六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版.pdf

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1、第八讲行程问题（二） 教学目标： 1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点； 2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题； 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”； 4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题 知识精讲： 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“ 压轴知识点 ” 的角 色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“ 得天独厚 ” 的优势，往往体现在方法的灵活 性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于 工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

2、我们常常会应用比例的工具分析2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时 间、路程分别用,vvtts s 乙乙乙甲甲甲， ；来表示，大体可分为以下两种情况： 1.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为时间相同，即ttt 乙甲 ,所以由 ss tt vv 甲乙 乙甲 乙甲 ， 得到 ss t vv 甲乙 乙甲 ， sv sv 甲甲 乙乙 ，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体

3、所用的时间之 比等于他们速度的反比。 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为路程相同，即sss 乙甲 ，由svtsvt 乙乙乙甲甲甲， 得svtvt 乙乙甲甲 ， vt vt 甲乙 乙甲 ，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。 行程问题常用的解题方法有 公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括 公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推 知需要的条件； 图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程， 常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图 示法即画出行程的大概过

4、程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析 往往也是最有效的解题方法； 比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一 些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能 用比例解题； 分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段， 在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； 方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知 数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解

5、 例题精讲： 模块一、时间相同速度比等于路程比 【例 1】甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后 继续行进，甲到达B 地和乙到达A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第 一次相遇的地点30 千米，则A、 B 两地相距多少千米？ 【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路 程比为4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3 个全程，三 个全程中甲走了 45 31 77 个全程， 与第一次相遇地点的距离为 542 (1) 777 个全程所以A、 B 两

6、地相距 2 30105 7 (千米 ) 【例 2】B 地在 A， C 两地之间甲从B 地到 A 地去送信，甲出发10 分后，乙从B 地出发到C 地去送 另一封信，乙出发后10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去 追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3 倍，丙从 出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。 【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下： 10 分钟 10分钟 10分钟 C B A 因为丙的速度是甲、乙的3 倍，分步讨论如下： （1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3 倍，比乙多走两

7、倍乙走需要10 分钟，所 以丙用时间为：10 （31） =5（分钟）此时拿上乙拿错的信 5分钟 5分钟 10 分钟 10分钟 10分钟 C B A 当丙再回到B 点用 5 分钟，此时甲已经距B 地有 10105530（分钟），同理丙追 及时间为30 （31）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B 地： 10551515=50（分钟）， 此时追及乙需要：50 （31）=25（分钟），返回 B 地需要 25 分钟 所以共需要时间为5515152525=90（分钟） （2）同理先追及甲需要时间为120 分钟 【例 3】 ( “圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人

8、同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟， 两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？ 【分析】 甲、乙两人速度比为80:604:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了 全程的 4 7 ，乙走了全程的 3 7 第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等， 所以第二次乙行了全程的 4 7 ，甲行了全程的 3 7 由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程 比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了 33 74 ，所以甲停留期间乙行了 4331

9、7744 ，所以A、 B两点的距离为 1 607=1680 4 ( 米) 【例 4】甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4，相 遇后甲的速度减少20% ，乙的速度增加20%这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有10 千 米那么A、B 两地相距多少千米？ 【解析】 两车相遇时甲走了全程的 5 9 ，乙走了全程的 4 9 ，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%， 此时甲、乙的速度比为5 (120%) : 4 (120%)5: 6，所以甲到达B 地时，乙又走了 468 9515 ，距离A 地 581 91545 ，所以A、 B 两地的距离为 1 10

10、450 45 (千米 ) 【例 5】早晨， 小张骑车从甲地出发去乙地下午1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地 下午2 点 时两人之间的距离是15 千米下午3 点时，两人之间的距离还是l5 千米下午4 点时小 王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？ 【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块下午2 点时两人之间的距离是l5 千米下午3 点时， 两人之间的距离还是l5 千米，所以下午2 点时小王距小张15 千米，下午3 点时小王超过小 张 15 千米，可知两人的速度差是每小时30 千米由下午3 点开始计算，小王再有1 小时就 可走完全程，在这1 小时当中，小王比小张多走30 千米

