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1、构造轴对称图形解题 我们在解 (证)几何问题时，常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形，这样能使解 题过程更加简捷.下面举例说明 . 例 1 如图 1，ABCV中，60BAC，2ABAC，D是ABCV内一点，满足 3AD，5BD，2CD，求ABCV的面积 . 分析把ACDV、CDBV、ADBV分别AC、CB、AB作轴对称变换，把分散的线 段，集中在EGFV中，以找到求面积的思路. 解把ACDV以AC为对称轴往外翻折得到ACEV，把CDBV以CB为对称轴往外 翻折得到CFBV，把ADBV以AB为对称轴往外翻折得到AGBV.则有 3AEAG, 2120EAGCAB, EAGV 是一个边长为3，顶
2、角为 120 的等腰三角形， 3 3 4 EAG SV. 同理，GBFV是一个边长为5 的等边三角形， 25 3 4 BGF SV. 2180ECFACB, E、C、F三点共线 . EGFV是一个边长为3， 4，5 的的直角三角形，6 EGF S V . AEGGEFGBFAEFBG SSSS VVV五边形 67 3. 267 3 ABC SV 7 33 2 ABC SV. 说明遇到正方形中分散的线段，构造轴对称图形， 集中到同一个图形， 利用勾股定理， 方程等方面解决问题. 例 2 在RtBACV中，90BAC，P是BC的中点，M、N在AB、AC上， PNPM ，求证 : 222 MNBMC
3、N. 分析要证 222 MNBMCN，联想到勾股定理，作MPNV以MP为对称轴的 MPNV，将分散线段MN，MB，CN转移同一个直角三角形来解决. 证明如图 2，延长NP至点N，使N PNP，连结BN，MN MPNV与MPNV是关于以MP为轴的对称图形，MPNPMNVV. MNMN，PNNP. 又PBPC，BPNNPC, BPNCPNVV. BNCN，N BPC. /ACBN. 由90BAC，得MBNV是直角三角形 , 222 MNBMCN. 222 MNBMCN. 说明遇到勾股数的线段，构造轴对称变换，再用三角形全等，把对应线段转化同一个 三角形促使问题解决. 例 3 如图 3 所示，ABC
4、V中，6AB，3AC，120BAC，BAC的平分 线交BC于D，求AD的长 . 分析由于AD平分BAC，因此我们可以作AD为轴的对称变换. 证明取AB中点C，连结CC，交AD于O点，易知AOCV和AOCV关于AD对 称，AOCC. 由于30AOC，3AC， 3 2 AO. 延长AC至点B，使6AB，连结BB交AD延长线于E.显然，ABEV和AB EV 关于AE对称，且AEBB. 由于OC是ABCV的中位线 , 3 2 AOOE， 11 22 OCEBBE. OCOD BEDE Q， 1 2 OD DE , 3 3 2 OD， 1 2 OD. 于是， 31 2 22 AD. 说明遇到特殊角的三角
5、形，构造轴对称图形，利用特殊的30直角三角形性质或三角 形中位线性质，使线段成比例，分段求解线段的长. 例 4 已知等边ABCV，E在BC的延长线上，CF平分ACE，点P在射线BC上， 点Q为CF上一点，连结AP，PQ.若APPQ，APQ是多少度 . 分析本题关键是构造PCQV关于BE的轴对称图形PCRV，则APPQ，于是转 化为APPR，且有PARPRA，从而找到解题的途径. 解如图 4，作点Q关于BE的对称点R，交BE于点H，从而可得 Q C HR C HVV, 60QCHRCH. 由A，C，R在同一直线上，易证 P C QP C RVV, 从而QPHRPH, PRPQ，PQCPRC. 又
6、由于APPQ，从而APPR, PRAPAR. BAPPACPQCQPC. BAPQPC. 即BAPBQPCAPQ, 60APQ. 说明等腰 (等边 )三角形是轴对称图形，充分利用轴对称性质求解，是解决问题的关键. 例 5 如图 5，在正方形ABCD中，E在BC上，2BE，1CE，P在BD上，求 PE与PC的长度和的最小值. 分析利用BD是正方形的对称轴， 连结AP，AP就是PC的对称线段， 把所求PE与 PC的长度和的最小值转化为求APPE的最小 值. 解因为ABCD为正方形， 所以A、C是关于BD所在直线对称的对称点，连结AP， AE，由对称性知，APPC，则PCPE的最小值为APPE的最小
7、值 而APPE，由三角形三边关系，知 APPEAE 即最小值就是AE 在RtABEV中， 22 AEABBE 22 2313. 所以APPE的最小值是13. 说明遇到最短距离问题，一般都要利用轴对称的知识，在将问题转化两点线段最短来 解决 . 例 6 如图6，四边形ABCD的对角线AC与BD，它们相交于点O，ACBD， OAOC，OBOD，试说明线段BCADABCD的理由 . 分 析题 中BCAD，ABCD相 对 较 分 散 ， 难 以 比 较 .注 意 到ACBD， OAOC，OBOD，于是可以分别以BD，AC为对称轴，作出对称点D与C，连 结AD，BC，C D，这样就可以把有关线段相对集中到ABCV中. 解分别以AC与BD为对称轴，作出对称点D与C，连结AD，BC，C D， 则ADAD，BCBC，CDC D. 在ABEV中，BEAEAB, 在C D EV中，C ED EC D, 所以BCADABC D. 故BCADABCD. 说明遇到线段不等的问题，通常考虑运用轴对称图形的知识，将分散的线段相对集中， 在利用三角形的两边之和大于第三边来解决.