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1、1 例析中考数学一题多解 问题如图 1，矩形纸片ABCD中， AB 5，AD 4，将纸片折叠，使点B 落在边 CD 上的 B处，折痕为 AE，此时折痕AE 上存在一点P到边 CD 的距离与到点B 的距离相 等，则相等距离为_ 解析通过折叠， B 点到 B点的位置 已知折痕过A，故必先 “落实” 好 E 点的位置 由折叠得BEBE，AB AB 5 在 RtADB 中， AD 4， CE1.5BE2.5 注本题也有另外一种思路： 设 BEBEm，则 CE4 m 又在 RtECB中， CE 2BC2BE2 2 即(4m) 222m2，解之得 m2.5 故 BE2.5 思路一要考虑到 P 到边 CD
2、的距离与到点B 的距离相等如图2，过点 P作 GF 垂 直于 CD 分别交 CD、 AB 两边于 G、F 两点 设 PFx， AFy，则 PBPG4x， BF5y 由 AFP ABE，得 思路二因为 BE 的长度可以求得，P 到 B 点的距离和到CD 的距离可以转化为直角 坐标系中距离问题解决，于是建立坐标模型试解决该问题 如图 3，以 BA 所在直线为x 轴、BC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标 系 由解析知OE 2.5， E(0，2.5)，又 A(5，0)， 因此，可求得直线AE 的解析式为 y 1 2 x 5 2 P在直线 AE 上，故设 P(a， 1 2 a 5 2 )由
3、题意， P到边 CD 的距离与到点B 的距 离相等，则有 3 思路三由折叠得， P到 B 点的距离即P 到 B点的距离，这样，P到边 CD 的距离与 到点 B 的距离相等，就可转化为P 到 B点的距离与P到边 CD 的距离相等，所以只要PB 上 CD如图 4，延长BP 交 AB 于点 F，则四边形BFBC 是矩形， BFBC2，此时求 BP 的长度又有两种思路： (1)利用相似计算 易证 AFP ABE，得 (2)建立方程模型， 设 PFy，BPBP4 y， 由 BP2PF2BF2，得 (4y) 2y24 解之得 y1.5，BP 4y2.5 问题再变式：如果在折痕EA 上有一点P 到 CB 和 CD 边的距离相等，你还能求出该 相等的距离吗？ 思路四仿照本题“思路二”解决 点 P到 CB 和 CD 边的距离相等，说明P 在 BDC 的平分线CH 上将直线EA 与直 线 CH（关键要运用题意中隐含的BCBH 4 这一条件） 的解析式组成方程组，解方程组 求出点 P的横坐标