11、，那小张3 小时走了15 30 45千 米，故小张的速度是45 3 =15 千米 /时，小王的速度是15 30 =45 千米 /时全程是45 3 =135 千米，小张走完全程用了135 15= 9 小时，所以他是上午10 点出发的。 【例 6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡 路的距离相等。 陈明开车从甲地到乙地共用了3 小时，其中第一小时比第二小时多走15 千米， 第二小时比第三小时多走25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30 千米，走下坡路 比走平路每小时快15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？ 【解析】 由于 3 个小时中每个小时

12、各走的什么路不明确，所以需要先予以确定 从甲地到乙地共用3 小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路 程不需要1 小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1 小 时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路这样的话， 由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1 小时的路程，而这个 路程恰好比以平路的速度走1 小时的路程 (即第二小时走的路程)多走 15 千米，所以这样的话第一 小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15 千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小 时全部在走上坡路 如果

13、第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时 走的路程将大于以平路的速度走1 小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的 少于 15 千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路 所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上 坡路；第三小时全部在走上坡路 由于第二小时比第三小时多走25 千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30 千米所以第 二小时内用在走平路上的时间为 5 2530 6 小时，其余的 1 6 小时在走上坡路； 因为第一小时比第二小时多走了15 千米，而 6 1

14、 小时的下坡路比上坡路要多走 1 30157.5 6 千 米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为 1 157.515 2 小时，所以在第一小时中，有 112 263 小时是在下坡路上走的，剩余的 3 1 小时是在平路上走的 因此，陈明走下坡路用了 3 2 小时，走平路用了 157 366 小时，走上坡路用了 17 1 66 小时 因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是 2 7 :4: 7 3 6 那么下坡路的 速度为 7 3015105 74 千米 /时，平路的速度是每小时1051590 千米，上坡路的速度是每 小时 9030 60 千米 那么甲、乙两地相距 277 10

15、59060245 366 (千米 ) 模块二、路程相同速度比等于时间的反比 【例 7】甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3 小时，甲先到B地，乙还需要1 小时到达B地，此 时甲、乙共行了35 千米求A，B两地间的距离 【分析】 甲用 3 小时行完全程，而乙需要4 小时，说明两人的速度之比为4: 3，那么在 3 小时内的路程之 比也是4:3；又两人路程之和为35 千米，所以甲所走的路程为 4 3520 34 千米，即A，B两 地间的距离为20 千米 【例 8】在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到 达 B 点，又过8 分两人再次相遇.甲、乙环行

16、一周各需要多少分？ 【解析】 由题意知，甲行4 分相当于乙行6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12 分，而乙行12 分相当于甲行8 分，所以 甲环行一周需12820（分） ，乙需20 4 6 30（分） . 【例 9】上午8 点整，甲从A 地出发匀速去B 地， 8 点 20 分甲与从B 地出发匀速去A 地的乙相 遇；相遇后甲将速度提高到原来的3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自 的目的地那么，乙从B 地出发时是8 点几分 【解析】甲、乙相遇时甲走了20 分钟，之后甲的速度提高到原来的3 倍，又走了10 分钟到达目

17、的地， 根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10 3= 30 分钟， 所以前后两段路程的比为20 : 30 =2 : 3，由于甲走20 分钟的路程乙要走10 分钟，所以甲走30 分钟的路程乙要走15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15 分钟，所以乙从B 地出发时 是 8 点 5 分 【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上 学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速 度的多少倍？ 【解析】 设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1由于下坡路与一半平

18、路的长度相 同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是 5 1 1.6 8 ，因此，走上坡路 需要的时间是 511 2 88 ， 那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为 11 1:8 :11 8 ， 所以，上坡速度是平路速度的 8 11 倍 【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750 米，预计 50 分钟到达但汽车行驶到路程的 3 5 时，出 了故障，用5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分 钟必须比原来快多少米？ 【分析】 当以原速行驶到全程的 3 5 时，总时间也用了 3 5 ，所以还剩下 3 50(1)20 5 分

