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1、1 以三角板为背景的两类图形运动问题 纵观各地数学中考题，众多压轴题多以图形运动为主，而用我们熟知的三角板为运动 对象，巧妙创设命题情境，进而构造一系列问题串，以考查学生的综合运用能力下面举 例供同学们学习和复习时参考 一、以单只三角板为运动背景的图形运动问题 例 1 如图 1(1)，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在 x 轴正半轴上 滑动，点C 的坐标为 (t，0)，直角边AC 4，经过 O，C 两点作抛物线y1ax（xt） （a 为常数， a0） ，该抛物线与斜边AB 交于点 E，直线 OA ：y2 kx（k 为常数， k0） (1)填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k
2、 的值： A( )， k_； (2)随着三角板的滑动，当a时： 请你验证：抛物线y1 ax（x t）的顶点在函数y 1 4 x 2 的图象上； 当三角板滑至点E 为 AB 的中点时，求t 的值； (3)直线 OA 与抛物线的另一个交点为点D，当 tx t4 时， 21 yy-的值随 x 的增 大而减小；当x t4 时， 21 yy-的值随 x 的增大而增大，求a 与 t 的关系式及t 的取值 范围 分析此题虽是单只两直角边相等的三角板在直角坐标系的横轴上作平移运动，但由 于二次函数作为运动背景，增加了分析和解题难度 (1)根据题意易得点A 的横坐标与点C 的相同，点A 的纵坐标即是线段AC 的
3、长度， 把点 A 的坐标代入直线OA 的解析式来求k 的值； (2)求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y 1 4 x 2若该点满足函数 解析式 y 1 4 x 2，即表示该顶点在函数 y 1 4 x 2图象上；反之，该顶点不在函数 y 1 4 x2图象上； 如图 1(1)，过点 E 作 EKx 轴于点 K则 EK 是 ACB 的中位线，所以根据三角 2 形中位线定理易求点E 的坐标把点 E 的坐标代入抛物线y1 1 4 x （xt） ，即可求得t2； (3)如图 1(2)， 根据抛物线与直线相交，可以求得点D 横坐标是 4 at 4 则 t4 4 at 4，由此可以求得a 与 t
4、的关系式本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐 标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点解题时，注意“数形结合”数学思想的 应用 例 2 如图 2(1)，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边 OA2，OC6在 DC 上 取点 D 将 AOD 沿 AD 翻折，使O 点落在 AB 边上的 E 点处，将一个足够大的直角三角 板的顶点P 从 D 点出发沿线段DA AB 移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所 在直线与直线DE， BC 分别交于点M，N (1)填空： D 点坐标是 (_)，E 点坐标是 (_)； (2)如图 2(1)，当点 P 在线段 DA 上移动时，是否存在这样的点肘
5、，使CMN 为等腰 三角形？若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2(2)，当点 P 在线段 AB 上移动时，设P 点坐标为（ x， 2） ，记 DBN 的面积 为 S，请直接写出S 与 x 之间的函数关系式，并求出S 随 x 增大而减小时所对应的自变量 x 的取值范围 分析(1)根据 AOD 沿 AD 翻折，使O 点落在 AB 边上的 E 点处，得到 OAD EAD 45， DEOD求出 OD2，得出 D 点的坐标，再根据DEOD2，求出 E 点 的坐标； (2)由翻折可知四边形AODE 为正方形，过点M 作 MHBC 于点 H，先求出 NMH MNH 45，得出 N
6、H MH 4，MN 42 再根据直线OE 的解析式为y x， 依题意得MN OE 设 MN 的解析式为yxb， 根据 DE 的解析式为x2，BC 的解析式为x6，得出 M(2 ，2b)，N(6，6 b)， CM () 2 2 42b+， CN6b，MN 42 3 当 CMCN 时， 4 2(2b)2 (6b)2， 解之得 b 2，此时 M(2 ，0)； 当 CMMN 时， 42(2b)2 (42)2， 解得 b1 2，b1 6（不合题意舍去） ， 此时 M(2 ，4)； 当 CMMN 时， 6 b4 22， 解得 b426， 此时 M（2，424） ； (3)根据题意，先证出PBN DEP，得
7、出 BN 的值，再求出S 与 x 之间的函数关系 式 当 0x2 时， Sx 28x12(x 4)24； 当 2x6 时， S_x 28x12 (x4)24， 即可得出答案 此题用到的知识点是勾股定理、一次函数、二次函数的图象与性质、轴对称等，关键 是综合运用有关知识求出点的坐标，分类讨论思想得到充分运用 二、以一副三角板为背景的图形运动问题 例 3 有一副直角三角板在三角板ABC 中， BAC 90， ABAC6；在三角 板 DEF 中， FDE 90， DF4，DE43将这副直角三角板按如图3(1)所示位置 摆放，点B 与点 F 重合，直角边BA 与肋在同一条直线上，现固定三角板ABC ，
8、将三角 板 DEF 沿射线 BA 方向平行移动，当点F 运动到点A 时停止运动 (1)如图 3(2)，当三角板DEF 运动到点D 到点 A 重合时，设EF 与 BC 交于点 M，则 EMC_度； (2)如图 3(3)，当三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点 C 时，求 FC 的长； 4 (3)在三角板DEF 运动过程中，设BFx，两块三角板重叠部分的面积为y，求 y 与 x 的函数解析式，并求出对应的x 取值范围 分析本题先固定两直角边相等的三角板，让两直角边不等的三角板一直角边延着固 定三角板的一直角边作平移运动，提出了一系列问题 (1)如图 3(2)所示，由三角形的外角性质可得； (2
9、)如图 3(3)所示，在RtACF 中，解直角三角形即可； (3)认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况： 当 0x2 时，如图4(1)所示；当2x6 233时，如图4(2)所示；当6 23x 6 时，如图4(3)所示 本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图 形形状的变化情况，在解题计算过程中，除利用特殊角三角函数进行计算外，也可以利用 三角形相似来解，二法殊途同归 例 4 用两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问 题： 探究一将两个三角形如图6(1)拼接（ BC 和 ED 重合） ，在 BC 边上有一动点P (1)当点 P运动到 CFB 的角平分线上时，连接AP，求线段AP 的长； (2)当点 P 在运动的过程中出现PAFC 时，求 PAB 的度数