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1、【类型综述】 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知 三角形是否为特殊三 角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转 等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边 的长度，之后利用相似来列方程求解。 【方法揭秘】 相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理2 都有对应角相等的条件，因此探求两个 三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相
2、等 判定定理2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检 验 如果已知A D，探求 ABC 与 DEF 相似，只要把夹A 和 D 的两边表示出来，按照对应边 成比例，分和两种情况列方程 ABDE ACDF ABDF ACDE 应用判定定理1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是 确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容
3、易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知A、 B 两点的坐标，怎样求A、B 两点间的距离呢？ 我们以AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB 的长 了水平距离BC 的长就是A、 B 两点间的水平距离，等于A、 B 两点的横坐标相减；竖直距离AC 就是 A、B 两点间的竖直距离，等于A、B 两点的纵坐标相减 图 1 【典例分析】 例 1 如图 1，已知直线y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于A、B 两点，抛物线y x2bxc 经过 A、B 两点，点P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线 段 AB
4、上，从点A 出发，向点B 以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t 秒2 （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t 为何值时， APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物 线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连结 BP、BM、MQ，问：是否存在t 的值，使以B、Q、M 为顶点的三角 形与以 O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 思路点拨 1在 APQ 中， A 45，夹 A 的两条边AP、AQ 都可以用 t 表示，分两种
5、情况讨论直角三角形 APQ 2先用含t 的式子表示点P、Q 的坐标，进而表示点E、F 的坐标，根据PEQF 列方程就好了 3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 满分解答 图 2 图 3 （3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形 所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ 因为 xPt，xQ3t，所以 yE3 t，yQt，yF (3t)22(3t)3 t2 4t 因为 yEyPyF yQ，解方程3t(t24t) t，得 t1，或 t3（舍去）所以点F 的坐标为 (2, 3) 图 4 图 5 （4）由 y x22x3 (x1
6、)24，得 M(1, 4) 考点伸展 第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)， E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照 PE 方向，将点Q 向上平移，得F(3t, 3)再将 F(3t, 3)代入 y x22x3，得 t1，或 t3 例 2 二次函数yax2bxc（a0）的图象与x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点，与 y 轴交于点C(0, 3m)（m0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示） ； （2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积为S，试求出S 与点 P 的横坐标x 之间的函数关系式及
7、S的最大值； （3）如图 2，当 m 取何值时，以A、D、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？ 图 1 图 2 思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP， APC 可以割补为：AOP 与 COP 的和，再减去AOC 3讨论 ACD 与 OBC 相似，先确定ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形ACD 存在两种情况 满分解答 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为E过点 A 作 x 轴的垂线交DE 于 F 由 ym(x 3)(x 1)m(x 1)24m，得 D(1,4m) 在 RtOBC 中， OBOC13m 如果
8、 ADC 与 OBC 相似，那么 ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1 3m 如图 4，当 ACD 90时，所以解得 m1 OAOC ECED 33 1 m m 此时，所以所以 CDA OBC 3 CAOC CDED 3 OC OB CAOC CDOB 考点伸展 第（ 2）题还可以这样割补：如图6，过点 P 作 x 轴的垂线与AC 交于点 H 由直线 AC：y 2x6，可得 H(x,2x6) 又因为 P(x, 2x24x6)，所以 HP 2x26x 因为 PAH 与 PCH 有公共底边HP，高的和为A、C 两点间的水平距离3，所以 SS APCS APHSCPH (2x26x) 3 2 2327 3() 24 x 例 3 如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结 AB、 AC，求 ABC 的面积； （3）在（ 2）的条件下，设直线y x2 与 y 轴交于点D，在射线CB 上有一点E，如果以点A、C、 E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为1，求点 E 的坐标