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1、二次函数综合题归类专题复习 1图像与性质: 例 1( 年四川资阳,第24 题 12 分)如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A(3,0) ,与 y 轴 的交点为B(0, 3) ,其顶点为C,对称轴为x=1 (1)求抛物线的解析式; (2)已知点M 为 y 轴上的一个动点,当ABM 为等腰三角形时,求点M 的坐标; (3)将 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度( 0m3)得到另一个三角形,将所得的三角形与ABC 重 叠部分的面积记为S,用 m 的代数式表示S 考点:二次函数综合题 分析: (1)根据对称轴可知,抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴的另一个交点为(
2、 1,0) ,根据待定系数法可得抛 物线的解析式为y=x 2+2x+3 (2)分三种情况:当MA=MB 时;当AB=AM 时;当AB=BM 时;三种情况讨论可得点M 的坐标 (3)平移后的三角形记为PEF根据待定系数法可得直线AB 的解析式为y=x+3易得直线EF 的解析 式为 y=x+3+m根据待定系数法可得直线AC 的解析式 连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,则 G(,3) 在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中分二种情况:当0m 时;当 m 3 时;讨论可得用m 的代数 式表示 S 解: (1)由题意可知, 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 ( 1,0) ,
3、则,解得 故抛物线的解析式为y=x 2+2x+3 (2)当 MA=MB 时, M(0,0) ;当 AB=AM 时, M(0, 3) ;当 AB=BM 时, M(0, 3+3)或 M (0,33) 所以点 M 的坐标为:(0,0) 、 ( 0, 3) 、 (0,3+3) 、 (0, 33) (3)平移后的三角形记为PEF设直线AB 的解析式为y=kx+b,则 ,解得则直线AB 的解析式为y=x+3 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度(0m3)得到 PEF,易得直线EF 的解析式为y=x+3+m 设直线 AC 的解析式为y=kx+b,则 ,解得则直线AC 的解析式为y=2x+6 连结 BE,
4、直线 BE 交 AC 于 G,则 G(,3) 在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中 当 0m 时,如图1 所示设PE 交 AB 于 K,EF 交 AC 于 M则 BE=EK=m,PK=P A=3m, 联立,解得,即点 M(3m,2m) 。故 S=SPEFSPAK SAFM= PE 2 PK2AF?h =(3m) 2 m?2m=m2+3m 当m3 时,如图 2 所示设PE 交 AB 于 K,交 AC 于 H因为 BE=m,所以 PK=PA=3m, 又因为直线AC 的解析式为y= 2x+6,所以当x=m 时,得 y=6 2m,所以点H(m,6 2m) 故 S =SPAHSP AK= PA?PHP
5、A 2 =(3m)?(62m)(3m) 2= m 23m+ 综上所述,当0m 时, S=m2+3m;当 m3 时, S=m 23m+ 点评:考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:抛物线的对称轴,待定系数法求抛物线的解析式,待定 系数法求直线的解析式,分类思想的应用,方程思想的应用,综合性较强,有一定的难度 2旋转问题: 例 2. ( ?福建泉州,第22 题 9 分)如图,已知二次函数y=a(xh) 2 +的图象经过原点O(0,0) ,A ( 2,0) ( 1)写出该函数图象的对称轴; ( 2)若将线段OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ,试判断点A 是否为该函数图象的顶点? 考点:二 次
6、函数的性质;坐标与图形变化旋转 分析:( 1)由于抛物线过点O(0,0) ,A(2,0) ,根据抛物线的对称性得到抛物线的对称 轴为直线x=1; ( 2)作 A Bx 轴与 B,先根据旋转的性质得OA= OA=2, AOA=2,再根据含30 度的直角三角形三边的关系得OB=OA=1 ,A B=OB=,则 A点的坐标为(1, ) ,根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y=(x 1) 2+ 的顶点 解答:解 : (1)二次函数y=a(x h) 2+ 的图象经过原点O(0,0) ,A(2,0) 抛物线的对称轴为直线x=1; ( 2)点 A 是该函数图象的顶点理由如下: 如图,作ABx 轴于点 B,线