19、钟的路程；修理完 毕时还剩下20515分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:154:3，根 据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比 原来快 4 750750250 3 米 小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少， 但不如采用比例法简便 【例 12】 (2008“我爱数学夏令营”数学竞赛 ) 一列火车出发1小时后因故停车0.5小时 ， 然后以原速的 3 4 前进 ，最终到达目的地晚 1.5小时 若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时 ， 然后同样 以原速的 3 4 前进，则到达

20、目的地仅晚 1小时 ，那么整个路程为 _公里 【解析】 如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的 3 4 前进，最终到达目的地晚1.50.51小时，在一 小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3: 4，所以原计划要花 14333 小时，现在要花14344小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然 后同样以原速的 3 4 前进，则到达目的地仅晚 10.50.5小时，在一小时以后的那段路程，原计划 所花的时间与实际所花的时间之比为3: 4，所以原计划要花0.54331.5小时，现在要花 0.54342小时 所以按照原计划90公里的路程火车要用3 1.51.5小时，所以火车的原

21、 速度为901.560千米小时，整个路程为6031240千米 【例 13】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发， 车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小 时到达；返回时，按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时40 分 到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？ 【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划 的 1 10/9=9/10，即比原计划少用1/10 的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划 时间为： 1.5 1/10=15(小时 )；按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提

22、高1/6，即此后车速为 原来的 7/6，则此后所用时间为原计划的1 7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7 的时间，所以1 小 时 40 分等于按原计划的速度行驶280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280 千 米后余下的时间为： 5/3 1/7=35/3( 小时 )，所以，原计划的速度为：84(千米 /时)，北京、上海两市间的路程为：84 15= 1260(千米 ) 【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1 小时到达 如果按原速行驶一段距离 后，再将速度提高30% ，也可以提前1 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？ 【解析】 车速提高20

23、%， 即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为 5 1(1)6 6 小 时；如果按原速行驶一段距离后再提速30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的 10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为 101 1(1)4 133 小时所以前面按原速度行使 的时间为 15 64 33 小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的 55 6 318 【例 15】 一辆车从甲地开往乙地如果车速提高 20%，可以比原定时间提前 1 小时到达；如果以原速行 驶 120 千米后， 再将车速提高25%，则可以提前40 分钟到达 那么甲、 乙两地相距多少千米

24、？ 【分析】 车速提高20%，速度比为5: 6，路程一定的情况下，时间比应为6: 5，所以以原速度行完全程的 时间为 65 16 6 小时 以原速行驶120 千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4: 5，所用时间比 应为5: 4，提前 40 分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要 405410 6053 小时，所以以原 速行驶 120 千米所用的时间为 108 6 33 小时，甲、乙两地的距离为 8 1206270 3 千米 【例 16】 甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程乙火车上午8:00从B站开往A站，开 出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站上午9:0

25、0两列火车相遇，相遇的地点离A、B两 站的距离的比是 15:16甲火车从A站发车的时间是几点几分？ 分析 甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知由此可以求得甲火车单 独行驶的距离与总路程的比 根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5: 4 从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5: 415:12，而相遇点距A、B两站的距离的 比是15:16说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的 1 161216 4 也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15 分钟所以甲火车从 A站发车的时间是8点15分 模块三、比例综合题 【例 17】 小狗和小猴参加的

26、100 米预赛结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90 米处，决赛时，自作 聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑 线往后挪10 米小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小 朋友，你说小猴会如愿以偿吗？ 【解析】 小猴不会如愿以偿 第一次，小狗跑了 100米， 小猴跑了 90米， 所以它们的速度比为100:9010:9； 那么把小狗的起跑线往后挪10 米后，小狗要跑110 米， 当小狗跑到终点时， 小猴跑了 9 11099 10 米，离终点还差1 米，所以它还是比小狗晚到达终点 【例 18】 甲、 乙两人同时从A 地出发到

