二次函数经典综合压轴题归类专题复习(附练习及解析).pdf

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1、二次函数综合题归类专题复习 1图像与性质： 例 1( 年四川资阳，第24 题 12 分)如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，与 y 轴 的交点为B（0， 3） ，其顶点为C，对称轴为x=1 （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M 为 y 轴上的一个动点，当ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标； （3）将 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（ 0m3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC 重 叠部分的面积记为S，用 m 的代数式表示S 考点：二次函数综合题 分析： （1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴的另一个交点为（

2、 1，0） ，根据待定系数法可得抛 物线的解析式为y=x 2+2x+3 （2）分三种情况：当MA=MB 时；当AB=AM 时；当AB=BM 时；三种情况讨论可得点M 的坐标 （3）平移后的三角形记为PEF根据待定系数法可得直线AB 的解析式为y=x+3易得直线EF 的解析 式为 y=x+3+m根据待定系数法可得直线AC 的解析式 连结 BE，直线 BE 交 AC 于 G，则 G（，3） 在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中分二种情况：当0m 时；当 m 3 时；讨论可得用m 的代数 式表示 S 解： （1）由题意可知， 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 （ 1，0） ，

3、则，解得 故抛物线的解析式为y=x 2+2x+3 （2）当 MA=MB 时， M（0，0） ；当 AB=AM 时， M（0， 3） ；当 AB=BM 时， M（0， 3+3）或 M （0，33） 所以点 M 的坐标为：（0，0） 、 （ 0， 3） 、 （0，3+3） 、 （0， 33） （3）平移后的三角形记为PEF设直线AB 的解析式为y=kx+b，则 ，解得则直线AB 的解析式为y=x+3 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（0m3）得到 PEF，易得直线EF 的解析式为y=x+3+m 设直线 AC 的解析式为y=kx+b，则 ，解得则直线AC 的解析式为y=2x+6 连结 BE，

4、直线 BE 交 AC 于 G，则 G（，3） 在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中 当 0m 时，如图1 所示设PE 交 AB 于 K，EF 交 AC 于 M则 BE=EK=m，PK=P A=3m， 联立，解得，即点 M（3m，2m） 。故 S=SPEFSPAK SAFM= PE 2 PK2AF?h =（3m） 2 m?2m=m2+3m 当m3 时，如图 2 所示设PE 交 AB 于 K，交 AC 于 H因为 BE=m，所以 PK=PA=3m， 又因为直线AC 的解析式为y= 2x+6，所以当x=m 时，得 y=6 2m，所以点H（m，6 2m） 故 S =SPAHSP AK= PA?PHP

5、A 2 =（3m）?（62m）（3m） 2= m 23m+ 综上所述，当0m 时， S=m2+3m；当 m3 时， S=m 23m+ 点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定 系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度 2旋转问题： 例 2. （ ?福建泉州，第22 题 9 分）如图，已知二次函数y=a（xh） 2 +的图象经过原点O（0，0） ，A （ 2，0） （ 1）写出该函数图象的对称轴； （ 2）若将线段OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ，试判断点A 是否为该函数图象的顶点？ 考点：二 次

6、函数的性质；坐标与图形变化旋转 分析：（ 1）由于抛物线过点O（0，0） ，A（2，0） ，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称 轴为直线x=1； （ 2）作 A Bx 轴与 B，先根据旋转的性质得OA= OA=2， AOA=2，再根据含30 度的直角三角形三边的关系得OB=OA=1 ，A B=OB=，则 A点的坐标为（1， ） ，根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y=（x 1） 2+ 的顶点 解答：解 ： （1）二次函数y=a（x h） 2+ 的图象经过原点O（0，0） ，A（2，0） 抛物线的对称轴为直线x=1； （ 2）点 A 是该函数图象的顶点理由如下： 如图，作ABx 轴于点 B，线

7、段OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA， OA= OA=2， AOA=2，在 RtAOB 中， OAB=30 ， OB=OA=1 ， AB=OB=， A点的坐标为（1，） ，点 A为抛物线y=（x 1）2+ 的顶点 点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0 ）的顶点坐标为（ ， ） ，对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c （a0 ）的图象具有如下性质： 当 a0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的开口向上， x时， y随 x 的增大而 减小； x时， y 随 x 的增大而增大；x=时， y 取得最小值，即顶 点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线

8、 y=ax2+bx+c （a0 ）的开口向下， x 时，y 随 x 的增大而增大；x时， y 随 x 的增大而减小；x=时， y 取得最大 值，即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质 3与三角形结合： 例 3 （ ? 广西贺州，第26 题 12 分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1， 1 4 ） ；点 F（0，1）在 y 轴上直线y=1 与 y 轴交于点H （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）点 P 是（ 1）中图象上的点，过点P 作 x 轴的垂线与直线y=1 交于点 M，求证： FM 平分 OFP； （ 3）当 FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标 考点： 二次函数综合题 专题

