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1、1 分数的速算与巧算 1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算， 使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式 知识点拨 一、裂项综合 （一）、
2、 “裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 ab 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那 么有 1111 () abba ab (2) 对于分母上为3个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 (1)(2)nnn ， 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的，我们有： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 裂差型裂项的三大关键特征： （ 1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将x 提取出来即可转化为分
3、子都是1 的运算。 （ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接” （ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、 “裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （ 1） 11abab abababba （2） 2222 ababab abababba 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 2 三、整数裂项 (1) 122334.(1)nn 1 (1)(1) 3 nnn (2) 1 123234345.(2)(
4、1)(2)(1) (1) 4 nnnnnn n 二、换元 解数学题时， 把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法 换 元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： 纯循环小数混循环小数 分子循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部 分数字所组成的数的差 分母 n 个 9， 其中 n 等于循环节所含的数字 个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母， 其中 9 在 0 的左侧 0. 9 a a； 0. 99 ab ab； 1 0.0 9910990 abab ab； 0. 990 abca
5、 abc， 2、单位分数的拆分： 例： 1 10 = 11 2020 = 11 = 11 = 11 = 11 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母 N的约数中任意找出两个m和 n, 有： 11() ()()() mnmn NN mnN mnN mn = 11 AB 本题 10 的约数有 :1,10,2,5.。 例如：选1 和 2，有： 11(12)1211 1010(12)10(12)10(12)3015 本题具体的解有： 111111111 1011110126014351530 3 例题精讲 模块一、 分数裂项 【例 1】 11111 123423453456678978910 【巩
6、固】 333 1234234517181920 【例 2】计算： 5719 1232348910 L 【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相 同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2相比较于2，4，6，这一公差为2 的等差数 列( 该数列的第n个数恰好为n的 2 倍) ，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可 以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和再进行计算也可以直接进行通项归纳根据 等差数列的性质，可知分子的通项公式为 23n ，所以 2323 121212 n nnnnnnnn ， 再 将 每 一 项 的 2 12nn
7、与 3 12nnn 分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同 【巩固】计算： 571719 1155 234345891091011 L（） 4 【巩固】计算： 34512 1245235634671011 13 14 L 【例 3】 12349 223234234523410 L L 【例 4】 1111 11212312100 L L L 【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单 的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的 代入有 112 (11) 1 112 2 ， 112 (12)2 1
8、223 2 ， 【例 5】 222222 111111 31517191111131 . 【解析】这题是利用平方差公式进行裂项： 22 ()()ababab ， 【例 6】 111 319992 111111 1(1)(1)(1)(1)(1) 223231999 L L 5 【例 7】 12123123412350 2232342350 L L L 【解析】找通项 (1) (1) 2 (1) (1)2 1 2 n nn nn a nn nn 【例 8】 2222222222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226 【解析】 222 2233
9、3 (1)(21) 12221211 6 () (1)123(1)31 4 n nnn nn a nnnnnnn 【例 9】计算： 222 222 2399 2131991 L_( 项公式： 22 11 111 12 n nn a nnn n ） 【巩固】计算： 222 222 1299 11005000220050009999005000 L 【解析】本 题 的 通 项 公 式 为 2 2 1005000 n nn ， 没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 注 意 到 分 母 2 100500050001005000100100100nnnnnn，可以看出如果把n 换成 100n的
10、话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个 2 2 50 5050005000 将项数和为100 的两项相加，得 22 2 22 2222 100100 220010000 2 100500010050001005000 100100 1005000 nnn nnn nnnnnn nn ， 所以原式249199 （或者，可得原式中99 项的平均数为1，所以原式1 9999） 6 【例 10 】 222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 【解析】虽然很容易看出 32 1 3 1 2 1 ， 54 1 5 1 4 1 可是再仔
11、细一看，并没有什么效果，因为这不 象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式， 于是我们又有 )12()1( 6 321 1 2222 nnn n 减号前面括号里的式子有10 项，减 号后面括号里的式子也恰好有10 项，是不是“一个对一个”呢？ 模块二、换元与公式应用 【例 11】 计算： 33333333 13579111315 【例 12】 计算： 23456 111111 1 333333 设 23456 111111 1 333333 S则 2345 11111 331 33333 S， 6 1 33 3 SS，整理可得 364 1 729 S 【例
12、 13】 计算： 22222222 (246100 )(13599 ) 12391098321 7 【例 14】 计算： 2222222222 1223344520002001 1223344520002001 【例 15】20078.58.51.51.5101600.3 【例 16】 计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 三、循环小数与分数互化 【例 17】 计算： 0.1+0.125+0.3+0.16 &，结果保留三位小数 【例 18】 某学生将 1.23 &乘以一个数 a时，把 1.23 &误看成 1.23 ，使乘积比正确结果减少 0.3. 则正确结果
13、该 是多少 ? 8 【例 19】 有 8 个数， 0.51 & ， 2 3 , 5 9 , 0.51 &, 24 13 , 47 25 是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第4 个数是 0.51 &，那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数? 【例 20】 真分数 7 a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么 a 是多少 ? 【例 21】 2002 2009 和 1 287 化成循环小数后第100 位上的数字之和是_. 【解析】如果将 2002 2009 和 1 287 转化成循环小数后再去计算第100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我
14、们发现 20021 1 2009287 ，而10.9，则第 100 位上的数字和为9. 【例 22】 11111111111 45 注：这里要先选10 的三个约数，比如5、2 和 1，表示成连减式5-2-1和连加式 5+2+1. 9 【例 23】 所有分母小于30 并且分母是质数的真分数相加，和是_。 【例 24】 若 111 2004ab ，其中 a、b 都是四位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是 课后练习： 练习 1. 123456 121231234123451234561234567 练习 2. 12389 (1)(2)(3)(8)(9) 234910 L 练习 3.
15、计算： 3333 13599L_ 练习 4.计算： 1111111111 11 2200723200822008232007 LLLL 10 练习 5. 11 0.150.2180.3 111 ； 2.2340.9811 & (结果表示成循环小数) 月测备选 【备选 1】计算： 2399 3!4!100! L . 【备选 2】计算： 22222222 12232004200520052006 12232004200520052006 L 【备选 3】计算： 333 1232006 1232006 【备选 4】计算： 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947 【备选 5】计算 2009200911 99900999909901 (结果表示为循环小数)