7、段OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA, OA= OA=2, AOA=2,在 RtAOB 中, OAB=30 , OB=OA=1 , AB=OB=, A点的坐标为(1,) ,点 A为抛物线y=(x 1)2+ 的顶点 点评:本题考查了二次函数的性质:二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的顶点坐标为( , ) ,对称轴直线x=,二次函数y=ax2+bx+c (a0 )的图象具有如下性质: 当 a0 时,抛物线y=ax2+bx+c(a0 )的开口向上, x时, y随 x 的增大而 减小; x时, y 随 x 的增大而增大;x=时, y 取得最小值,即顶 点是抛物线的最低点当 a0 时,抛物线
8、 y=ax2+bx+c (a0 )的开口向下, x 时,y 随 x 的增大而增大;x时, y 随 x 的增大而减小;x=时, y 取得最大 值,即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质 3与三角形结合: 例 3 ( ? 广西贺州,第26 题 12 分)二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1, 1 4 ) ;点 F(0,1)在 y 轴上直线y=1 与 y 轴交于点H ( 1)求二次函数的解析式; ( 2)点 P 是( 1)中图象上的点,过点P 作 x 轴的垂线与直线y=1 交于点 M,求证: FM 平分 OFP; ( 3)当 FPM 是等边三角形时,求P 点的坐标 考点: 二次函数综合题 专题
9、: 综合题 分析: (1)根据题意可设函数的解析式为y=ax2,将点 A 代入函数解析式,求出a 的值,继 而可求得二次函数的解析式; (2)过点 P 作 PBy 轴于点 B,利用勾股定理求出PF,表示出PM,可得 PF=PM, PFM =PMF ,结合平行线的性质,可得出结论; (3)首先可得 FMH =30 ,设点 P 的坐标为( x, 1 4 x 2) ,根据 PF=PM=FM,可得关 于 x 的方程,求出x 的值即可得出答案 解答: (1)解:二次函数图象的顶点在原点O,设二次函数的解析式为y=ax2, 将点 A(1, 1 4 )代入 y=ax2得: a= 1 4 ,二次函数的解析式为
10、y= 1 4 x 2; ( 2)证明:点P 在抛物线y= 1 4 x 2 上,可设点P 的坐标为( x, 1 4 x 2) , 过点 P 作 PBy 轴于点 B,则 BF= 1 4 x 21,PB=x, RtBPF 中, PF= 1 4 x 2+1, PM直线 y=1, PM=1 4 x 2+1, PF=PM, PFM =PMF ,又 PMx 轴, MFH =PMF , PFM=MFH , FM 平分 OFP; ( 3)解:当 FPM 是等边三角形时,PMF=60 , FMH =30 , 在 RtMFH 中, MF=2FH=2 2=4, PF=PM=FM, 1 4 x 2+1=4,解得: x=
11、 2 , 1 4 x 2 = 1 4 12=3,满足条件的点P 的坐标为( 2,3)或( 2,3) 点评:本 题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直 角三角形的性质,解答本题的关键是熟练基本知识,数形结合, 将所学知识融会贯通 4与四边形结合: 例 4 ( ?福建泉州, 第 25 题 12 分)如图, 在锐角三角形纸片ABC 中,ACBC,点 D,E,F 分别在边AB, BC,CA 上 (1)已知: DEAC,DF BC判断: 四边形 DECF 一定是什么形状?裁剪:当 AC=24cm,BC=20cm, ACB=45 时,请你探索:如何剪四边形DECF ,能使
12、它的面积最大,并证明你的结论; (2)折叠:请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理 由 考点: 四边形综合题 分析: (1)根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得,根据 ADF ABC 推出对应边的相似比,然后进行转换, 即可得出h 与 x 之间的函数关 系式,根据平行四边形的面积公式,很容易得出面积S关于 h 的二次函数表达式,求 出顶点坐标,就可得出面积s最大时 h 的值 (2)第一步, 沿 ABC 的对角线对折, 使 C 与 C1 重合, 得到三角形ABB1,第二步, 沿 B1 对折,使DA1BB1 解答:.解: (1) DEAC
