八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习.pdf

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1、八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习 1. 勾股定理的内容： 如果直角三角形的两直角边分别是 a、b ，斜边为 c ，那么 222 abc 即直角三角形中两直角边 的平方和等于斜边的平方。 注：勾 最短的边、股 较长的直角边、弦 斜边。 2. 勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 2 2 222 1 4 2 . ABCD Sabcab abc 正方形 （2）方法二 :将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 2 2 222 1 4 2 . Scabab abc 正方形 EFGH （3）方法三： “ 总统 ” 法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2、 2()()11 2 222 ABCD ab ab Sabc 梯形 222. abc C A B c b a D CB A G F E H 新知学习 3. 勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222 ,ABCACBCABABC在中 如果那么是直角三角形 。 4. 勾股数： 满足 222 abc 的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数常用勾股数： 3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 一勾股定理 【例 1】 下列说法正确的是（） A. 若 a bc， 是 ABC 的三边，则 222 abc B.

3、 若 a b c， 是 Rt ABC 的三边，则 222 abc C. 若 a b c， 是 RtABC 的三边， 90A ，则 222 abc D. 若 a b c， 是 Rt ABC 的三边， 90C ，则 222 abc 【例 2】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_ 【练一练】在直角三角形中， 一条直角边为11cm， 另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为_ 【例 3】 在 Rt ABC 中，90C， c b a c b a E D C BA 基础演练 （1）如果 34ab， ，则 c _； （2）如果 68ab， ，则 c _； （3）如果 512ab，

4、 ， 则 c _； （4）如果 1520ab， ，则 c _。 【例 4】 等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为 _，斜边上的高为_ 【例 5】 已知直角三角形两边 x ， y 的长满足 22 4560xyy ，则第三边长为_ 【例 6】 如图， ABC 中， ABAC 10，BD 是 AC 边上的高线， DC2，则 BD 等于_ 【例 7】 RtABC 中，斜边 BC2，则 222 ABACBC 的值为 _ 【例 8】 已知直角三角形的周长为 62 ，斜边为2，则该三角形的面积是 【例 9】 已知 RtABC 斜边 AB的长为 5 cm 2 ，两直角边的差为 1 cm 2 ，求三角形的周长及

5、斜边上的高. 【例 10】如图，已知 RtABC 的周长为 26 ，其中斜边 2AB ，求这个三角形的面积. 【例 11】在 RtABC ， 90C ，若 54abc， ，则 ABC S . 【例 12】在三角形 ABC 中，已知 232ABACBC， 边上的高 3AD ，求边 BC 的长 【例 13】已知 ABC 中， 20,15,ABACBC 边上的高为12，求 ABC 的面积 . 【例 14】 ABC 中， BCa ， ACb ， ABc 若 90C ，如图 1，根据勾股定理，则 222 abc 若 ABC 不是直角三角形，如图2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想 22 ab 与 2

6、c 的关系，并证明你的结论 AC B D C B A 二 勾股的实际应用 【例 15】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边 数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【例 16】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为 12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外 边的长度为cmh，则 h的取值范围为 【练一练】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在 BC 边的点F处， ?如果8cmAB， 10cmBC， EC 的长为 【例 17】 如图，Rt ABC 中，C90 ， A30 ， BD 是 ABC 的平分线，

7、AD20， 则 BC 的长为 图3 图2图1 a b c a b cc b a A BC A BCCB A C B A 【例 18】 如图，Rt ABC 中， C90 ， 若 AB15cm， 则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为 【练一练】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分 别是 576和 676，那么最小的正方形的面积为 【例 19】如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点 B，点 A、C 到直线 l 的距离分别是1、2，则正方形的边长 是_ 【练一练】在直线上依次摆着7 个正方形 (如图 )，已知倾斜放置的3 个正方形的面积分别为1

