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1、最新中考数学专题训练 - 圆的证明与计算 1.如图，已知 ABC 内接于 O， P 是圆外一点， PA 为O 的切线，且 PAPB，连接OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点 D. （1）求证： PB 为O 的切线； （2）若 PA PO，O 的半径为 10，求线段PD 的长. 4 5 第 1 题图 (1)证明： 如解图，连接 OA、OB， 第 1 题解图 PAPB，OAOB，OPOP， OAPOBP(SSS)， OAPOBP， PA 为O 的切线， OAP90 ， OBP90 ， OB 为O 的半径， PB 为O 的切线； (2)解：PA PO，O 的半径为 10， 4 5 在 RtAO
2、P 中，OA10， PO2（ 4 5PO） 2 解得 PO， 50 3 cosAOP， AO OP OD AO OD6， PDPOOD. 32 3 2. 如图，在 ABC 中， ABAC，点 D 为 BC 上一点，且ADDC，过 A，B，D 三点作 O，AE 是O 的直径，连接 DE. （1）求证： AC 是O 的切线； （2）若 cos C ，AC24，求直径 AE 的长. 3 5 第 2 题图 (1)证明： ABAC，ADDC， CB，DACC， DACB， 又 EB， DACE， AE 是O 的直径， ADE90 ， EEAD90 ， DACEAD90 ， 即EAC90 ， AEAC，
3、OA 是O 的半径， AC 是O 的切线； (2)解：如解图，过点 D 作 DFAC 于点 F， 第 2 题解图 DADC， CF AC12， 1 2 在 RtCDF 中， cos C ， CF CD 3 5 DC20， AD20， 在 RtCDF 中，由勾股定理得16 22 CFCDDF， ADEDFC90 ，EC， ADEDFC， ， AE DC AD DF 即 16 20 ，解得 AE25， AE 20 即O 的直径 AE 为 25. 3如图，在 ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径作 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 E 作O 的切线 EF，交 BC 于点 F （1
4、）求证： EFBC； （2）若 CD=2，tan C=2，求 O 的半径 第 3 题图 （1）证明： 如解图，连接 BE，OE 第 3 题解图 AB 为O 的直径， AEB=90 AB=BC， 点 E 是 AC 的中点， 点 O 是 AB 的中点， OEBC， EF 是O 的切线， EFOE EFBC； （2）解：如解图，连接 AD， AB 为O 的直径， ADB=90 ， CD=2，tan C= CD AD 2， AD=4 设 AB=x， 则 BD=x2 在 RtABD 中， 由勾股定理得 AB2=AD2+BD2， 即 x2=42+（x2）2， 解得 x=5，即 AB=5， O 的半径为 2
5、 5 4.如图，已知 O 是以 AB为直径的 ABC 的外接圆，过点A 作O 的切 线交 OC 的延长线于点 D，交 BC 的延长线于点 E. （1）求证： DACDCE； （2）若 AB2， sin D ，求 AE 的长. 1 3 第 4 题图 (1)证明：AD 是O 的切线， DAB90. AB 是O 的直径， ACB90. DACCAB90 ，CABABC90 ， DACABC. OCOB， ABCOCB， 又 DCEOCB， DACDCE； (2)解：AB2， AO1. sin D ， AO OD 1 3 OD3，DC2， 在 RtDAO 中， 由勾股定理得 AD2，OD2OA2 2
6、DACDCE，DD， DECDCA， ， DC DA DE DC 即， 2 2 2 DE 2 解得 DE，2 AEADDE.2 5.如图， AB 是 O 的弦， D 为半径 OA 的中点，过点D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于点 F，且 BC 是O 的切线. （1）求证： CECB； （2）连接 AF，BF，求ABF 的度数； （3）若 CD15， BE10，求O 的半径. DE AE 5 13 第 5 题图 (1)证明： 如解图，连接 OB， 第 5 题解图 BC 是O 的切线， OBBC，即 OBC90 ， OBACBE90 ， OAOB， OABOBA， OAB+CBE90