9、： 综合题 分析： （1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点 A 代入函数解析式，求出a 的值，继 而可求得二次函数的解析式； （2）过点 P 作 PBy 轴于点 B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得 PF=PM， PFM =PMF ，结合平行线的性质，可得出结论； （3）首先可得 FMH =30 ，设点 P 的坐标为（ x， 1 4 x 2） ，根据 PF=PM=FM，可得关 于 x 的方程，求出x 的值即可得出答案 解答： （1）解：二次函数图象的顶点在原点O，设二次函数的解析式为y=ax2， 将点 A（1， 1 4 ）代入 y=ax2得： a= 1 4 ，二次函数的解析式为

10、y= 1 4 x 2； （ 2）证明：点P 在抛物线y= 1 4 x 2 上，可设点P 的坐标为（ x， 1 4 x 2） ， 过点 P 作 PBy 轴于点 B，则 BF= 1 4 x 21，PB=x， RtBPF 中， PF= 1 4 x 2+1， PM直线 y=1， PM=1 4 x 2+1， PF=PM， PFM =PMF ，又 PMx 轴， MFH =PMF ， PFM=MFH ， FM 平分 OFP； （ 3）解：当 FPM 是等边三角形时，PMF=60 ， FMH =30 ， 在 RtMFH 中， MF=2FH=2 2=4， PF=PM=FM， 1 4 x 2+1=4，解得： x=

11、 2 ， 1 4 x 2 = 1 4 12=3，满足条件的点P 的坐标为（ 2，3）或（ 2，3） 点评：本 题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直 角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合， 将所学知识融会贯通 4与四边形结合： 例 4 （ ?福建泉州， 第 25 题 12 分）如图， 在锐角三角形纸片ABC 中，ACBC，点 D，E，F 分别在边AB， BC，CA 上 （1）已知： DEAC，DF BC判断： 四边形 DECF 一定是什么形状？裁剪：当 AC=24cm，BC=20cm， ACB=45 时，请你探索：如何剪四边形DECF ，能使

12、它的面积最大，并证明你的结论； （2）折叠：请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理 由 考点： 四边形综合题 分析： （1）根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据 ADF ABC 推出对应边的相似比，然后进行转换， 即可得出h 与 x 之间的函数关 系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于 h 的二次函数表达式，求 出顶点坐标，就可得出面积s最大时 h 的值 （2）第一步， 沿 ABC 的对角线对折， 使 C 与 C1 重合， 得到三角形ABB1，第二步， 沿 B1 对折，使DA1BB1 解答：.解： （1） DEAC

13、，DFBC，四边形DECF 是平行四边形 作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H， ACB=45 ， AC=24cm， AG=12， 设 DF =EC=x，平行四边形的高为h，则 AH=12h， DFBC，=， BC=20cm，即：= ， x= 20， S=xh=x? 20=20hh2=6， AH=12， AF=FC，在 AC 中点处剪四边形DECF ，能使它的面积最大 （2）第一步，沿 ABC 的对角线对折，使C 与 C1重合，得到三角形ABB1，第二步， 沿 B1对折，使DA1BB1理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次

14、函数的最值关键在于根据 相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论 5新定义题： 例 5 （? 安徽省 ,第 22 题 12 分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“ 同 簇二次函数 ” （1）请写出两个为“ 同簇二次函数” 的函数； （2）已知关于x 的二次函数y1=2x24mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5，其中 y1的图象经过点A（1，1） ，若 y1+y2 与 y1为“ 同簇二次函数” ，求函数y2的表达式，并求出当0 x3时， y2的最大值 考点：二次函数的性质；二次函数的最值 专题：新定义 分析：（1） 只需任选

15、一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“ 同簇二次函数” 的函数表达式即可 （2）由 y1的图象经过点A（ 1，1）可以求出m 的值，然后根据y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数 ” 就可以求出函 数 y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题 解答：解： （1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（xh） 2+k， 当 a=2， h=3， k=4 时，二次函数的关系式为y=2（x3） 2+4 20，该二次函数图象的开口向上当a=3，h=3，k=4 时，二次函数的关系式为y=3（x3） 2+4 30，该二次函数图象的开口

16、向上 两个函数y=2（x3） 2+4 与 y=3（x3）2+4 顶点相同，开口都向上， 两个函数y=2（x3） 2+4 与 y=3（x3）2+4 是“ 同簇二次函数 ” 符合要求的两个“ 同簇二次函数 ” 可以为： y=2（x3） 2 +4 与 y=3（x3） 2+4 （2） y1的图象经过点A（1，1） ， 2 124 m 1+2m2+1=1 整理得： m22m+1=0解得： m1=m2=1 y1=2x24x+3=2（x1） 2+1 y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b4）x+8 y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数” ， y1+y2=（a+2） （x1） 2