8、，2，3，水平 放置的 4 个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则 S1S2S3S4_ 【例 20】如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB， CD ， EF ， GH 四条线段，其中能构成一个 直角三角形三边的线段是（） ACD，EF，GHBAB，EF，GH C AB， CD ， GH D AB， CD ，EF 【例21】如图 ,点 P是 AOB 的角平分线上一点，过点 P作 / /PCOA 交 OB 于点 C .若 60 ,4AOBOC , 则点P到 OA 的距离 PD等于 _. 【例 22】某片绿地的形状如图所示，其中 60A ， ABBC ， ADCD ， 200mAB ， 1

9、00mCD ，求 AD、 BC 的长（精确到1m， 31.732 ）. 【练一练】如图， ABC 中， C90 (1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图 )，探究 S1S2与 S3的关系； (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图 )，探究 S1S2与 S3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图 )，探究 S1S2与 S3的关系 图图图 F H G E D B C A P O D CB A D C B A 【例 23】如图，在高为3 米，斜坡长为5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2 米，地毯每平方米30 元，那么这块地

10、毯需花多少元? 【例 24】如图， ON 是垂直于地面OM 的前面，AB是一根斜靠在墙面上长为a的木条，当木条端点A沿墙 面下滑时，B沿地面向右滑行 (1)木条AB的中点为P，试判断木条滑行过程中，墙角处点 O 到 P的距离怎样变化？说明理由 (2)木条在什么位置时，ABO 的面积最大？最大面积为多少？ 【例 25】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm8cmACBC，现将直角边AC 沿直线AD折叠， 使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD 的长为多少？ H P N M O B A E D C B A 【例 26】如图，两个村庄A、B 在河 CD 的同侧， A、B 两村到河的距离分别为

11、AC1 千米， BD3 千米， CD3 千米现要在河边CD 上建造一水厂，向A、B 两村送自来水铺设水管的工程费用为每千米20000 元，请你在CD 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W 【例 27】如图，在ABC 中，AD是 BC 边上的中线，且AEBC 于E，若12AB，=10BC，=8AC，求 DE的长 . 【例 28】如图，在直角梯形 ABCD 中， ADBC （ BCAD ） ， 90AB ， 12ABBC ， E是AB 上一点，且 45DCE ， 4BE ，求 DE 的长 【例 29】如图，在 ABC 中， =4AB AC，P 是 BC 上异于 ,B C

12、 的一点，求 2 APBPPC 的值 . ED CB A E D C B A 【例 30】如图，在Rt ABC 中， C 90 ，D、E 分别为 BC 和 AC 的中点， AD5，BE102求 AB 的 长 【例 31】如图， ABC 中， A90 ，AC20，AB10，延长 AB 到 D，使 CDDBACAB，求 BD 的长 【例 32】如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点D 与点 B 重合，已知AB3，AD9，求 BE 的长 【例 33】如图，折叠矩形的一边AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB8cm，BC10cm，求 EC 的 长 P CB A 【例 34】已知：如图

13、， ABC 中， C90 ，D 为 AB 的中点， E、F 分别在 AC、BC 上，且 DEDF 求 证： 222 AEBFEF 【例 35】如图，已知ABC中，90ABC，ABBC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线 123 lll， ， 上， 且 123 lll， ， 之间的距离为2， 23 ll， 之间的距离为3，求 AC 的长是多少 ? 【题 1】如图， ABC 和 DCE 都是边长为 4的等边三角形，点B、C、E 在同一条直线上，连接 BD，则 BD 的长为（） A3B 2 3C 3 3D 4 3 E D C B A 课后作业 【题 2】一个有 45 角的三角板的直角顶点放在一张宽为

14、3cm 的纸带边沿上另一个顶点在纸带的 另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 角，如图，则三角板的最大边 的长为 【题 3】小华将一条直角边长为1 的一个等腰直角三角形纸片（如图1） ，沿它的对称轴折叠1 次后得到一 个等腰直角三角形（如图2） ，再将图2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角 形（如图3） ，则图 3 中的等腰直角三角形的一条腰长为_；同上操作，若小华连续将图1 的 等 腰 直 角 三 角 形 折 叠n次 后 所 得 到 的 等 腰 直 角 三 角 形 （ 如 图1n） 的 一 条 腰 长 为 _ 【题 4】如图，如果以正方形ABCD 的

