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1、三角形中位线应用举例 三角形的中位线的性质不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量 关系，借助三角形中位线的性质可以解决许多相关问题. 一、计算角度 例 1 如图 1，四边形形ABCD 中， ABCD，AD = CD，E、F 分别是 AB、 BC 的中 点，若 1 = 35 ，则 D = 分析 :根据 E、F 分别是 AB 、BC 的中点 ,可知 EF 是 ABC 的中位线 ,根据中位线性质可知 EF/AC, 这样可得 CAB= 1=35 ,再根据CD/AB, 可得 DCA= CAB=35 ,由此可求到 D 的度数 . 解:因为 E、F 分别是 AB 、BC 的中点 , 所以
2、EF/CA, 所以 CAB= 1=35 ,又 CD/AB, 所以 DAC= CAB=35 , 又因为 DC=DA, 所以 DAC=35 , 图 1 所以 D=110 . 评注 :本题主要借助三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质,找到 1 的度数与 D 的度数之间的关系. 二、求线段的长度 例 2 如图 2，已知四边形ABCD 中， E、F 分别是边AD 、BC 的中点，且EF/AB ，与 对角线交于M、N 两点，若 EF=20cm，MN=8cm ，求 AB 的长 . 分析：根据 E、F 分别是 AD 、BC 的中点， 且 EF/AB ，可知 EN、FM 分别是 ABD 和 ABC 的中位线，
3、根据三角形的中位线的性质可得到EN、FM 与 AB 之间的数量关系， 进而求到 EF、MN 与 AB 之间的关系 . 解：因为 EF/AB ，E、F 分别是 AD 、BC 的中点， 所以 EN 是ABD 的中位线，所以EN= 2 1 AB， 同理可得 FM= 2 1 AB ， 所以 EN+FM=AB ，图 2 所以 (EM+MN)+(MN+NF)=AB，即 EF+MN=AB ，所以 AB=20+8=28(cm). 评注 :本题借助三角形中位线的性质找到AB 与 EN、MF 之间的关系，然后通过线段之 间的转化得到AB 与 EF、MN 之间的关系 . 三、说明线段相等 例 3 已知，如图3，在
4、ABC 中，AE=EC ，AD BC ，EFBC，BE=2EF，AD 与 BE 相等吗？说明理由. 分析：根据AD BC，EFBC，可知 AD/EF ，再根据AE=CE 可知 EF 是ACD 的中位线，根据中位线的性质可知EF 等于 AD 的一半，又知EF 等于 BE 的一半，所以可 以说明 AD=BE. 解： BE=AD. 理由：因为AD BC，EFBC，所以 AD/EF ， 因为 AE=CE ，所以 EF 是ACD 的中位线，所以EF= 2 1 AD ， 又 EF= 2 1 BE，所以 BE=AD. 图 3 评注：本题主要根据三角形的中位线的性质，找到AD 与 EF 的关系，再根据BE 与
5、 EF 的关系，进而得到AD=BE. 四、判断四边形的形状 例 4 如图 4，点EFGH， ， ，分别为四边形ABCD的边ABBCCDDA，的中点， 试判断四边形EFGH的形状，并说明理由 分析：因为点E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，中点联想中位线，所以 连接 AC，可利用三角形的中位线的性质，说明HG/EF，HG=EF ，根据一组对边平行且相 等的四边形是平行三边形说明四边形HEFG 是平行四边形 . 解：四边形EFGH 是平行四边形 理由：连结AC，如图 2 因为 E、F 分别是 AB、BC 的中点， 所以 EF 是ABC的中位线， 所以 EF/AC ，且 1 2 EFAC 同理：GHAC，且 1 2 GHAC，所以EFGH 所以四边形EFGH是平行四边形 评注： 当已知四边形各边的中点时，一般需要连接四边形的对角线，将四边形转化为两 个三角形，然后利用三角形中位线的性质解决问题. A B C G D H F E 图 4