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1、专训 2利用特殊四边形的性质巧解动点问题 名师点金： 利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运 用从特殊到一般的思想 ，将特殊点转化为一般点( 动点 ) 来解答 平行四边形中的动点问题 1如图，在 ?ABCD 中， E，F 两点在对角线BD 上运动 (E，F 不重合 )，且保持BE DF，连接 AE，CF.请你猜想AE 与 CF 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由 (第 1 题) 菱形中的动点问题 2如图，在菱形ABCD 中， B60 ，动点 E 在边 BC 上，动点F 在边 CD 上 (1)如图，若E 是 BC 的中点， AEF60 ，求证： BEDF； (2)
2、如图，若EAF60 ，求证： AEF 是等边三角形 (第 2 题) 矩形中的动点问题 3在矩形 ABCD 中， AB4 cm，BC8 cm，AC 的垂直平分线EF 分别交 AD ，BC 于 点 E， F，垂足为O. (1)如图，连接AF，CE.试说明四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长 (2)如图，动点P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，沿AFB 和 CDE 各边匀速运动 一周，即点P自 AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，已知点P 的速度为5 cm/s，点 Q 的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以 A，C，P，Q 四点为顶点的 四边形是平行四边形时，求t 的值
3、 (第 3题 ) 正方形中的动点问题 4如图，正方形ABCD 的边长为8 cm，E，F，G， H 分别是 AB ，BC，CD，DA 上的 动点，且 AE BFCGDH. (1)求证：四边形EFGH 是正方形； (2)判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由 (第 4 题) 答案 1解： AECF，AE CF.理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，AB CD. ABE CDF. 又 BE DF， ABE CDF. AECF， AEB CFD. AEB AED CFD CFB180 ， AED CFB.AECF. 2证明： (1)连接 AC.在菱形 ABCD 中， B60 ，A
4、B BCCD， BCD 180 B 120 ， ABC是 等 边 三 角 形 又 E 是BC的 中 点 ， AEBC. AEF 60 ， FEC90 AEF30 . CFE180 FEC BCD 180 30 120 30 . FEC CFE.EC CF.BEDF. (2)连接 AC.由 (1)知 ABC 是等边三角形， ABAC ， ACB BAC EAF60 . BAE CAF. BCD120 ， ACB 60 ， ACF60 B. ABE ACF. AEAF. AEF 是等边三角形 3解： (1)四边形ABCD 是矩形， AD BC. OAE OCF， AEO CFO. EF 垂直平分A
5、C ，垂足为O， OAOC. AOE COF.OEOF. 四边形 AFCE 为平行四边形 又 EFAC ，四边形AFCE 为菱形 设 AF CFx cm，则 BF(8x)cm， 在 RtABF 中， AB 4 cm，由勾股定理得42(8 x)2x 2，解得 x5， AF5 cm. (第 3 题) (2)显然当 P点在 AF 上， Q 点在 CD 上时， A，C，P，Q 四点不可能构成平行四边形； 同理 P 点在 AB 上时， Q 点在 DE 或 CE 上，也不可能构成平行四边形因此只有当P 点在 BF 上， Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q 四
6、点为顶点的四边形是平行四边形，则PCQA. 点 P 的速度为5 cm/s，点 Q 的速度为4 cm/s，运动时间为t s， PC5t cm，QA (124t)cm. 5t124t，解得 t 4 3. 以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t 4 3. (第 4 题) 4(1)证明： 四边形ABCD 为正方形， A ABC C ADC 90 ，AB BCCDAD. AEBFCGDH， BECFDG AH. AEH BFE CGF DHG. EHEFFG GH， 1 2. 四边形 EFGH 为菱形 1 3 90 ， 1 2， 2 3 90 . HEF90 . 四边形 EFGH 为菱形， 四边形 EFGH 是正方形 (2)解： 直线 EG 经过一个定点理由如下：如图，连接BD，DE，BG.设 EG 与 BD 交 于 O 点 BE DG， 四边形 BGDE 为平行四边形 BD，EG 互相平分 BOOD. 点 O 为正方形的中心 直线 EG 必过正方形的中心