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1、直角三角形斜边上中线性质的运用 在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中， 斜边上的中 线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明. 例 1如图 1，已知， ABC 中， CEAD 于 E， BDAD 于 D，BM CM.求证： ME MD . 分析要证明 ME MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点 和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明. 证明延长 DM 与 CE 交于 N.因为 CEAD 于 E，BDAD 于 D， 所以 CEBD，即 NCM DBM， 又 CMN BMD，BMCM，所以 CMN BM
2、D ， 所以 NMDM，即 M 为 ND 中点 . 因为 CEAD 于 E，所以 NED 为直角三角形， 所以 ME 1 2 ND，所以 MEMD. 例 2如图 2，BD 、CE 是高， G、F 分别是 BC、DE 的中点，求证：FGDE. 分析有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点 性质和等腰三角形的性质，于是，连结 DG、EG， 可得 DG、 EG 分别是 RtBDC 和 RtBEC 的中线，可知GDE 是等腰三角形，进而由F 是 DE 的中点，即FGDE. 证明因为 BD、CE 是高，所以 BDC BEC90 ， 即 BDC 和 BEC 都是直角三角形.
3、又因为 G 是 BC 的中点，所以DGEG 1 2 BC，即 GDE 是等腰三角形. 因为 F 是 DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边 DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线， E D B C A F G 图 2 N E D C B A M 图 1 所以 FG DE. 例 3如图 3 所示，点E、F 分别为正方形ABCD 边 AB、BC 的中点， DF 、CE 交于点 M，CE 的延长线交DA 的延长线于G，试探索：（1） DF 与 CE 的位置关系；（2） MA 与 DG 的大小关系 . 分析（ 1）要探索 DF 与 CE 的位置关系
4、，由图可以猜想到DF CE，而由条件可以证明 EBC FCD，则有 ECB FDC ，即可证明DFCE.（2）仍然通过观察分析图形， 可以猜想MA 1 2 DG，而事实上，由（1）可知 DMG是直角三角形，再由条件可得 GAE CBE，即得 GA CB，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明. 解（ 1） DFCE.理由：因为点E、F 分别为正方形ABCD 边 AB、BC 的中点， 所以 B FCD 90 ，BE 1 2 AB， CF 1 2 BC，而 ABBCCD，即 BECF， 所以 EBC FCD，所以 ECB FDC ， 而 DFC FDC90 ，所以 DFC FCM90 ， 即
5、CMF90 ，所以 DFCE. （2）MA 1 2 DG.理由：因为F 是 AB 的中点，所以AEBE， 又 GAE B， AEG BEC，所以 GAE CBE，所以 GACB. 而由（ 1）可知 DMG 是直角三角形，所以MA 1 2 DG. 例 4已知：如图4，ABCD 中，对角线AC、 BD 相交于点O，EFAC，O 是垂足， EF 分别交 AB、CD 于点 E、 F，且 BEOE 1 2 AE.求证：ABCD 是矩形 . E D B C A F G M 图 3 图 4 A B C E G F O D 分析要证ABCD 是矩形，只要证ACBD 或 OA OB 即可 .由 BEOE 1 2
6、 AE，可 作出 RtAOE 斜边上的中线OG，这样可证得AOG BOE，于是证得OAOB. 证明取 AE 的中点 G，连结 OG，所以 RtAOE 中， OG 1 2 AE AG， 因为 BEOE 1 2 AE，所以 OEOG，AGBE，即 OGE OEG， 所以 AGO OEB，所以 AGO BEO，所以 OAOB， 又四边形 ABCD 是平行四边形，所以AC2OA，BD2OB，即 ACBD， 所以ABCD 是矩形 . 综上所述， 利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分 析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证 明中， 另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要 的. 下面一道题目供同学们自己练习： 如图 6 所示，在梯形ABCD 中， ABCD， C+D90 ，E、F 为 AB、CD 的中点 . 求证： CDAB2EF. 提示：作EMAD 交 CD 于 M，ENBC 交 CD 于 N.利用直角三角形斜边上中线等斜 边的一半 . 图 6 F E D C B A