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1、本科生毕业设计（论文）Lebesgue积分的应用论 文 题 目： 姓 名： 学 院： 教师教育学院 专 业： 数学与应用数学（S） 年 级 、 学 号： 11级 、 11211009 指 导 教 师： 江苏师范大学教务处印制Lebesgue积分的应用（江苏师范大学 教师教育学院 徐州 221116）摘要：本文利用积分理论解决分析的问题，它比积分更加方便，大大地开拓了我们的数学视野，提高了我们认识问题、解决问题的能力.关键词：积分；积分；可积我们知道黎曼积分具有一定的局限性，用它处理有些问题显得不太方便，有时甚至解决不了问题.而勒贝格积分的适用范围更加广泛，它比黎曼积分更加深刻，它能使我们更加方
2、便、灵活的处理问题，揭示问题的本质.预备知识1、 （定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，当时,对任一自然数,有，令，则 2、 设为可测集，是上的实函数.如果对于任意的，作为的函数在上可积，对于的，作为的函数在上可导且，这里是上某个非负可积函数，则作为的函数在上可导，则 3、（逐项积分定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，则 4、（贝塞尔（）不等式）设是内积空间中的有限或可数规范正交系，那么对每个，成立不等式 .5、设是内积空间中可数规范正交系，则对任何， 6、（斯捷克洛夫定理）设是希尔伯特空间中规范正交系，若帕塞瓦尔等式在的某个稠密子集上成立，则完全.7、（可积的第三充要条件）函数在
3、上可积的充要条件是：任给正数、，总存在某一分割，使得属于的所有小区间中，对应于振动的那些小区间的总长例1 计算 ,1、 2、 3、解 由定理可知：1、=. 2、. 3、.方法二：由定理知，对任意，存在子集，使 在上一致收敛，且，故，故. 同理可得： ， .例2 求，此处，解：方法一 令，则，作为的函数在上L可积，作为的函数在任何有限区间上可导且，这里是上某个可积函数，故 同理可得， 方法二 令，因为，故不是瑕点. ， ，.收敛，故收敛对任意给定的，因为， 所以对一致收敛，由的任意性知同理可知.（推广形式的可微性定理）设与在区域上连续，若在上收敛，对任意给定的，在上一致收敛，则.例3 在内积空间
4、中，定义内积为，.则三角函数系为中规范正交系由预备知识4 不等式知，若函数在上可积，则 .由预备知识5得黎曼勒贝格引理，若函数在上可积，则 . .由预备知识6及定理知，上述三角函数系是中完全规范正交函数系，于是在希尔伯特空间中成立帕塞瓦尔等式，即 .即若函数在上按段光滑，则有 .证明 . 解 考察函数在上的傅里叶级数展开式得： 故由帕塞瓦尔等式有： , 即 .例4 计算.解 由逐项积分定理可得，.例5 计算 解 ，故存在，从而存在，且二者相等. . 一种错解：令则. 上式最后一步为：无意义.例6 计算. 解： 注意到.因而 ，, 又.所以 .例7 计算. 解 利用Fubini定理，.例8 设，
5、在上可积，如果对任何有界可测函数，都有 则于.证明：对任意，设是的特征函数，则 所以，同样，故 又因 所以 即 于. 例子 若连续，在上可积，如果对任何是上的有界连续函数 ，都有 , 则 .例9 证明：若在上可积，且处处有，则证： 方法一： （反证法）若 则 . 故可得 于 ， 这与 ， 矛盾. 故 方法二： 由在上可积，故至少存在一个连续点，已知处处有，所以 由极限的保号性知，存在 ，使得当 时， ，故 .例10 证明：若在上连续，在上可积，则在上可积.证：方法一：由于，则的连续点也是的连续点.在上可积，故其不连续点的测度为，从而的不连续点的测度为，因而在上可积. 方法二：任给，.由于在上一
6、致连续，因此对上述，存在，当 且时， . 由假设在上可积，对上述正数和，存在某一分割，使得在所属的小区间中，的所有小区间的总长；而在其余小区间上. 设，.由以上可知：在中的小区间上，；至多在所有上，而这些小区间的总长至多为. 由可积的第三充要条件，证得复合函数在上可积. 例11 证明黎曼函数： 在上可积. 证：由于黎曼函数在内任何无理点处都连续，任何有理点都不连续，故 的不连续点为可数集，从而为零测集，即黎曼函数在上可积.同理可知，狄利克雷函数的不连续点全体为，其测度为1，故狄利克雷函数在上不可积.区间上的单调函数可积.例12 证明：若，则 可积 可积.证： “充分性“ 由可积，故的不连续点为
7、零测集，又的连续点也为的连续点. 事实上，设为的任一连续点，则由 及在的局部保号性知在局部有界，故在连续.从而的不连续点至多为零测集，可积.“必要性“：由可积，则的不连续点为零测集.对于，有 .故的连续点为的连续点，从而的不连续点为至多零测集，可积.方法二：由于在上可积，从而有界，设，任给，由于在上一致连续，从而对上述，存在，当，且时，有 . 由于在上可积，对上述和，由可积的第三充要条件知，存在某一分割，使得在所属的区间中的所有区间的总长，而在其余区间上. 由上可知，在的区间上，即 ，从而有，这里，于是有，即；另一方面，至多在上，而这些区间的总长至多为，故由可积的第三充要条件知 在上可积.类似
8、上述证明可知，我们有更一般的结论，即：若，则 可积 可积参考文献1 华东师范大学数学系著，数学分析上、下册M，第三版，高等教育出版社.2 程其襄、张奠宙、魏国强、胡善文、王漱石著，实变函数与泛函分析基础M，第三版，高等教育出版社.3 华东师范大学2010年数学分析考研试卷.4 郭大钧、黄春朝、梁方礼、韦忠礼著，实变函数与泛函分析M，山东大学出版社.5 欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋著，数学分析上、下册M，第三版，高等教育成出版社.6 陈建功、宋福陶、孙玉莉著，Lebesgue测度与积分问题与方法M，哈尔滨工业大学出版社.The Application of Lebesgue Integral
9、Liu Yang(College of Teacher Education Jiangsu Normal University Xuzhou 221116o)Abstract: In this paper, we use Lebesgue integral theory to solve the analysis problem, it is more convenient than Riemann Integration, greatly opened up our mathematical horizons and improve our ability to recognize and solve problems.Keywords: Lebesgue Integral.；Intergral；Intergrable10