13、,DFBC,四边形DECF 是平行四边形 作 AGBC,交 BC 于 G,交 DF 于 H, ACB=45 , AC=24cm, AG=12, 设 DF =EC=x,平行四边形的高为h,则 AH=12h, DFBC,=, BC=20cm,即:= , x= 20, S=xh=x? 20=20hh2=6, AH=12, AF=FC,在 AC 中点处剪四边形DECF ,能使它的面积最大 (2)第一步,沿 ABC 的对角线对折,使C 与 C1重合,得到三角形ABB1,第二步, 沿 B1对折,使DA1BB1理由:对角线互相垂直平分的四边形是菱形 点评: 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次
14、函数的最值关键在于根据 相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论 5新定义题: 例 5 (? 安徽省 ,第 22 题 12 分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“ 同 簇二次函数 ” (1)请写出两个为“ 同簇二次函数” 的函数; (2)已知关于x 的二次函数y1=2x24mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5,其中 y1的图象经过点A(1,1) ,若 y1+y2 与 y1为“ 同簇二次函数” ,求函数y2的表达式,并求出当0 x3时, y2的最大值 考点:二次函数的性质;二次函数的最值 专题:新定义 分析:(1) 只需任选
15、一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“ 同簇二次函数” 的函数表达式即可 (2)由 y1的图象经过点A( 1,1)可以求出m 的值,然后根据y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数 ” 就可以求出函 数 y2的表达式,然后将函数y2的表达式转化为顶点式,在利用二次函数的性质就可以解决问题 解答:解: (1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(xh) 2+k, 当 a=2, h=3, k=4 时,二次函数的关系式为y=2(x3) 2+4 20,该二次函数图象的开口向上当a=3,h=3,k=4 时,二次函数的关系式为y=3(x3) 2+4 30,该二次函数图象的开口
16、向上 两个函数y=2(x3) 2+4 与 y=3(x3)2+4 顶点相同,开口都向上, 两个函数y=2(x3) 2+4 与 y=3(x3)2+4 是“ 同簇二次函数 ” 符合要求的两个“ 同簇二次函数 ” 可以为: y=2(x3) 2 +4 与 y=3(x3) 2+4 (2) y1的图象经过点A(1,1) , 2 124 m 1+2m2+1=1 整理得: m22m+1=0解得: m1=m2=1 y1=2x24x+3=2(x1) 2+1 y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b4)x+8 y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数” , y1+y2=(a+2) (x1) 2
17、+1=(a+2)x22(a+2)x+(a+2)+1 其中 a+20,即 a 2 解得:函数y2的表达式为: y2=5x 2 10x+5 y2=5x 2 10x+5=5(x1)2函数 y2的图象的对称轴为x=1 50,函数y2的图象开口向上 当 0 x1时,函数y2的图象开口向上,y2随 x 的增大而减小当x=0 时, y2取最大值, 最大值为5(0 1) 2=5 当 1 x3 时,函数y2的图象开口向上,y2随 x 的增大而增大当x=3 时, y2取最大值, 最大值为5(3 1) 2=20综上所述:当 0 x3时, y2的最大值为 20 点评:本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点
18、式之间相互转化,考查了二次函数的性质 (开口方向、增减性) ,考查了分类讨论的思想,考查了阅读理解能力而对新定义的正确理解和分类讨论 是解决第二小题的关键 6运动型问题: 例 6 (?广东,第25 题 9 分)如图,在ABC 中, AB=AC,ADAB 于点 D,BC=10cm,AD=8cm点 P 从点 B 出发,在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动,与此同时,垂直于AD 的直线 m 从底边 BC 出发,以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移,分别交AB、AC、AD 于 E、F、H,当点 P 到达点 C 时,点 P 与直线 m 同时停止运动,设运动时间为t 秒( t0) ( 1
