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1、二次函数最值专题 知识归纳 二次函数的图象和性质 图象 开口向上向下 对 称 轴 x 顶 点 坐标 增 减 性 当 x时， y 随 x 的增大而增 大 ；当 x时， y 随 x 的增大 而减小 . 当 x时， y 随 x 的增大而 减小 ； 当 x时， y 随 x 的增大而 增大 . 二 次 函 数 的 图象和性质 最值x= ， y最小 .x= ， y最大 . 二次函数最值的方法与技巧 1、若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值或最小值。 2、若自变量的取值范围是，若 -在自变量的取值范围内，则当x=-时， y=是其中的一 21xxx a b 2a b 2a bac 4 4 2
2、 个最值。另一个最值在或处取得。若不在自变量的取值范围内，则函数的最值即为函数在 1xx2xx a b 2 ，时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的。 1 xx 2 xx 解决最值应用题注意事项 设未知数，在“ 当某某为何值时，什么最大（最小）” 的设问中， “ 某某 ” 要设为自变量， “ 什么 ” 要设为函 数； 求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内. 例题精讲 例 1、如图，二次函数的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（， 1） ，下列结论：abc 2 yaxbxc 1 2 0； a=b； a=4c4；方程有两个相等的
3、实数根，其中正确的结论是 （只填序号即 2 1axbxc 可） 答案为： 例 2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边 OA、OC 分别在 x轴、 y 轴上，点B 坐标为（ 4，t） （t0） ， 二次函数（b0）的图象经过点B，顶点为点D求点 E 是二次函数（b0）的图象与x 2 yxbx 2 yxbx 轴的一个公共点（点E 与点 O 不重合），求 OE?EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式； 答案： OE?AE 的最大值为4，此时 b 的值为 2 ， 抛物线的表达式为 2 2yxx 例 3、已知函数（a 是常数， a0） ，下列结论正确的是（ ） 2 21yaxax A当
4、a=1 时，函数图象经过点（1，1） B当 a=2时，函数图象与x 轴没有交点 C若 a0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方 D若 a 0，则当 x=1 时， y 有最大值。 解析：选 D 例 4、若一次函数y=（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数（ ） 2 yaxax A有最大值B有最大值 C有最小值D有最小值 4 a 4 a 4 a 4 a 解析：选D.一次函数y=（ a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，a+10 且 a0， 1a0，二次函 数由有最小值 ，故选 D 2 yaxax 4 a 专题练习 1、 二次函数（ a、b、c 是常数，且a 0）的图象如图所示，下列
5、结论错误的是（ ） 2 yaxbxc A4acb2 Babc0 Cb+c3aDab 答案： D 2、 如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+bx 5与x轴交于 A（1，0） ，B（5，0）两点，与y轴交 于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以B，C， D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标； （3）如图 2， CEx 轴与抛物线相交于点E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与 y 轴平行的直线 与 BC， CE 分别交于点F， G，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面
6、 积； （ 4）若点 K 为抛物线的顶点，点M（ 4， m）是该抛物线上的一点，在x 轴， y 轴上分别找点P， Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点P，Q 的坐标 答案：（ 1） 2 45yxx （2）如图 1，令 x=0，则 y=5， C（0， 5） ， OC=OB ， OBC=OCB=45 ， AB=6 ， BC=5， 要使以 B，C，D 为顶点的三角形与ABC 相似，则有或， 当时， CD=AB=6， D（0，1） ， 当时， ， CD=， D（0，） ， 即： D 的坐标为（ 0，1）或（ 0，） ； 3）设 H（ t，t24t5） ， CEx 轴， 点 E 的纵坐标为 5，
7、E 在抛物线上， x2 4x5=5， x=0（舍）或x=4， E（4， 5） ， CE=4， B（5，0） ，C（0， 5） ， 直线 BC 的解析式为y=x 5， F（t，t5） ， HF=t 5（ t24t5） =（ t） 2+ ， CEx 轴， HF y 轴， CEHF， S四边形 CHEF= CE?HF=2（ t） 2+ ， 当 t=时，四边形CHEF 的面积最大为 （4）如图 2， K 为抛物线的顶点， K（2， 9） ， K 关于 y 轴的对称点K （ 2， 9） ， M（4，m）在抛物线上， M（4， 5） ， 点 M 关于 x 轴的对称点M（4，5） ， 直线 KM 的解析式为
8、y=x， P（，0） ，Q（0，） 3、 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（ 1，0） ，B（4，0） ，C（0， 4）三点，点P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使 POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和 PBC 的最大面积 答案： 2 34yxx （2）作 OC 的垂直平分线DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点P，如图 1， PO=PD，此时 P点即为满足条件的点， C（0， 4）
9、， D（0， 2） ， P点纵坐标为 2， 代入抛物线解析式可得x23x4=2，解得 x=（小于 0，舍去）或x=， 存在满足条件的P 点，其坐标为（， 2） ； （3）点 P 在抛物线上， 可设 P（t，t 23t4） ， 过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线BC 于点 F，如图 2， B（4，0） ，C（0， 4） ， 直线 BC 解析式为y=x4， F（t，t4） ， PF=（t4）（ t23t4）=t 2+4t， S PBC=SPFC+SPFB= PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE） =PF?OB=（ t2+4t） 4= 2（t2）2+8， 当 t=2 时， S PBC最大值
10、为8，此时 t 23t4= 6， 当 P 点坐标为（ 2， 6）时， PBC 的最大面积为8 4、 为了推进我州校园篮球运动的发展，2017 年四川省中小学生男子篮球赛于2 月在西昌成功举办在此期间， 某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60 个，其进价与售价间的关系如下表： 篮球排球 进价（元 /个）8050 售价（元 /个）10570 （1）商店用4200 元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？ （2）设商店所获利润为y（单位：元） ，购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y 与 x 之间的函数关系式（不要 求写出 x 的取值范围）； （3）若要使商店的进货成本在4300
