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1、专训 1利用特殊四边形的性质巧解动点问题 名师点金: 利用特殊四边形的性质解动点问题,一般将动点看成特殊点解决问题,再运 用从特殊到一般的思想 ,将特殊点转化为一般点( 动点 ) 来解答 平行四边形中的动点问题 1如图, 在?ABCD 中,E,F 两点在对角线BD 上运动 (E,F 不重合 ),且保持 BE DF, 连接 AE,CF.请你猜想AE 与 CF 有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由 (第 1 题) 菱形中的动点问题 2如图,在菱形ABCD 中, B60 ,动点 E 在边 BC 上,动点F 在边 CD 上 (1)如图,若E 是 BC 的中点, AEF60 ,求证: BEDF; (2
2、)如图,若EAF60 ,求证: AEF 是等边三角形 (第 2 题) 矩形中的动点问题 3在矩形ABCD 中, AB4 cm,BC8 cm,AC 的垂直平分线EF 分别交 AD,BC 于 点 E, F,垂足为O. (1)如图,连接AF, CE.试说明四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长 (2)如图,动点P,Q 分别从 A,C 两点同时出发,沿AFB 和 CDE 各边匀速运动 一周,即点P 自 AF BA 停止,点Q 自 CDE C 停止在运动过程中,已知点P 的速度为5 cm/s,点 Q 的速度为4 cm/s,运动时间为t s,当以 A,C,P,Q 四点为顶点的 四边形是平行四边形时,求t
3、的值 (第 3 题 ) 正方形中的动点问题 4如图,正方形ABCD 的边长为8 cm,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD, DA 上的 动点,且 AEBFCGDH . (1)求证:四边形EFGH 是正方形; (2)判断直线EG 是否经过一个定点,并说明理由 (第 4 题) 答案 1解: AECF ,AECF.理由如下: 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,AB CD. ABE CDF . 又 BEDF , ABE CDF . AECF, AEB CFD . AEB AED CFD CFB 180 , AED CFB .AE CF. 2证明: (1)连接 AC.在菱形ABCD 中,
4、 B60 ,ABBCCD, BCD180 B120 ,ABC 是等边三角形 又 E 是 BC 的中点, AEBC. AEF60 , FEC 90 AEF30 . CFE180 FEC BCD180 30 120 30 . FEC CFE .EC CF. BEDF . (2)连接 AC.由(1)知 ABC 是等边三角形, ABAC, ACB BAC EAF60 . BAE CAF. BCD120 , ACB60 , ACF60 B. ABE ACF. AEAF. AEF 是等边三角形 3解: (1)四边形ABCD 是矩形, ADBC. OAE OCF, AEO CFO. EF 垂直平分AC,垂足
5、为O, OAOC. AOE COF.OEOF. 四边形 AFCE 为平行四边形 又 EFAC,四边形AFCE 为菱形 设 AF CFx cm,则 BF(8x)cm, 在 RtABF 中, AB 4 cm,由勾股定理得42(8x)2x2,解得 x5, AF5 cm. (第 3 题) (2)显然当 P 点在 AF 上, Q 点在 CD 上时, A,C,P,Q 四点不可能构成平行四边形; 同理 P 点在 AB 上时, Q 点在 DE 或 CE 上,也不可能构成平行四边形因此只有当P 点在 BF 上, Q 点在 ED 上时,才能构成平行四边形,如图,连接AP,CQ,若以 A,C,P,Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,则PCQA. 点 P 的速度为5 cm/s,点 Q 的速度为 4 cm/s,运动时间为t s, PC5t cm,QA(124t)cm. 5t124t,解得 t 4 3.