《初中数学专题汇编--探究中考试卷中的几何旋转.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学专题汇编--探究中考试卷中的几何旋转.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、探究中考试卷中的旋转 与旋转有关的计算问题，常见的是计算角度、计算线段的长度、计算图形的周长与面积 以及旋转前后坐标系内点的坐标变换等.下面结合 2017 年部分省市的中考试题，对和旋转有 关的问题进行分类探究，供同学们参考. 一、与旋转有关的角度计算 例 1 (2017?菏泽 )如图 1，将Rt ABC绕直角顶点C时针旋转90，得到A B C， 连接AA，若125，则BAA的度数是 ( ) A.55B.60C.65D.70 解:由旋转的性质，得,90 ,ACA CACABACB A C. 45CAAAA C. 又125， 4 5( 4 51 )6 5B A AC A AB A C.故选 C.
2、 评注 :与旋转有关的角度计算，一般联系旋转的性质、三角形全等的性质、三角形的内 角和以及三角形的外角的性质等，注意结合图形信息，寻找已知角与未知角之间的关系，灵 活运用三角形的边与角之间的关系解题. 二、与旋转有关的线段长度的计算问题 例 2 (2017?娄底 )如图 2， 在平面直角坐标系中， 点,A B的坐标分别是A(3,0), B(0,4)， 把线段AB绕点A旋转后得到线段AB，使得点B的对应点B落在x轴的正半轴上，则点 B的坐标是 ( ) A.(5,0) B.(8,0) C.(0,5) D.(0,8) 解:易得 22 345AB. 把线段AB绕点A旋转后得到线段AB ，使得点B的对应
3、点B落在x轴的正半轴上， 则5ABAB. 所以点B到原点的距离是3 + 5=8. 又点B落在x轴的正半轴上， 所以点B的坐标是 (8,0).故选 B. 评注 :此题旋转角度不是特殊角，但旋转后点B的对应点位于x轴的正半轴上，计算线 段AB的长度是解决问题的关键. 一般地，如果旋转特殊角，有以下规律: 坐标平面内的点( , )P x y，绕着原点旋转一个90,如果是顺时针旋转，则有旋转后 的对应点的坐标为( ,)yx;如果是逆时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(, )y x.坐 标平面内的点绕着原点旋转180，得出的点关于原点中心对称，点( , )P x y关于原点的中 心对称点的坐标是(,)
4、Pxy，,P P位于相对的两个象限，即分别位于第一、第三象限或 者第二、第四象限. 三、与多次旋转有关的探究规律问题 例 3 (2017?菏泽 )如图3 , ABy轴，垂足为B，将ABO绕点A逆时针旋转到 11 ABO的位置，使点B的对应点 1 B落在直线 3 3 yx上，再将 11 ABO绕点 1 B逆时针 旋转到 112 ABO位置， 使点 1 O的对应点 2 O落在直线 3 3 yx上，依次进行下去若点 B的坐标是 (0,1)，则点 12 O的纵坐标是. 解:如图 4，过点 2 O作 21 O Mx轴于点 1 M，过点 4 O作 42 O Mx轴于点 2 M. 根据图形信息，1OB，把1
5、y代入 3 3 yx, 3x， 3AB. 22 ( 3)12OA, 根据旋转的性质，得 1121122 3,1,2ABABBOBOOBA OOA. 点 2 O到原点O的距离是 2112 23133OOOAABBO. 22 211 13333333 33 (33),(33)()3 22222 O MOM 点 2 O的坐标是 3 33 33 (,) 22 ，点 4 O的横坐标与纵坐标是点 2 O的横坐标与纵 坐标的 2 倍，点 6 O的横坐标与纵坐标分别是点 2 O的横坐标与纵坐标的3 倍 由于 12 2=6, 点 12 O的横坐标与纵坐标分别是点 2 O的横坐标与纵坐标的6 倍， 点 12 O的
6、坐标是 3 3333 (6(),6) 22 ，即是( 9 39,93 3). 点 12 O的的纵坐标是93 3. 评注 :此题运用坐标系内的点到原点的距离与到坐标轴的距离之间的平方关系，再者根 据旋转的性质， 旋转前后对应线段的长度相等，因此得出 22446 ,OO O O O O之间的相等关系， 运用直角三角形中三边之间的倍数关系，注意每一次偶数序号的变化，横坐标与纵坐标都是 点 2 O的横坐标与纵坐标的若干倍，这个倍数是序号的下标与2 的商 . 四、与旋转有关的开放探究问题 例 4 (2017?河南 )如图 5，在Rt ABC中，90 ,AABAC，点,D E分别在边 ,AB AC上，AD
7、AE，连接DC，点,M P N分别为,DE DC BC的中点 . (1)观察猜想 如图 5，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是. (2)探究证明 把ADE绕点A逆时针旋转到图6 的位置，连接,MN BD CE，判断PMN的形状， 并说明理由 ; (3)拓展延伸 把ADE绕点A在平面直角坐标系内自由旋转，若4,10ADAB，请直接写出 PMN面积的最大值 . 解:(1)猜想,PMPN PMPN. (90 ,AABACQ点,D E分别在边,AB AC上，ADAE, A BA DA CA E. D EE C. 又点,M P N分别为,DE DC BC的中点， 11 , 22 PMEC PNBD.
8、 PMPN，且/,/PMEC PNBD. ABACQ，即BDEC, PMPN.) (2)PMN是等腰直角三角形. 理由如下 : 由旋转的性质，得BADCAE. 又,ABAC ADAE, BADCAE. ,ABDACE BDCE. 又点,M P N分别为,DE DC BC的中点， 11 , 22 PMEC PNBD. P M N是等腰三角形 . 根据旋转的性质，旋转前后对应线段的夹角相等，得BADCAE. C A E可以看作是BAD绕点A逆时针旋转90得到，即是BDEC. ,90PMPNMPN. PMN是等腰直角三角形. (3) 49 2 . (如图 7，以点A为圆心，AD为半径画圆， 可以发现
9、当点D位于BA的延长线上时BD 与CE的长度都取得最大值10 + 4=14，此时 11 , 22 PMEC PNBD，而PMN始终都 是等腰直角三角形，其面积此时最大，这个最大面积是 1111149 1414 222282 PMPNECBD.) 评注 :由于旋转具有旋转前后图形的大小形状不变的性质，因此旋转前后对应线段的长 度，对应线段(或线段所在直线)的夹角都分别相等，因此结合特殊图形:等腰三角形 (含等腰 直角三角形与等边三角形)，正方形及相似的平行四边形(含矩形、菱形 )，相似的三角形等绕 其一个顶点旋转，探究对应线段(及对应线段的等分点之间的线段)等的数量与位置关系，是 中考命题的一个热点，其一般解法是联系三角形的全等，综合旋转的性质等层层探究，为了 找出最大值或最小值，有时可以构造辅助圆。