7、 ， 又CDOA， OABDEA90 ， 又 CEBDEA， CBECEB， CECB； (2)解：如解图，连接 OF， DADO，CDOA，AFOF， 又OAOF， AOF 是等边三角形， AOF=60 ， ABF AOF30 ； 1 2 (3)解：如解图，过点 C 作 CGAB 于点 G， CDOA， ADECGE90 ， 又 AEDCEG， ADECGE， ， DE AE EG CE 5 13 CEBC， BGEG BE5， 1 2 CE13， DECDCE2，AE， 26 5 在 RtADE 中，由勾股定理得AD 22 DEAE， 24 5 OA2AD， 48 5 O 的半径为. 48
8、 5 6.如图，四边形ABCD 内接于 O，AB 是O 的直径， ADDC，分别延 长 BA，CD 交于点 E，作 BFEC，交 EC 的延长线交于点F，连接 BD. （1）求证： BFCBDA； （2）若 AEAO，求 cosADE； （3）在（ 2）的条件下，若 BC6，求 BF 的长. 第 6 题图 (1)证明： AB 是O 的直径， BDA90. BFEC， BFC90 ， 四边形 ABCD 是O 的内接四边形， BCFBAD， BFCBDA； (2)解：如解图，连接 OD，AC， 第 6 题解图 BFCBDA， ， BF BD BC AB OD 是O 的半径， ADCD， OD 垂直
9、平分 AC， AB 是O 的直径， ACB=90 ， ODBC， EODEBC， ， OE BE OD BC AEAO，即 OE2OB，BE3OB， BE OE ， OD BC 2 3 BC OD， 3 2 ， BF BD BC AB 3 2OD 2OD 3 4 ADB90 ， ADEBDF90 ， BDFDBF90 ， ADEDBF， 在 RtBDF 中，cosDBF ， BF BD 3 4 cosADE ； 3 4 (3)解：BC OD，BC6， 3 2 OD4， AE4，BE12， EODEBC， ， DE CE OD BC CE DE， 3 2 又 EDAEBC，EE， AEDCEB，
10、 ， AE CE DE BE DE CEAE BE， DEDE412 ， 3 2 DE4(负值舍去 )，2 CD2，AD2，22 BFCBDA， ， CF BC AD AB CF 6 2 2 8 CF， 3 2 2 在 RtBCF 中，根据勾股定理得， BF.BC2CF2 3 14 2 7.如图， AB是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H，连接 AC，过BD上一点 E 作 EGAC 交 CD 的延长线于点 G，连 接 AE 交 CD 于点 F，且 EG=FG，连接 CE （1）求证： ECFGCE； （2）求证： EG 是O 的切线； （3）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 tan
11、G= 4 3 ，AH=3， 求 EM 的值 第 7 题图 （1）证明： ACEG， G=ACG， AB 是O 的直径， ABCD， AD=AC， CEF=ACD， G=CEF， ECF=ECG， ECFGCE； （2）证明： 如解图，连接 OE， 第 7 题解图 GF=GE， GFE=GEF=AFH， OA=OE， OAE=OEA， AFH+FAH=90 ， GEF+AEO=90 ， GEO=90 ， GEOE， OE 是O 的半径， EG 是O 的切线； （3）解：如解图，连接 OC， 设O 的半径为 r 在 RtAHC 中， tanACH=tanG= HC AH = 4 3 ， AH=3，
12、 HC=4 在 RtHOC 中， OC=r，OH=r3，HC=4， （r3） 2+42=r2， 解得 r= 6 25 ， GMAC， CAH=M， OEM=AHC=90 ， AHCMEO， OE HC EM AH ， 即 6 25 43 EM ， 8 25 EM 8如图， AB 为 O 的直径， C、G 是 O 上两点，过点C 的直线 CD BG 交 BG 的延长线于点D，交 BA 的延长线于点E，连接 BC，交 OD 于 点 F，且 BC 平分ABD （1）求证： CD 是O 的切线； （2）若 3 2 FD OF ，求 E 的度数； （3）连接 AD，在（2）的条件下，若 CD=2 3，求
