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1、1 三角函数最值问题的十种常见解法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角 函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面 应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值 问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角 函数最值的方法： 一转化一次函数 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性， 利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法. 例 1求函数2cos1yx的值域 分析 此为cosyaxb型的三角函数
2、求最值问题，设costx，由三角函数的有 界性得1,1t，则21 3,1yt 二. 转化sin()yAxb(辅助角法 ) 观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一. 例 2（ 2017 年全国 II 卷）求函数( )2cossinf xxx的最大值为. 分析 此为 sincosyaxbx型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三 角函数化为sin()yAxB的形式， 再借助三角函数图象研究性质，解题时注意 观察角、函数名、结构等特征一般可利用 22 | sincos |axbxab 求最值 . 2 ( )215f x . 三. 转化二次函数(配方法 ) 若函数表达式中只含有正弦函
3、数或余弦函数，且它们次数是2 时，一般就需要通过配方 或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理. 例 3 求函数3cos3sin2 xxy的最小值 . 2 分析 利用 22 sincos1xx将原函数转化为2cos3cos 2 xxy，令costx， 则, 23, 11 2 ttyt配方，得 4 1 2 3 2 ty, , 11t当 t=1 时,即 cosx=1 时，0 min y 四. 引入参数转化（换元法） 对 于 表 达 式 中 同 时 含 有sinx+cosx ， 与sinxcosx的 函 数 ， 运 用 关 系 式 ,cossin21cossin 2 xxxx一般都可采用换元
4、法转化为t 的二次函数去求最值，但 必须要注意换元后新变量的取值范围. 例 4. 求函数sincossin.cosyxxxx的最大值 . 分 析 解 ： 令.c o ss i n21c o ss i n 2 xxxx， 设sincos .txx则 t t yt t xx 2 1 ,2,2 2 1 cossin 22 ，其中 2,2t 当.2 2 1 , 1 4 sin,2 max yxt 五. 利用基本不等式法 利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项， 凑常数，同时要注意等号成立的条件， 否则会陷入误区. 例 5. 已知,0x，求函数 1 sin 2sin yx x 的最小值 . 分析 此
5、题为 x a x sin sin型三角函数求最值问题，当sinx0,a1，不能用均值不等式求最 值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设 11 sin, 01 ,2.2 22 xttytt tt ，当且仅当 2 2 t时等号成立 . 六利用函数在区间内的单调性 例 6. 已知,0x，求函数 x xy sin 2 sin的最小值 . 分析 此题为 x a x sin sin型三角函数求最值问题，当sinx0,a1，不能用均值不等式求最 3 值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设 t tyttx 1 ,10,sin，在（ 0， 1）上为减函数，当t=1 时，3 min y. 七转化部分分式
6、例 7求函数 1cos2 1cos2 x x y的值域 分析 此为 dxc bxa y cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、 同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反 解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos, 1cos2 2 1x x y，可直接得到：3y或. 3 1 y 解法一：原函数变形为, 1 12 1 , 1cos, 12 1 cos y y x y y x 3y或 . 3 1 y 八数形结合 由于1cossin 22 xx，所以从图形考虑，点(cosx,sinx) 在单位圆上，这样对一类既含
7、 有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例 8 求函数x x x y0 cos2 sin 的最小值 . 分析 法一：将表达式改写成, cos2 sin0 x x yy 可看成连接两点A(2,0) 与点 (cosx,sinx) 的直线的斜率.由于点 (cosx,sinx) 的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是 在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小. 设过点 A 的切线与半圆相切与点B,则.0ykAB 可求得. 3 3 6 5 tan AB k 所以 y 的最小值为 3 3 （此时 3 x）. 法二： 该题也可利用关系式asinx+bcosx
8、=xbasin 22 （即引入辅助角法）和有 界性来求解 . 4 九判别式法 例 9 求函数 2 2 tantan1 tantan1 xx y xx 的最值 . 分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法. 解： 2 2 2 tantan1 tantan1 1 tan1 tan10 1,tan0, xx y xx yxyxy yxxkk 1y时此时一元二次方程总有实数解 . 3 3 1 0313, 0141 22 y yyyy 由 y=3，tanx=-1，3, 4 max yzkkx 由. 3 1 , 4 ,1tan, 3 1 min ykxxy 十分类讨论法 含参数的三角
9、函数的值域问题，需要对参数进行讨论. 例 10.设 2 0 2 1 4 sincos 2 x a xaxxf，用 a 表示 f(x) 的最大值 M(a). 解：. 2 1 4 sinsin 2a xaxxf令 sinx=t,则, 10t . 2 1 4422 1 4 2 2 2aaa t a attxftg （1）当1 2 a ，即tga,2在0， 1上递增，; 2 1 4 3 1 a gaM （2）当, 1 2 0 a 即20a时，tg在0，1上先增后减， ; 2 1 442 2 aaa gaM 5 （3）当,0 2 a 即tga,0在0，1上递减，. 42 1 0 a gaM 0, 42
10、1 20, 2 1 44 2, 2 1 4 3 2 a a a aa a a aM 以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这 类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在. 挑战自我： 1. 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值 2.已知函数Rxxxxy1cossin 2 3 cos 2 12 当函数y 取得最大值时，求自变 量 x 的集合 . 3.已知函数)cos(sinsin2xxxxf，求函数f(x) 的最小正周期和最大值. 参考答案： 1.分析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍 角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. 4 8 33 16 1 2, 2 21sin 6 8 33 16 81 2, 2 2, 1sin, 1sin1 8 33 4 5 sin21sin5sin2sin21sin5 max min 2 22 yzkkxx yzkkxxx xxxxxy 2.分析 此类问题为xcxxbxay 22 coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通 过降次化简整理为xbxaycossin型求解 . 解：