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1、例析立体几何中的排列组合问题 春晖中学 过月圆 在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应 用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了考试大 纲要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计 数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举 立体几何中排列、组合问题的几个例子。 1 点 11 共面的点 例1（1997年全国高考（文） 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同 一平面上，不同的取法有（） A30种 B33种 C36种 D39种 解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点
2、，每个面上的6个点共面。点A所 在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点 A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。 所以与点A共面的四点组合共有个。 答案：B 点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选 择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计 算在内。 12 不共面的点 例2（1997年全国高考（理） 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A150种 B147种 C144种 D141种 解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面
3、的情况有三类：第一 类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上 的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边 形，它的4个顶点共面，有3种。 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。 答案：D。 点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高， 很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧 及分类讨论的数学思想。 2 直线 例 3（2005年全国高考卷 （理） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15 条，其中异面直线有（） A18对 B24 对 C30对 D36对 分析：选项数目不大，若不宜
4、用公式直接求解，可考虑用树 图法。 解析：法一：一条底面棱有5 条直线与其异面。 例：与 AB 异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4 条与其异面的直线； 例：与 BB1 异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线； 例: 与 AB1 异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数 两遍。共有。 法二：一个四面体中有3 对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构 成四面体的个数为：故共有异面直线。 答案： D 点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按
5、 一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给 人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是利用影 射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。 3 平面 例 4 、 是两个平行平面，在 内取 4个点，在 内取 5 个点，这 9 个点最多能 确定多少个平面？ 解析： 例 5（2002年全国高考） 从正方体的六个面中选3 个面，其中有两个面不相邻的选法共有（） A8种 B12 种 C16种 D20 种 解析： 4 模型 41 平面多边形 例 6（2004年高考 湖南卷） 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形， 其中直角三角形的个数
6、为（） A56 B52 C48 D40 解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B 点。以 B 为 直角顶点的三角形有：,共 6个， 故正方体中共有。 答案： C 点评：在中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方 体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。 42 空间多面体 例 7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有 _ 。 5 其它 例 8（2005年高考 江苏卷） 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产 品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是 安全的，现打算用编号为、的 4个仓库存放这 8 种化工产品，那么安 全存放的不同方法种数为（） A96 B48 C24 D0 解析：如图所示，与每条侧棱异面的棱分别为2 条。例如侧棱 SB 与 CD、AD 棱异面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个 仓库中，计种。从而安全存放的不同放法种数为（种） 答案： B 点评本题用四棱锥的 8 条棱的关系来处理化工产品的存放种数，