27、B 地， 经过 3 小时，甲先到B 地， 乙还需要1 小时到达B 地， 此时甲、乙共行了35 千米求A， B 两地间的距离 【解析】 甲、乙两个人同时从A 地到 B 地，所经过的路程是固定 所需要的时间为：甲3 个小时，乙4 个小时（ 3+1） 两个人速度比为：甲：乙=4：3 当两个人在相同时间内共行35 千米时，相当与甲走4 份，已走3 份， 所以甲走： 35 （43） 4=20（千米），所以， A、B 两地间距离为20 千米 【例 19】 A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市 开车后 1小时A车出了事故，B和C车 照常前进A车停了半小时后以原速度的 4 5 继续前进B、C两车行

28、至距离甲市200千米时B车 出了事故，C车照常前进B车停了半小时后也以原速度的 4 5 继续前进 结果到达乙市的时间C 车比B车早1小时， B车比A车早1小时，甲、乙两市的距离为 千米 【分析 】如果A车没有停半小时，它将比C车晚到1.5小时， 因为A车后来的速度是C车的 4 5 ，即两车行5 小时的路A车比C车慢1小时，所以慢1.5小时说明A车后来行了5 1.57.5小时从甲市到乙市 车要行17.51.57小时 同理，如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，说明B车后来行了50.52.5小时， 这段路C车需行2.50.52小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的 2 7 故甲、乙两市距

29、离为 2 2001280 7 ( 千米 ) 【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时， 乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分 钟前曾到过的地方此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲甲每小时行 多少米？ 分析 根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为 2: 2.258:9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为 3:3.754:5加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍； 由于乙加速后每小时多走500 米，所以甲的速度为5001.25

30、1.1254000 米 /小时 【例 21】 甲、乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车12 分钟后丙也骑车从A 地出发去追甲丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3 千米时又遇到乙已知乙的速 度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2 倍那么甲的速度是多少？ 33 丙 乙 甲 EDCBA 分析 丙的速度为7.5215千米 /小时，丙比甲、乙晚出发12 分钟，相当于退后了 12 153 60 千米后 与甲、乙同时出发 如图所示，相当于甲、乙从A，丙从B同时出发，丙在C处追上甲，此时乙走到D处，然后丙掉 头走了 3 千米在E处和乙相遇 从丙返回到遇见乙，丙走了3 千米，所以乙走了

31、321.5千米，故CD为4.5千米那么，在从 出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了34.57.5千米，由于丙的速度是乙的速度的2 倍，因此，丙追上甲时，乙走了 7.5千米，丙走了 15 千米，恰好用1 个小时；而此时甲走了 7.54.5 12千米，因此速度为12 112( 千米 /小时 ) 【例 22】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山 速度的1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1 小时，甲与乙在离山顶600 米处相遇，当 乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰

32、好到半山腰， 说明甲走过的路程应该是一个单程的1 1.5+1/2=2 倍， 就是说甲下山的速度是乙上山速度的2 倍。 两人相遇时走了1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1 小时，所以甲下 山要用 1/2 小时。甲一共走了1+1/2=1.5（小时） 【例 23】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处一列火车以每小时84千米的速度 从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥 头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上问 铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？ 【分析】 设铁路桥长为

33、x米 在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为(5) 2 x 米，火车走的路程为(33)x米； 在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为(50.5)(4.5) 22 xx 米，火车走的路程为(40.5)x米； 两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了(5)(4.5)(0.5) 22 xx x米，火车一共走 了 (33)(40.5)(73.5)xxx米； 因 为 (73.5)x是 (0.5)x的7倍 ， 所 以 火 车 速 度 是 小 狗 速 度 的7倍 ， 所 以 小 狗 的 速 度 为 84712( 千米 / 时) ； 因为火车速度为小狗速度的7倍，所以 (33)7(5) 2 x x，解此方程

34、得：64x 所以铁路桥全长为64米，小狗的速度为每小时12千米 【例 24】 如图，8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方 形ABCD的边走向D点，甲8点20分到D后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发， 丙由D 向A走去，8点24分与乙在 E点相遇，丁由D向C走去，8点30分在F点被乙追上，则连接三 角形BEF的面积为平方米 D CB A 丙 乙 甲 F E CB AD 【分析】 如图，由题意知，丙从 D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说 明甲、乙速度是丙、丁速度的 7 4106 3 倍因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD

35、要用 770 10 33 ( 分钟 ) ，走AE用 7058 4 33 ( 分钟 ) 因为乙走BAAE 用14分钟，所以丙走AB用 75840 14 333 ( 分钟 ) 因为AB长60米，所以丙每分钟走 409 60 32 ( 米) 于是求出 958 87 23 AE( 米) ， 9 418 2 ED( 米) ，8718105BCAEED( 米) BEFBAEEDFFCB ABCD SSSSS 矩形60 10560 8721845215 1052 63002610405787.52497.5( 平方米 ) 【例 25】 如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某

36、时刻，甲从A点 出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动甲、乙、 丙三人的速度比为4:3:5他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中 最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ F E D C B A 分析 长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重 合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上 所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况 将长方形的宽3等分， 长5等分后， 将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单 位时间，那么一个单位时间内

37、，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整 数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有 1个人走了整数段所以我们只要考虑在整数 单位时间，三个人运到到顶点的情况 对于甲的运动进行讨论： 时间 (单位时间 ) 24 6810 1214 16 地点 CACACACC 对于乙的运动进行讨论： 时间 (单位时间 ) 23101118192627 地点 D C BAD C BA 对于丙的运动进行讨论： 时间 (单位时间 ) 23101118192627 地点 CBADCBAD 需要检验的时间点有2、3、10、11、 2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件 3个单位时间的时候甲在AD

38、上，三人第一次构成最大三角形所以一个单位时间相当于4分钟 10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形 所以再过 40分钟三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ 课后作业 练习 1.甲、乙两车分别从A、B 两地出发，在A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速 度的 3 7 ，并且甲、乙两车第2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第2008 次相遇的 地点恰好相距120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少千米？ 【解析】 甲、乙速度之比是3：7，所以我们可以设整个路程为3+7=10 份，这样一个全程中甲走3 份， 第2007 次相遇时

39、甲总共走了3 （ 2007 2-1） =12039 份，第2008 次相遇时甲总共走了3 （2008 2-1）=12045 份，所以总长为120 12045-12040-（12040-12039） 10=300 米. 练习 2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3: 2，他们第一次 相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千 米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【分析 】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3: 2， 相遇后，甲、乙两人的速度比为3120%: 2130%

40、3.6: 2.618:13 ；到达B地时， 即甲又行了 2份的路程， 这时乙行的路程和甲行的路程比是18:13，即乙的路程为 134 21 189 乙 从相遇后到达A还要行3份的路程，还剩下 45 311 99 ( 份) ，正好还剩下14千米，所以1份这样 的路程是 5 1419 9 ( 千米 ) A、B两地有这样的325( 份 ) ，因此A、B两地的总路程为：93245 ( 千米 ) 练习 3.小明和小刚进行100米短跑比赛 ( 假定二人的速度均保持不变) 当小刚跑了90米时， 小明距离终 点还有 25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？ 【分析 】当小刚跑了90米时，小明跑

41、了1002575米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程 之比，为90:756:5；在小刚跑完剩下的1009010米时，两人经过的时间相同，所以两人的 路 程 之 比 等 于 相 应的 速度 之 比6:5， 则 可 知 小 明 这段 时 间 内 跑 了 525 10 63 米 ， 还 剩下 25502 2516 333 米 练习 4.客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3 小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22 千米，已知货车与客车的速度比为5: 6，甲、乙两地相距多少千米？ 【分析】 货 车 与 客 车 速 度 比5: 6， 相 同 时 间 内 所 行 路 程 的 比 也 为5: 6， 那 么 客 车 走 的 路 程 为 65 22132 6 ( 千米 )，为全程的一半，所以全程是1322264( 千米 ) 练习 5.甲、乙两人从A，B两地同时出发，相向而行甲走到全程的 5 11 的地方与乙相遇已知甲每小 时走4.5千米，乙每小时走全程的 1 3 求A，B之间的路程 【分析】 相同的时间内，甲、乙路程之比为5: 1155: 6 ，因此甲、乙的速度比也为5: 6，所以乙的速 度为 6 4.55.4 5 千米 /时两地之间的路程为： 1 5.4116.2 3 千米