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1、二次函数解析式的求法专题汇编 二次函数的解析式的求法是初中数学函数教学的难点，学生不易掌握 其解题的基本思 想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式 的点，求出相应的系数下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，供师生参考。 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a 0 ；2、x 的最高次 数为 2 次 例 1、若 2 221 () mm ymm x是二次函数，则m = 二、开放型： 此类题目只给出一个条件或二个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以答案并不唯一 例 2、（ 1）经过点A（ 0，3）的抛物线的解析式是
2、 （2）经过点 A（0，3）且对称轴为直线1x的抛物线的解析式是 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线要解此类题目， 应先 将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x h)2 + k，当图像向左（右）平移 n 个单位时，就在 x h 上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m其 平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移由于经过平移的图像形状、大 小和开口方向都没有改变，所以a 的值不变 例 3、把抛物线 2 241yxx的图象向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位，所 得的抛物线的函数关系式是( ) A.
3、2 2(1)6yx；B. 2 2(1)6yx； C. 2 2(1)6yx；D. 2 2(1)6yx。 注： 这三类题目多出现在选择题或填空题目中。 四、一般式： 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式 2 yaxbxc，转化成一个三元一 次方程组，以求得a，b，c 的值； 例 4、图像经过（ 1， 4），（ 1，0），（ 2，5），求二次函数的解析式： 五、顶点式： 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式khxay 2 若顶点坐标 为（h，k ），对称轴方程x = h，极值为当x = h 时， y极值=k 来求出相应的系数； 例 5、图象顶点是（2，3），且过（1，5），求二次函数
4、的解析式。 六、交点式（或两根式）： 已知图像与x 轴交于不同的两点 12 00xx， ， ，设二次函数的解析式为 21 xxxxay，根据题目条件求出a 的值 例 6、图像与x 轴交于（ 2，0），（ 4，0）两点，且过（1， 2 9 ），求二次函数的 解析式。 注： 这三类题目多出现在基础解答题中。 七、翻折型（对称性）： 已知一个二次函数 2 yaxbxc，要求其图象关于 x轴对称（也可以说沿 x轴翻 折）；关于 y 轴对称（也可以说沿y轴翻折）；经过其顶点且平行于x轴的直线对称 （也可以说抛物线图象绕顶点旋转180 ）。求函数解析式时，先把原函数的解析式化成y = a( x h) 2
5、+ k 的形式 （1）关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为 相反数 （2）关于 y轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称， 两个图象的形状大小不变，即a相同 （3）关于经过其顶点且平行于 x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方 向相反，即a互为相反数 例 7、已知二次函数 2 365yxx，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图 象关于x轴对称； （2）图象关于 y 轴对称； （3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线 对称 八、数形结合： 数形结合式的二次函数的解析式求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转 化为几何问题， 充分运
6、用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知 识求出解析式中的待定系数，以达到目的 例 8、巳知二次函数y=a（x 26x+8 ）（ a 0）的图象与 x 轴分别交于点A、 B，与 y 轴交于点C点 D 是抛物线的顶点如图连接AC ，将 OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点0恰好落在该抛物线的对称轴上，求抛物线的解析式。 题图解答图 注： 这两类题目多出现在压轴题目中。数学学习的过程需要学生在老师的指导下及时 对所学知识进行归纳总结，所以老师要在学生数学学习过程中关注学生的数学学习方法，在 必要时将课程标准所要求的知识内容系统化、条理化， 这样才能使学生的数学学习达到事半
7、 功倍的效果。 练习： 1. （2015?四川成都 , 第 9 题）将抛物线y=x 2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移3 个单位 长度，得到的抛物线的函数表达式为（） Ay=（x+2） 23 B y=（x+2）2+3 C y=（x2） 2+3 D y=（ x2） 23 2. （ 2015? 东营, 第 25 题）如图，抛物线经过A（ 2，0） ，B（，0） ，C（0， 2）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得 DCA的面积最大，求点D的坐标； （第 2题）（第 3 题） 3. （ 2015? 云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx
8、+c（a0）与 x 轴相交于 A， B两点， 与 y 轴相交于点C，直线 y=kx+n（k0） 经过 B，C两点， 已知 A （1，0） ，C （0，3） ， 且 BC=5 求直线BC和抛物线的解析式（关系式）； 4. （2015?四川巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax 2+bx4（a0）的 图象与 x 轴交于 A （ 2，0） 、B （8，0）两点， 与 y 轴交于点B，其对称轴与x 轴交于点D求 该二次函数的解析式； （第 4 题）（第 5 题） 5. （ 2015?山东泰安 , 第 29 题 12 分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 为 x 轴的一交点为 A （ 6，0） ，与 y 轴的交点为C（ 0，3） ，且经过点G （ 2，3） （1）求抛物线的表达式； （2）点 P是线段 OA上一动点， 过 P作平行于y 轴的直线与AC交于点 Q，设 CPQ的面积为 S，求 S的最大值； （3）若点 B是抛物线与x 轴的另一定点，点D、M在线段 AB上，点 N在线段 AC上， DCB= CDB ，CD是 MN的垂直平分线，求点M的坐标