《2018年中考数学压轴题专题练习--因动点产生的等腰三角形存在性问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年中考数学压轴题专题练习--因动点产生的等腰三角形存在性问题.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2018 年中考数学压轴题专题练习 - 因动点产生的等腰三角形问题 1.如图 1，在 RtABC中， A90，AB6，AC8，点 D 为边 BC的中点， DEBC交边 AC于点 E ， 点 P为射线 AB 上的一动点，点Q 为边 AC上的一动点，且PDQ90 （1）求 ED、EC的长； （2）若 BP 2，求 CQ的长； （3）记线段PQ 与线段 DE的交点为F，若 PDF为等腰三角形，求BP的长 图 1 备用图 解： （1）在 Rt ABC中，AB6，AC8，所以 BC10 在 RtCDE中， CD5，所以 315 tan5 44 EDCDC ， 25 4 EC （2）如图 2，过点 D 作
2、 DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么 DM、DN 是 ABC的两条中位线，DM4，DN3 由 PDQ90， MDN90，可得 PDM QDN 因此 PDM QDN 所以 4 3 PMDM QNDN 所以 3 4 QNPM ， 4 3 PMQN 图 2 图 3 图 4 如图 3，当 BP2，P在 BM 上时， PM1 此时 33 44 QNPM 所以 319 4 44 CQCNQN 如图 4，当 BP2，P在 MB 的延长线上时，PM5 此时 315 44 QNPM 所以 1531 4 44 CQCNQN （3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ中， 3 tan 4 QDDN QPD P
3、DDM 在 RtABC中， 3 tan 4 BA C CA所以 QPD C 由 PDQ90， CDE 90，可得 PDF CDQ 因此 PDF CDQ 当 PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形 如图 5，当 CQCD 5时， QNCQCN541（如图 3 所示） 此时 44 33 PMQN 所以 45 3 33 BPBMPM 如图 6，当 QCQD 时，由 cos CH C CQ ，可得 5425 258 CQ 所以 QNCNCQ 257 4 88（如图 2 所示） 此时 47 36 PMQN 所以 725 3 66 BPBMPM 不存在DPDF的情况这是因为DFP DQP DPQ（如图
4、 5，图 6 所示） 图 5 图 6 2.如图 1，抛物线yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P是直线 l 上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的 坐标；若不存在，请说明理由 图 1 解： （1）因为抛物线与x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)， 代入点 C(0 ,3)，得 3a3解得 a 1 所以抛物线的函数关系式是y (x1)(x3) x2 2x3
5、 （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1 当点 P落在线段BC上时， PA PC最小， PAC的周长最小 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H 由 BHPH BOCO，BOCO ，得 PHBH 2 所以点 P的坐标为 (1, 2) 图 2 （3）点 M 的坐标为 (1, 1)、(1, 6 )、 (1, 6 )或(1,0) 3.如图 1，点 A 在 x 轴上， OA4，将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120至 OB 的位置 （1）求点 B的坐标； （2）求经过A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、 O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点
6、P的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 解： （1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为C 在 RtOBC中， BOC 30， OB4，所以 BC2， 2 3OC 所以点 B的坐标为 ( 2,2 3) （2）因为抛物线与x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)， 代入点 B( 2, 2 3) ， 2 32( 6)a 解得 3 6 a 所以抛物线的解析式为 2332 3 (4) 663 yx xxx （3）抛物线的对称轴是直线x2，设点 P的坐标为 (2, y) 当 OPOB4 时， OP216所以 4+y216解得 2 3y 当 P在 (2, 2 3) 时， B、
7、O、P三点共线（如图2） 当 BPBO4 时， BP216所以 22 4(23)16y 解得 12 2 3yy 当 PBPO时， PB2PO2所以 2222 4(23)2yy 解得 2 3y 综合、，点P的坐标为 (2,2 3) ，如图 2 所示 图 2 图 3 4.如图 1，已知一次函数y x7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点A，且与 x 轴交于点B （1）求点 A和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B作直线 l/y 轴动点 P从点 O 出 发，以每秒1 个单位长的速度，沿OCA 的路线向点A 运动；同时直 线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，
