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1、专训 2线段上的动点问题 名师点金： 解决线段上的动点问题一般需注意：（1）找准点的各种可能的位置；（2）通 常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长（有可能是常数，那就是定值），再由题意列 方程求解 . 线段上动点与三等分点问题的综合 1.如图，在射线OM 上有三点A、 B、 C，满足 OA 20 cm，AB60 cm，BC10 cm， 点 P 从点 O 出发，沿 OM 方向以 1 cm/s的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向 点 O 匀速运动（点Q 运动到点O 时， P、Q 均停止运动） ，两点同时出发. （1）当 PA 2PB 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三
2、等分点，求点Q 的运动 速度 . （2）若点 Q 运动速度为3 cm/s，经过多长时间P、Q 两点相距70 cm. （第 1 题） 线段上动点问题中的存在性问题 2.如图，已知数轴上A，B 两点对应的数分别为2，6，O 为原点，点P 为数轴上的一 动点，其对应的数为x. （第 2 题） （1）PA，PB（用含 x 的式子表示） . （2）在数轴上是否存在点P，使 PAPB10？若存在，请求出x 的值；若不存在，请 说明理由 . （3）点 P以 1 个单位长度 /s 的速度从点O 向右运动， 同时点 A 以 5 个单位长度 /s的速 度向左运动，点B 以 20 个单位长度 /s 的速度向右运动，
3、在运动过程中，M，N 分别是 AP， OB 的中点，问： ABOP MN 的值是否发生变化？请说明理由. 线段和差倍分关系中的动点问题 3.如图， 线段 AB 24，动点 P 从 A 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿射线AB 运动， M 为 AP 的中点，设P 的运动时间为x 秒. （1）当 PB 2AM 时，求 x 的值 . （2）当 P在线段 AB 上运动时，试说明2BM BP 为定值 . （3）当 P在 AB 延长线上运动时，N 为 BP 的中点，下列两个结论：MN 长度不变； MA PN 的值不变 .选择一个正确的结论，并求出其值. （第 3 题） 线段上的动点的方案问题 4.情
4、景一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什 么呢？试用所学数学知识来说明这个问题. （第 4 题） 情景二：如图， A，B 是河流 l 两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水， 问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P 的位置，并说 明你的理由 . 答案 1解： (1)当点 P 在线段 AB 上时，由PA2PB 及 AB 60，可求得PA40，OP 60，故点 P运动时间为60 s. 当 AQ AB 3 时， BQ 40，CQ 50，点 Q 的运动速度为50 60 5 6(cm/s)； 当 BQ AB 3 时， BQ20，CQ3
5、0，点 Q 的运动速度为50 60 1 2(cm/s) 当点 P在线段 AB 延长线上时，由PA2PB 及 AB 60，可求得PA120， OP140，故点 P 运动时间为140 s. 当 AQ AB 3 时， BQ 40，CQ 50，点 Q 的运动速度为50 140 5 14(cm/s)； 当 BQ AB 3 时， BQ20，CQ30，点 Q 的运动速度为30 140 3 14(cm/s) (2)设运动时间为t s，则 t3t90 70， t5 或 40， 因为点 Q 运动到 O 点时停止运动， 所以点 Q 最多运动30 s，故经过5 s 两点相距70 cm. 2解： (1)|x2|；|x6
6、| (2)分三种情况： 当点 P在 A，B 之间时， PAPB8，故舍去； 当点 P在 B 点右边时， PAx2，PBx6， 因为 (x2)(x6)10，所以 x7； 当点 P在 A 点左边时， PA x2，PB6x， 因为 (x2)(6x)10，所以 x 3. 综上，当x 3 或 7 时， PAPB10. (3) AB OP MN 的值不发生变化 理由如下：设运动时间为t s， 则 OPt，OA 5t2，OB 20t6，AB OA OB25t8， ABOP24t 8，APOA OP6t2，AM 1 2AP3t1， OM OAAM 5t2(3t 1)2t1，ON1 2OB10t3， 所以 MN OM ON12t 4.所以 AB OP MN 24t8 12t4 2. 3 解： (1)当点 P在点 B 左边时， PA2x， PB242x，AM x，所以 242x2x， 即 x 6；当点 P 在点 B 右边时， PA2x，PB 2x24，AM x，所以 2x242x，方程 无解综上可得，x 的值为 6.