11、 元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400 元，请你列举出商店所有 进货方案，并求出最大利润是多少？ 解析：（ 1）设购进篮球m 个，排球n 个，根据题意得：，解得： 60 80504200 mn mn 40 20 m n 答：购进篮球40 个，排球20 个 （ 2）设商店所获利润为y 元，购进篮球x 个，则购进排球（60x）个，根据题意得：y=（ 10580）x+（7050） （60x）=5x+1200， y 与 x 之间的函数关系式为：y=5x+1200 （ 3）设购进篮球x 个，则购进排球（60x）个，根据题意得：，解得： 40 x 512001400 8050(60)4300
12、x xx 130 3 x 取整数，x=40， 41， 42， 43，共有四种方案，方案1：购进篮球40 个，排球20 个；方案2：购进篮球41 个，排球 19 个；方案3：购进篮球42 个，排球 18 个；方案4：购进篮球43 个，排球17 个 在 y=5x+1200 中 ， k=5 0， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 当 x=43 时 ， 可 获 得 最 大 利 润 ， 最 大 利 润 为 5 43+1200=1415 元 5、 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14 天内完成已知每件产品的出厂价为60 元工人甲第x 天生产的产品数量为y 件， y 与 x 满足如下关系：
13、 7.504 510 414 xx y xx （1）工人甲第几天生产的产品数量为70 件？ （ 2）设第 x 天生产的产品成本为P 元 /件， P 与 x 的函数图象如图工人甲第x 天创造的利润为W 元，求 W 与 x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？ 答案：（ 1）12 天 （ 2）由函数图象知，当0 x 4 时， P=40，当 4 x14 时，设P=kx+b，将（ 4， 40） 、 （14， 50）代入，得： ，解得：， P=x+36； 440 1450 kb kb 1 36 k b 当 0x4 时， W=（6040） ?7.5 x=150x， W 随 x 的增大而
14、增大，当x=4 时， W最大=600 元； 当 4x14 时， W=（60x36） （5x+10）=5x2+110x+240=5 （x 11 ） 2+845，当 x=11 时， W 最大=845， 845600，当 x=11 时， W 取得最大值， 845 元， 2 150 (04) 5110240(414) xx W xxx 答：第 11 天时，利润最大，最大利润是845 元 6、 在二次函数y x 2 2x 1 的图象中，若y 随 x 的增大而增大，则x 的取值范围是( ) Ax1 Bx1 Cx 1 D x 1 解析： a=- 10， 二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1， 当 x1
15、 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大。故选A. 7、 如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx5 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B（5，0）两点，与y 轴交 于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以B，C， D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标； （3）如图 2， CEx 轴与抛物线相交于点E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与 y 轴平行的直线 与 BC， CE 分别交于点F， G，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面 积； 答案：（ 1） 2
16、 45yxx （2）如图 1，令 x=0，则 y=5， C（0， 5） ， OC=OB ， OBC=OCB=45 ， AB=6 ， BC=5， 要使以 B，C，D 为顶点的三角形与ABC 相似，则有或， 当时， CD=AB=6 ， D（0，1） ， 当时， ， CD=， D（0，） ， 即： D 的坐标为（ 0，1）或（ 0，） ； （3）设 H（t，t24t5） ， CEx 轴， 点 E 的纵坐标为5， E 在抛物线上， x 2 4x5=5， x=0（舍）或 x=4， E（4， 5） ， CE=4， B（5，0） ，C（0， 5） ， 直线 BC 的解析式为y=x 5， F（t，t5） ，
17、HF=t 5（ t24t5） =（ t） 2+ ， CEx 轴， HF y 轴， CEHF， S四边形 CHEF=CE?HF=2（ t ） 2+ ， 当 t=时，四边形CHEF 的面积最大为 8、 如图，二次函数y=ax 2+bx+c （ a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交y 轴于点 D，点 B 的坐标为（ 3，0） ，顶 点 C 的坐标为（ 1，4） （1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式； （2）点 P是直线 BD 上的一个动点，过点P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点M，当点 P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值； 答案：（ 1）直线 BD 解析式为y=x+3；2 23
18、yxx （2）设 P点横坐标为m（m0） ，则 P（m， m+3） ，M（m， m2+2m+3） ， PM=m2+2m+3 （ m+3）=m2+3m=（ m ） 2+ ， 当 m=时， PM 有最大值； 9、 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点C，且 2 yaxbxc OA=2，OB=8，OC=6 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 从 A 点出发，在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向B 点运动，同时，点N 从 B 出发，在线段BC 上以每秒1 个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当MBN 存
19、在时， 求运动多少秒使MBN 的面积最大，最大面积是多少？ 答案：（ 1） 239 6 84 yxx （ 2）设运动时间为t 秒，则AM=3t，BN=t， MB=103t由题意得，点C 的坐标为（0， 6） 在 Rt BOC 中， BC=10 如 图 ， 过 点 N 作 NH AB 于 点 H， NH CO， BHN BOC， ， 即 22 86 HNBN OCBC ， HN=t， S MBN=MB? HN=（103 t） ?t=（t） 2+ ，当 MBN 存在 610 HNt3 5 1 2 1 2 3 5 2 9 3 10 tt 9 10 5 3 5 2 时， 0t2，当 t=时， S MBN 最大= 5 3 5 2 答：运动秒使 MBN 的面积最大，最大面积是； 5 3 5 2