8、在平移过程中，直线l 交 x 轴于 点 R，交线段BA或线段 AO 于点 Q当点 P 到 达点 A 时，点 P和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t 秒 当 t 为何值时，以A、P 、 R 为顶点的三角形的面积为8？ 是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的 值；若不存在，请说明理由 图 1 解： （1）解方程组 7, 4 , 3 yx yx 得 3, 4. x y 所以点 A 的坐标是 (3，4) 令 70yx ，得 7x 所以点B的坐标是 (7，0) （ 2） 如图2，当P 在OC 上运动时， 0 t 4 由 8 A P RA C PPO RC
9、O RA SSSS 梯形 ， 得 111 3+7)44( 4)(7)8 222 tttt（ 整理，得 2 8120tt 解得t2 或 t6（舍去）如 图 3，当 P在 CA上运动时，APR的最大面积为6 因此，当t2 时，以 A、P、R为顶点的三角形的面积为8 图 2 图 3 图 4 我们先讨论P在 OC上运动时的情形，0t4 如图 1，在 AOB 中， B45， AOB45， OB7， 42AB ，所以 OB AB因此 OAB AOB B 如图 4，点 P由 O 向 C 运动的过程中，OPBRRQ，所以 PQ/x 轴 因此 AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQ AQP的情况
10、此时点 A 在 PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以 BR1，t1 我们再来讨论P在 CA上运动时的情形，4t7 在 APQ中， 3 cos 5 A 为定值， 7APt， 5520 333 AQOAOQOAORt 如图 5，当 APAQ 时，解方程 520 7 33 tt ，得 41 8 t 如图 6，当 QP QA 时，点 Q 在 PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程 72(7)(4)ttt ， 得 5t 如 7，当 PA PQ 时，那么 1 2 cos AQ A AP 因此 2cosAQAPA 解方程 5203 2(7) 335 tt ，得 226 43 t 综上所述， t1 或
11、41 8 或 5 或 226 43 时， APQ是等腰三角形 图 5 图 6 图 7 5.如图 1，在矩形ABCD中， ABm（m 是大于 0 的常数），BC8，E为线段 BC上的动点（不与B、C 重合）连结 DE，作 EF DE，EF与射线 BA交于点 F，设 CE x，BF y （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若 m8，求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？ （3）若 12 y m ，要使 DEF为等腰三角形，m 的值应为多少？ 图 1 解： (1)因为 EDC与 FEB都是 DEC的余角，所以EDC FEB 又因为 C B90，所以 DCE EBF 因此 DCEB
12、 CEBF ，即 8mx xy 整理，得y 关于 x 的函数关系为 2 18 yxx mm (2)如图 2，当 m8 时， 22 11 (4)2 88 yxxx 因此当x4 时， y 取得最大值为2 (3) 若 12 y m，那么 21218 xx mmm 整理，得 2 8120xx 解得x2 或 x6要使 DEF 为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCE EBF ，所以 CEBF，即 xy将 xy 2 代 入 12 y m ，得 m6（如图 3） ；将 xy 6 代入 12 y m ，得 m2（如图 4） 图 2 图 3 图 4 6.如图 1，在等腰梯形ABCD中， AD/BC，E是 A
13、B的中点，过点E作 EF/BC交 CD于点 F，AB4，BC 6， B60 （1）求点 E到 BC的距离； （2）点 P为线段 EF上的一个动点， 过点 P作 PMEF交 BC于 M，过 M 作 MN/AB 交折线 ADC于 N， 连结 PN，设 EP x 当点 N 在线段 AD 上时（如图2） ， PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长；若 改变，请说明理由； 当点 N 在线段 DC上时（如图3） ，是否存在点P，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满 足条件的x 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 图 3 解： （1）如图 4，过点 E作 EG BC于 G
14、在 RtBEG中， 2 2 1 ABBE ， B60， 所以 160cosBEBG ， 360sinBEEG 所以点 E到 BC的距离为 3 （2）因为 AD/EF/BC，E是 AB的中点，所以F是 DC的中点 因此 EF是梯形 ABCD的中位线， EF 4 如图 4，当点 N 在线段 AD 上时， PMN 的形状不是否发生改变 过点 N 作 NHEF于 H，设 PH 与 NM 交于点 Q 在矩形 EGMP中， EP GMx， PMEG 3 在平行四边形BMQE中， BMEQ 1x 所以 BGPQ1 因为 PM 与 NH 平行且相等，所以PH与 NM 互相平分， PH2PQ2 在 RtPNH
15、中， NH 3 ， PH2，所以 PN 7 在平行四边形ABMN 中， MNAB4 因此 PMN 的周长为 3 7 4 图 4 图 5 当点 N 在线段 DC上时， CMN 恒为等边三角形 如图 5，当 PMPN 时， PMC 与 PNC关于直线PC对称，点 P在 DCB的平分线上 在 RtPCM 中， PM 3 ， PCM30，所以MC3 此时 M、P分别为 BC、EF的中点， x2 如图 6，当 MPMN 时， MPMNMC 3 ，xGMGCMC5 3 如图 7，当 NPNM 时， NMP NPM30，所以 PNM120 又因为 FNM 120，所以P与 F重合 此时 x4 综上所述，当x2 或 4 或 5 3 时， PMN 为等腰三角形 图 6 图 7 图 8