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1、正多边形与圆 【学习目标】 知道正多边形的有关概念，了解正多边形的对称性以及正多边形与圆的关系，能够将正 多边形问题转变为解直角三角形问题，会用量角器画正多边形，能够利用直尺和圆规画一些 特殊的正多边形 【课前热身】 1正十二边形每个内角的度数为_ 2如图所示，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则1_ 3如图，在分别以正六边形ABCDEF 的顶点为圆心、4cm 为半径的六个圆中，若相邻两圆 外切，则该正六边形的边长是_cm 4给出下列说法：正多边形的各条边相等；各边相等的多边形是正多边形；各角相 等的多边形是正多边形；各边相等的圆的内接多边形是正多边形；既是轴对称又是中心 对称的多边形是正多边
2、形其中正确说法的个数是( ) A1 B2 C 3 D4 5如图，若过正五边形ABCDE 的顶点 A 作直线 lBE，则 1 的度数为( ) A30B36C 38D45 6如图，已知O 和 O 上的一点A用直尺和圆规作出O 的内接正方形ABCD 和内接 正八边形 AEBFCGDH 【课堂互动】 知识点 1 正多边形的概念 例 1 若一个多边形的每一个内角都等于108，则这个多边形的边数是_ 例 2 一个正多边形的每个外角都等于36，那么它是( ) A正六边形B正八边形C 正十边形D正十二边形 跟踪训练 1正八边形的一个内角是_ 2下列正多边形的中心角等于内角的是( ) A正六边形B正五边形 C正
3、四边形 D 正三边形 3正六边形的边心距与边长之比为( ) A3：3 B3：2 C1： 2 D 2：2 知识点 2 正多边形的性质 例 1 如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AC ，AD 与 BE 分别交于点M，N下列 说法错误的是( ) A四边形 BCDN 是菱形B四边形CDNM 是等腰梯形 C AEM 与 CBN 相似D AEN 与 ABM 全等 例 2 用 4 个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一 圈后中间形成一个正方形，如图1用 n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围 成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 _ 例 3 如图，有一个O
4、和两个正六边形T1，T2T1的 6 个顶点都在圆周上，T2的 6 条 边都和 O 相切（我们称T1，T2分别为 O 的内接正六边形和外切正六边形） (1)设 T1， T2的边长分别为 a，b， O 的半径为r，求 r：a 及 r：b 的值； (2)求正六边形T1，T2的面积比 S1：S2的值 跟踪训练 1若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_ 2若正六边形的边心距为3，则它的周长是( ) A6 B12 C63 D123 3半径为R 的圆的内接正三角形的面积是( ) A 3 2 R 2 B R 2 C 3 3 2 R 2 D 3 3 4 R 2 知识点 3 阅读理解题 例数学课堂上，
5、徐老师出示了一道试题： 如图，在正三角形ABC 中， M 是边 BC( 不含端点B，C)上任意一点， P 是 BC 延长线 上一点， N 是 ACP 的平分线上一点，若AMN 60，求证： AM MN (1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将该证明过程补充完整 证明：在AB 上截取 EAMC，连接 EM ，得 AEM 1 180 AMB AMN ，2180 AMB B，AMN B60 ， 1 2 又 CN 平分 ACP， 4 1 2 ACP60 MCN 3 4120 又 BA BC，EAMC， BA EABCMC ，即 BEBM ， BEM 为等边三角形，660 5 180 6 1
6、20， 由得 MCN 5 在 AEM 和 MCN 中， _，_，_， AEM MCN(ASA) AM MN (2)如图所示， 若将试题中的 “正三角形ABC ”改为“正方形A1B1C1D1” ，N1 是 D1C1P1 的平分线上一点，则当A1M1N190时，结论A1M1M 1N1是否还成立？（直接给 出答案，不需要证明） (3)若将题中的“正三角形ABC ” 改为 “正多边形AnBnCnDn, Xn” ， 请你猜想： 当 AnMnNn _时，结论AnMn MnNn仍然成立（直接写出答案，不需要证明） 跟踪训练 已知图 1， 图 2， 图 3， , ， 图 n， M， N 分别是 O 的内接正三
7、角形ABC ， 正方形 ABCD ， 正五边形ABCDE ，, ，正n 边形 ABCDE 的边AB， BC 上的点，且BM CN，连接 OM，ON (1)求图 1 中 MON 的度数； (2)图 2 中 MON 的度数是 _，图 3 中 MON 的度数是 _； (3)试探究 MON 的度数与正n 边形边数的关系 （直接写出答案） 参考答案 课前热身 1.150 2.303.8 4.B5.B6图略 课堂互动 知识点 1 例 1 5例 2 C 跟踪训练 1.135 2C3B 知识点 2 例 1C例 26 例 3 (1)3：2 (2)3：4 跟踪训练 1.2432 B 3D 知识点 3 例(1)5 MCNAEMC 2 1(2)结论成立(3) 2 180 n n 跟踪训练 (1)120(2)9072(3) 360 n