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1、辅助圆一种求解线段最值的方法 运用构造三角形求线段最值问题的方法，也提供一种构造辅助圆求解线段最值的方法， 供参考 . 模型如图 1(1)与图 1(2)，求点A到圆上各点的最大距离与最小距离. 如图 1(1)，点A到O的最大距离为AC,最小距离为AB. 如图 1(2)，点A到O的最大距离为AC,最小距离为AB. 图 1 证明在O上任取点 D，连,AD OD . 由三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，同圆中半径都相等，可知 如图 1(1)中， ODOAAD, 即ACAD; OAODAD, 即OAOBABAD. 如图 1(2)中， ODOAAD, 即ACAD, O DO AA D, 即O
2、BOAABAD. 例 1 如图 2 , ABC中，90 ,6,3CACBC, 点A、C分别在x轴,y轴正 半轴上 .当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点的 最大和最小距离. 图 2 简析点A、C、B都是动态的，点B的运动路径并不规则，但直角边AC的中点D 的运动路径是规则的，始终在以O为圆心，OD长为半径的圆上.当点B、D、O在同一条 直线上会产生最大值，最小值. 由模型知，最大值为33BDOD, 最小值为3 23BDOD. 例 2 如图 3，在ABC中，30 ,3,4ACBABBC，将ABC绕点B按逆时 针方向旋转得到 111 ABC.点E为线段AB中点，点
3、P是线段AC上的动点，在ABC绕点 B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是 1 P，求线段 1 BP长度的最大值与最小值. 图 3 简析线段AB的中点E的运动路径为以B为圆心，BE长为半径的圆，再画出P点 离B最远的点为C点与最近的位置点为D点的运动路径也是圆.因此，线段 1 BP最小值为 D、E、B在同一直线上时， 1 21.50.5EP. 当 1 C、E、B在同一直线上时，线段 1 BP最大值为 :41.55.5. 例 3 如图 4，在边长为 2 的菱形ABCD中，60D,M是AD边上的中点，N 是AB边上的一个动点， 将AMN沿MN所在直线翻折得到A MN， 连结A C,则A C长
4、度的最小值是. 简析因为在翻折过程中AM长始终不变， 所以点A的运动路径在以M为圆心，MA 长为半径的圆弧上，所以当C、A、M在同一直线上时，A C有最小值 . 图 4 71A CMCMA.(由已知可求得7MC) 例 4 如图 5,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点， 满足AEDF， 连结CF 交BD于点G，连结BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值 为. 图 5 简析由已知条件可知ABE与CDF全等，ADG与DCG全等，则 DCFDAGABE. 又90ABEAEF，可得到90AHB， 所以无论E、F如何运动，点H始终在以AB的中点M为圆心、AM长为半径的圆 弧上 . 由模型可知， 当D、H、M在同一直线上时，DH最小，即51DHDMDH. 注本方法的运用关键是找到动点运动路径为圆的条件.由上述例题可归纳为如下两种 动点路径为圆的条件: (1)到定点距离等于定长; (2)动点与定线两端点构成直角三角形，以动点为直角顶点.