19、)当 t=2 时,连接 DE、DF ,求证:四边形AEDF 为菱形; ( 2)在整个运动过程中,所形成的PEF 的面积存在最大值,当PEF 的面积最大时,求线段BP 的长; ( 3)是否存在某一时刻t,使 PEF 为直角三角形?若存在,请求出此时刻t 的值; 若不存在, 请说明理由 考点:相似形综合题 分析:( 1)如答图1 所示,利用菱形的定义证明; ( 2)如答图2 所示,首先求出PEF 的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解; ( 3)如答图3 所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解 解答:( 1)证明:当t=2 时, DH =AH=2,则 H 为 AD 的中点,如答图1 所示 又
20、 EFAD, EF 为 AD 的垂直平分线,AE=DE,AF=DF AB=AC,ADAB 于点 D, ADBC, B=C EFBC, AEF=B, AFE=C, AEF=AFE, AE=AF, AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF 为菱形 (2)解:如答图2 所示,由( 1)知 EFBC, AEF ABC, ,即,解得: EF=10t SPEF=EF? DH =(10t)?2t=t 2+10t= (t2) 2+10 当 t=2 秒时, SPEF存在最大值,最大值为10,此时 BP=3t=6 (3)解:存在理由如下: 若点 E 为直角顶点,如答图3所示,此时PEAD, PE=DH=2t,BP
21、=3t PEAD,即,此比例式不成立,故此种情形不存在; 若点 F 为直角顶点,如答图3所示,此时PEAD, PF=DH=2t,BP=3t,CP=103t PFAD,即,解得 t=; 若点 P 为直角顶点,如答图3所示 过点 E 作 EMBC 于点 M,过点 F 作 FNBC 于点 N,则 EM=FN=DH =2t, EMFNAD EMAD,即,解得 BM=t, PM=BPBM=3tt=t 在 RtEMP 中,由勾股定理得:PE2=EM 2+PM2=(2t)2+( t) 2= t 2 FNAD,即,解得 CN=t, PN=BCBPCN=103tt=10t 在 RtFNP 中,由勾股定理得:PF
22、2=FN 2+PN2=(2t)2+(10 t) 2= t 2 85t+100 在 RtPEF 中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF 2, 即: (10t)2=(t2)+(t285t+100)化简得:t2 35t=0,解得: t=或 t=0(舍去) t=综上所述,当t=秒或 t=秒时, PEF 为直角三角形 点评:本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考 查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等 知识点,重点考查了分类讨论的数学思想 7代数与几何综合: 例 7. ( ?广西玉林市、防城港市,第26 题
23、 12 分)给定直线l:y=kx,抛物线 C:y=ax2+bx+1 ( 1)当 b=1 时, l 与 C 相交于 A,B 两点,其中A 为 C 的顶点, B 与 A 关于原点对称,求a 的值; ( 2)若把直线l 向上平移k2+1 个单位长度得到直线 r,则无论非零实数k 取何值,直线r 与抛物线C 都只 有一个交点求此抛物线的解析式;若P 是此抛物线上任一点,过P 作 PQ y 轴且与直线y=2 交于 Q 点, O 为原点求证:OP=PQ 考点: 二次函数综合题 分析: (1)直线与抛物线的交点B 与 A 关于原点对称,即横纵坐标对应互为相反数,即相 加为零,这很使用于韦达定理由其中有涉及顶
24、点,考虑顶点式易得a 值 (2)直线 l:y=kx 向上平移k2+1,得直线 r:y=kx+k2+1根据无论非零实数 k 取何 值,直线r 与抛物线C:y=ax2+bx+1 都只有一个交点,得 ax 2+(bk)xk2=0 中 =0这虽然是个方程,但无法求解这里可以考虑一个数学 技巧,既然k 取任何值都成立,那么代入最简单的1,2 肯定是成立的,所以可以代 入试验,进而可求得关于a,b 的方程组,则a,b 可能的值易得但要注意答案中, 可能有的只能满足k=1,2 时,并不满足任意实数k,所以可以再代回 =中,若不能使其结果为0,则应舍去 求证 OP=PQ,那么首先应画出大致的示意图发现图中几何条件较少,所以考虑 用坐标转化求出OP,PQ 的值, 再进行比较 这里也有数学技巧,讨论动点P 在抛物 线 y=x2+1 上,则可设其坐标为( x,x 2+1) ,进而易求 OP,PQ 解答: (1)解: l:y=kx, C:y=ax2+bx+1,当 b=1 时有 A,B 两交点, A,B 两点的横坐标满足 kx=ax 2 +x+1, 即 ax 2+ (1k) x+1=0 B 与 A 关于原点对称, 0=x A+xB=, k=1