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1、探究点的坐标变化规律 “图形与坐标”是“图形与几何”领域的主要内容之一其中有这样一类问题，根据已知 点的变化情况，利用猜想、归纳、验证等方法，探究点的坐标变化规律.这类问题要求通过 归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证，这是提高合情推理能力的重要途径，也是培养创 新精神的重要方法.现结合实例，对点的坐标规律探索作一个归类整理. 一、循环规律 例 1 在平面直角坐标系xOy中，对于点( ,)P x y，我们把点(1,1)Pyx-+叫做点P 的伴随点 .已知点 1 A的伴随点为 2 A，点 2 A的伴随点为 3 A,点 3 A的伴随点为 4 A，这样依 次得到点 123 , n A A AA例如
2、:点 1 A的坐标为 (3,1)，则点 2 A的坐标为 (0,4),若点 1 A的 坐标为( , )a b，则点 2015 A的坐标为 ( ) (A) (1,1)ba-+(B) (,2)ab-+ (C) (1,1)ba-+(D) ( , )a b 析解通过计算，得 2( 1,1)Aba-+， 3( ,2)Aab-+， 4( 1,1)A ba-+， 5( , ) A a b， 从而 4 个一循环， 20154=5033，对应着 3 A，选 B. 例 2 如图 1，在平面直角坐标系中，(1,1), ( 1,1), ( 1, 2),(1, 2)ABCD-.把一条长为 2014 个单位长度且没有弹性的
3、细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按 ABCDA-的规律绕在四边形ABCD的边上， 则细线另一端所在位置的点的坐标 是( ) (A) ( 1,0)-(B) (1, 2)-(C) (1,1) (D) ( 1, 1)- 析解长方形的周长为10 ,10 个一循环，线长10，其余数从0 到 9 分别对应着 (1,1),(0,1),( 1,1),( 1,0),( 1, 1),-( 1, 2),(0,2),(1, 2),(1, 1),(1,0),- 201410201=4， 对应( 1, 1)-，选 D. 例 3 如图 2 的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中CD、两点坐标分别为(1 ,0
4、)、 (2 ,0).若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点(75,0) 的是(填 A、B、 C、D 或 E). 析解据题意知， 5 个点为一循环， 将点的横坐标5， 余数从 0 到 4 分别对应着B、C、 D、E、A，而 75 整除 5，故填 B. 以上三题的问题情境不同，但解决方法异曲同工，通过仔细计算，得出正确规律;找 到几个数一循环，然后看余数是几便可找到对应的数. 二、递进规律 递进规律问题是坐标按照一定的规律递进变化，根据解决问题的方法不同又可分为两 类: 第一类 :所有点可以按一定规律分类，每一类有各自的变化规律.先归纳其变化规律，再 确定要求的点在
5、哪一类. 例 4 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向 依次不断移动，每次移动1 个单位，其行走路线如图3 所示 : (1)填写下列各点的坐标: 4 A( )， 8 A( )， 12 A( ); (2)写出点 4n A的坐标 (n为正整数 ); (3)指出蚂蚁从点 100 A到点 101 A的移动方 向. 析解解决此类问题通常有两种方法: 按照坐标变化规律对点进行分类，本题可把点分4 类， 第一类 : 1 A， 5 A， 9 A； 第二类 : 2 A， 6 A， 10 A； 第三类 : 3 A， 7 A， 11 A； 第四类 : 4 A， 8 A， 12 A
6、归纳出每一类坐标规律，分别为 43(2 2,1) n An - -， 42(2 1,1) n An - -， 41(2 1,0) n An - -， 4 (2 ,0) n An 从第一类到第二类，第二类到第三类，第三类到第四类，第四类到第一类，每一类到 下一类移动方向依次为向右、向下、向右、向上，不断循环; 写出其中一类，再根据正方形各顶点与其关系写出其他类坐标.本题很容易写出 4 (2 ,0) n An， 后退 1 个单位得 41(2 1,0) n An - -； 类似可得出 42(2 1,1) n An - -， 43(2 2,1) n An - -， 移动方向同样可得. 两种方法都需要在
7、观察分析基础上进行分类归纳推理，第种合情推理成分更多些，第 种逻辑推理成分更多些. 第(1)问可直接求，也可代入通式，得 4(2,0) A， 8(4,0) A， 12(6,0) A (2)问，点 4n A的坐标为 4 (2 ,0) n An (3) 蚂蚁从点 100 A到点 101 A的移动方向为：向上 变式如图 4，已知 1(1,0) A、 2(1,1) A、 3( 1,1) A -、 4( 1, 1) A -、 5(2, 1) A-则点 2016 A 的坐标 析解根据点A所在象限，将所有点分成4类， 42( , )n An n - ， 41( , ) n An n - -， 4 (,) n
8、 Ann-， 43( ,1 ) n Ann - - 因为 2016 整除 4，所以 2016 A在 4 n A类，求出504n =，从而， 2016( 504, 504) A-. 解决此类问题需要仔细观察，对坐标进行分类，归纳每一类坐标规律.通过计算所属哪 一类，求出n，代入通式即可. 第二类 :点的位置按照一定程序变化，这类问题有一定的难度和灵活性，有时可以某些 特殊位置的特殊点为突破口. 例 5 如图 5， 一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动 .在第一秒，它从原点跳到点(0,1)， 然后接着按图中箭头所示方向跳动，即(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)?，且每秒跳动 一个单位长度，那
9、么第35 秒时跳蚤所在位置的坐标是( ) (A) (4,0)(B) (5,0) (C) (0,5)(D) (5,5) 析解这里找到点落在哪一圈很重要.先考察特殊点，如第n圈右上角顶点步数为 (1)n n+，或者第n圈最后一点步数为 2 (1)1n+-，再结合奇数圈顺时针方向，偶数圈逆 时针方向的跳动方向，确定要求的点的位置，最后得出点的坐标.因为 2 35(5 1)1=+-，位 置落在第5 圈的最后一步，顺时针方向，因而是(5,0)，选B. 解决此类问题关键要找到最接近的数，以2016 秒为例，因为44451980=，与 2016 最接近，第2016 秒在第44 圈上，逆时针方向，201619
10、8036-=，从(44,44)往左平移 36 个单位得坐标为(8,44). 变式将正整数按如图6 所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一 个整点坐标( , )x y，且, x y均为整数，如数5 对应的坐标为( 1,1)-，试探求2015 对应的坐 标. 析解观察发现标注数字为9、25、49的特殊点，归纳规律，数字为 2 (21)n+的点的 坐标为( ,)nn-. 222 44201545(222 1)2025=+= 2025对应的坐标为(22, 22)- 2015对应的坐标为(12, 22)- 例 6 如图 7，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列， 如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3, 1)-，根据这个规律探索可得，第100 个点 的坐标为 ( ) (A) 14,0（）(B) 14,-1（） (C) 14,1（）(D) 14,2（）