15、对角线AC 为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE 为边作第三 个正方形 AEGH ，如此下去， 已知正方形ABCD 的面积 S1为 1，按上述方法所作的正方形的面积依 次为 S2， S3， ， Sn(n 为正整数 )， 那么第 8 个正方形的面积S8 _， 第 n 个正方形的面积Sn_ 【题 5】在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知 红莲移动的水平距离为2 米，求这里的水深是多少米? 30 D C B 30 A I J H G F E D C BA 【题 6】如图所示， 四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，

16、CD=12cm，A=90 ，求四边形ABCD 的面积 【题 7】如图，点 D 是 ABC 内一点，把 ABD 绕点 B 顺时针方向旋转600 得到 CBE ， 若 AD=4 ， BD=3 ， CD=5 （1）判断 DEC 的形状，并说明理由； （2）求 ADB 的度数 【题 8】已知： 如图， A=60 ，BDAC，垂足为 D，CEAB，垂足为 E，BD 和 CE 交于点 H，HD=1cm， HE=2cm，求： BD，CE 的长及 ABC 的面积 【题 9】如图， 以等腰直角三角形ABC 的斜边 AB 与边面内作等边 ABD ， 连接 DC， 以 DC 当边作等边 DCE， B、E 在 C、D

17、 的同侧，若AB=2 求 BE 的长 D C B A E C B D A H E D CB A E D C B A 【题 10】如图，第 个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第个等腰直角三角形， 再以第 个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第个等腰直角三角形 依次得到一系列的等腰直角三 角形，其序号依次为、 、 （1）分别求出第 、个等腰直角三角形的斜边长； （2）归纳出第n 个等腰直角三角形的斜边长（n 为正整数） 【题 11】解答下列各题： （1）等腰直角 ABC 和等腰直角 CDE 的位置如图所示，连接BE，并延长交AD 于 F，试问AD 与 BE 之间有什么关系？证明你的

18、结论； （2）若保持其他条件不变，等腰直角 CDE 绕 C 点旋转，位置如下图所示，试问AD 与 BE 之间的关 系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由 【题 12】一位同学拿了两块45 的三角尺 MNK 、 ACB 做了一个探究活动：将 MNK 的直角顶点M 放 在ABC 的斜边 AB 的中点处，设AC=BC=a 1 1 A B C D E F A B C D E 图1 M K N B C A 图2K N M CB A 图3 A M B K C N （1）如图 1，两个三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为（） ，周长为（） （2）将图 1 中的 MNK 绕顶点 M 逆时针

19、旋转45 ，得到图 2，此时重叠部分的面积为（） ，周长 为（） （3）如果将 MNK 绕 M 旋转到不同于图1，图 2 的位置，如图3 所示，猜想此时重叠部分的面积为多 少？并试着加以验证 【题 13】已知：三角形ABC 中， A=90 ，AB=AC，D 为 BC 的中点， （1）如图， E，F 分别是 AB，AC 上的点，且BE=AF，求证： DEF 为等腰直角三角形； （2）若 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么， DEF 是否仍为等腰 直角三角形？证明你的结论 【题 14】如图 （1） 是某种台灯的示意图， 灯柱 BC 固定垂直于桌面， AB是转轴，可以绕着点B 转动， AB=10cm， BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面 APQ 是等腰直角三角形，PAQ=90 ，且 PQAB转动前，点A、 B、C 在同一直线上 （1）转动 AB，如图（ 2）所示，若灯心A 到桌面的距离AM=25cm，求 ABC 的大小； （2）继续转动AB，使 ABBC，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大） F E D CB A N Q P C B A NM P Q A B C