 的夹角 例 6 已知4,3a r ，1,2b r ，,mab r rr 2nab r rr ，按下列条件求实数的值 （1） mn rr ；
23、（2）/mn rr ； (3) mn rr 例 7已知4|a，2|b，且a与b夹角为 120求 )()2(baba? ； |2|ba ；a与ba的夹角。 8 例 8已知向量a=)2, 1 (，b=)2, 3(。 求|ba与|ba；当k为何值时，向量bak与ba3垂直？ 当k为何值时，向量bak与ba3平行？并确定此时它们是同向还是反向？ 例 9已知OP=)1 ,2(，OA=)7 ,1 (，OB=)1 , 5(，设M是直线OP上一点，O是坐标原点 求使MBMA ?取最小值时的OM；对（ 1）中的点M，求AMB的余弦值。 例 10在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若2AM 求：)(OCOBOA?的最小值。