17、+1=（a+2）x22（a+2）x+（a+2）+1 其中 a+20，即 a 2 解得：函数y2的表达式为： y2=5x 2 10x+5 y2=5x 2 10x+5=5（x1）2函数 y2的图象的对称轴为x=1 50，函数y2的图象开口向上 当 0 x1时，函数y2的图象开口向上，y2随 x 的增大而减小当x=0 时， y2取最大值， 最大值为5（0 1） 2=5 当 1 x3 时，函数y2的图象开口向上，y2随 x 的增大而增大当x=3 时， y2取最大值， 最大值为5（3 1） 2=20综上所述：当 0 x3时， y2的最大值为 20 点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点

18、式之间相互转化，考查了二次函数的性质 （开口方向、增减性） ，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力而对新定义的正确理解和分类讨论 是解决第二小题的关键 6运动型问题： 例 6 （?广东，第25 题 9 分）如图，在ABC 中， AB=AC，ADAB 于点 D，BC=10cm，AD=8cm点 P 从点 B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（ t0） （ 1

19、）当 t=2 时，连接 DE、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形； （ 2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段BP 的长； （ 3）是否存在某一时刻t，使 PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值； 若不存在， 请说明理由 考点：相似形综合题 分析：（ 1）如答图1 所示，利用菱形的定义证明； （ 2）如答图2 所示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解； （ 3）如答图3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解 解答：（ 1）证明：当t=2 时， DH =AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图1 所示 又

20、 EFAD， EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE，AF=DF AB=AC，ADAB 于点 D， ADBC， B=C EFBC， AEF=B， AFE=C， AEF=AFE， AE=AF， AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF 为菱形 （2）解：如答图2 所示，由（ 1）知 EFBC， AEF ABC， ，即，解得： EF=10t SPEF=EF? DH =（10t）?2t=t 2+10t= （t2） 2+10 当 t=2 秒时， SPEF存在最大值，最大值为10，此时 BP=3t=6 （3）解：存在理由如下： 若点 E 为直角顶点，如答图3所示，此时PEAD， PE=DH=2t，BP

21、=3t PEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在； 若点 F 为直角顶点，如答图3所示，此时PEAD， PF=DH=2t，BP=3t，CP=103t PFAD，即，解得 t=； 若点 P 为直角顶点，如答图3所示 过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则 EM=FN=DH =2t， EMFNAD EMAD，即，解得 BM=t， PM=BPBM=3tt=t 在 RtEMP 中，由勾股定理得：PE2=EM 2+PM2=（2t）2+（ t） 2= t 2 FNAD，即，解得 CN=t， PN=BCBPCN=103tt=10t 在 RtFNP 中，由勾股定理得：PF

22、2=FN 2+PN2=（2t）2+（10 t） 2= t 2 85t+100 在 RtPEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF 2， 即： （10t）2=（t2）+（t285t+100）化简得：t2 35t=0，解得： t=或 t=0（舍去） t=综上所述，当t=秒或 t=秒时， PEF 为直角三角形 点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考 查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等 知识点，重点考查了分类讨论的数学思想 7代数与几何综合： 例 7. （ ?广西玉林市、防城港市，第26 题

23、 12 分）给定直线l：y=kx，抛物线 C：y=ax2+bx+1 （ 1）当 b=1 时， l 与 C 相交于 A，B 两点，其中A 为 C 的顶点， B 与 A 关于原点对称，求a 的值； （ 2）若把直线l 向上平移k2+1 个单位长度得到直线 r，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只 有一个交点求此抛物线的解析式；若P 是此抛物线上任一点，过P 作 PQ y 轴且与直线y=2 交于 Q 点， O 为原点求证：OP=PQ 考点： 二次函数综合题 分析： （1）直线与抛物线的交点B 与 A 关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相 加为零，这很使用于韦达定理由其中有涉及顶

24、点，考虑顶点式易得a 值 （2）直线 l：y=kx 向上平移k2+1，得直线 r：y=kx+k2+1根据无论非零实数 k 取何 值，直线r 与抛物线C：y=ax2+bx+1 都只有一个交点，得 ax 2+（bk）xk2=0 中 =0这虽然是个方程，但无法求解这里可以考虑一个数学 技巧，既然k 取任何值都成立，那么代入最简单的1，2 肯定是成立的，所以可以代 入试验，进而可求得关于a，b 的方程组，则a，b 可能的值易得但要注意答案中， 可能有的只能满足k=1，2 时，并不满足任意实数k，所以可以再代回 =中，若不能使其结果为0，则应舍去 求证 OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图发现图中几何条件较少，所以考虑 用坐标转化求出OP，PQ 的值， 再进行比较 这里也有数学技巧，讨论动点P 在抛物 线 y=x2+1 上，则可设其坐标为（ x，x 2+1） ，进而易求 OP，PQ 解答： （1）解： l：y=kx， C：y=ax2+bx+1，当 b=1 时有 A，B 两交点， A，B 两点的横坐标满足 kx=ax 2 +x+1， 即 ax 2+ （1k） x+1=0 B 与 A 关于原点对称， 0=x A+xB=， k=1