13、 AD 的长 第 8 题图 （1）证明： 如解图，连接 OC， 第 8 题解图 OC=OB，BC 平分ABD， OCB=OBC，OBC=DBC， DBC=OCB， OCBD， BDC=ECO， CDBD， BDC=90 ， ECO=90 ， OC 是O 的半径， CD 是O 的切线； （2）解：由（1）知， OCBD， OCF=DBF，COF=BDF， OCFDBF， DB OC FD OF ， 3 2 FD OF ， 3 2 DB OC ， OCBD， EOCEBD， EB EO BD OC ， 3 2 EB EO ， 设 OE=2a，则 EB=3a， OB=a， OC=a， OCE=90
14、，OC= 2 1 OE， E=30 ； （3）解：E=30 ，BDE=90 ， EBD=60 ， BC 平分 DBE， OBC=DBC=EBD 2 1 =30 ， CD=2 3， BC=43，BD=6， 3 2 DB OC ， OC=4， 如解图，过点 D 作 DMAB 于点 M， DMB=90 ， BD=6，DBM=60 ， BM=3，DM=33， OC=4， AB=8， AM=ABBM=5， DMA=90 ，DM=33， AD=132 22 AMDM 9如图，在 ABC 中， ACB=90 ，O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的 O 与 BC 相交于点 D，与 AB 交于点 E，AD
15、平分 FAB，连接 ED 并延长 交 AC 的延长线于点 F （1）求证： BC 为O 的切线； （2）求证： AE=AF； （3）若 DE=3，sinBDE= 3 1 ，求 AC 的长 第 9 题图 （1）证明： 如解图，连接 OD 第 9 题解图 AD 平分 FAB， CAD=DAB， OA=OD， DAB=ODA， CAD=ODA， ACOD， ODB=ACB=90 ， ODBC， OD 为O 的半径， BC 为O 的切线； （2）证明： 由（1）知 ODAC， ODE=F OD=OE， OED=ODE， OED=F AE=AF； （3）解：AE 是O 的直径， ADE=90 DAF+F
16、=90 ， AE=AF， DF=DE=3 ACB=90 ， CDF+F=90 ， DAF=CDF=BDE 在 RtADF 中， 3 1 sinsinBDEDAF AF DF ， AF=3DF=9 在 RtCDF 中， 3 1 sinsinBDECDF DF CF ， 1 3 1 DFCF AC=AFCF=8 10如图，在 ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作 O，分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线于点E，过点 D 作 DHAC 于点 H，连接 DE 交线段 OA 于点 F （1）求证： DH 是O 的切线； （2）若 AE=AH ，求 EF FD 的值； （3）若 EA=EF=
17、1，求 O 的半径 第 10 题图 （1）证明： 如解图，连接 OD， 第 10 题解图 OB=OD， OBD=ODB， AB=AC， ABC=ACB， ODB=ACB， ODAC， DHAC， DHOD， OD 是O 的半径， DH 是O 的切线； （2）解：E=B，AB=AC， E=B=C， ED=DC， DHEC， EH=CH， AE=AH， AE= 3 1 AC， AO=BO，ODAC， OD 是ABC 的中位线， OD= 2 1 AC， 2 3 AE OD ， AEOD， AEFODF， 2 3 AE OD EF FD ； （3）解：设O 的半径为 r，即 OD=OB=r， EF=EA， EFA=EAF， ODEC， FOD=EAF， 则FOD=EAF=EFA=OFD， DF=OD=r， DE=DF+EF=r+1， BD=CD=DE=r+1， 在O 中， BDE=EAB， BFD=EFA=EAB=BDE， BF=BD=r+1， AF=ABBF=2OBBF=2r（1+r）=r1， BFD=EFA，B=E， BFDEFA， FD BF FA EF ， r r r 1 1 1 ， 解得 r= 2 51 （负值已舍）， O 的半径为 2 51