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1、初中数学相似问题深入思考 【问题 1】善于学习的小明查资料知道： 对应角相等， 对应边成比例的两个梯 形，叫做相似梯形他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似” ，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？ 问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？ （1）从特殊情形入手探究假设梯形ABCD 中，ADBC，AB=6，BC=8， CD=4， AD=2， MN 是中位线（如图 1） 根据相似梯形的定义， 请你说明梯形 AMND 与梯形 ABCD 是否相似？ （2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_ （填“ 相似” 或“ 不相似
2、 ” 或“ 相似性无法确定 ” 不要求证明） 问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？ （1） 从特殊平行线入手探究 梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形_ （填“ 相似” 或“ 不相似 ” 或“ 相似性无法确定 ” 不要求证明） （2） 从特殊梯形入手探究 同上假设，梯形 ABCD 中，ADBC， AB=6， BC=8， CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点 P、Q 在梯形的两腰上， 如图 2） ， 使得梯形 APQD 与梯形 PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由 （3）一般结论：对于任意梯形（如图），一定 _（填“ 存在” 或“ 不存 在” ）
3、平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似若存在，则确定这 条平行线位置的条件是 AP PB =_ （不妨设 AD=a，BC=b，AB=c，CD=d不要求证明） 【探求】 问题一： （1）因为 MN 是中位线，所以 MN= 1 2（AD+BC）=5， 1 2 AMDN ABDC ， 2 5 AD MN ， 5 8 MN BC ，显然对应边不成比例，所以梯形AMND 与梯形 ABCD 不相 似 （2）平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似 问题二： （1）因为 MN 是中位线，显然两梯形对应边不成比例，所以梯形的 中位线截两腰所得的两个小梯形不相似 （2）如果梯形 APQD 与
4、梯形 PBCQ 相似，则 ADPQ PQBC ，即 2 8 PQ PQ ，解得 PQ=4，此时必须 1 2 APAD PBPQ ，又 AB=6，所以 AP=2，所以当 AP=2，且 PQBC 时， 1 2 ADPQAPDQ PQBCPBQC ，又两梯形对应角相等，所以梯形APQD 与梯形 PBCQ 相似 （3）对于任意梯形，一定存在平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小 梯形相似此时， ADPQ PQBC ，所以 PQab ，故 APaa PBabb 【问题 2】某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、 识别及其性质， 可以拓展到扇形的相似中去.例如，可以定义： “圆心角相
5、等且半径 和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质： 弧长比等于半径 比，面积比等于半径比的平方.请你协助他们探索这个问题. （1）写出识别扇形相似的一种方法：若_ ，则两个扇形相似； （2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m；另一个半径 为 2a，则它的弧长为 _ ； （3）如图是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为 30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它的一半的纸扇（如下图），求新 做纸扇（扇形）的圆心角和半径. 【结论】 （1）仿照相似三角形的识别方法，不难得出识别扇形相似的方法有： 若两个扇形的圆心角相等，则这两个
6、扇形相似； 若两个扇形的半径和弧长对应成比例，则这两个扇形相似； （2）根据题中的给出的相似扇形的性质，可列出 2la ma ，解得2lm； （3）因为两个扇形相似，所以新扇形的圆心角为120. 设新扇形的半径为r，则 21 () 302 r ，解得15 2r，即新扇形的半径为 152 cm 第23题 图2 图1 A DE B C A D C B E 看辅助线“聚合”的力量 学会添加辅助线， 对同学们解决三角形相似问题是大有裨益的，它可以帮大 家把那些分散的条件集中起来！ 【例 1】如图所示ABCD 的对角线交于 O，OE 交 BC 于 E，交 AB 的延 长线于 F若 AB=a，BC=b，B
7、F=c，求 BE 【分析】本题所给出的已知长的线段 AB，BC，BF 位置分散，应设法利用平行四 边形中的等量关系， 通过辅助线将长度已知 的线段“集中”到一个可解的图形中来，为 此，过 O 作 OGBC，交 AB 于 G，构造出 FEBFOG，进而求解 解：过 O 作 OGBC，交 AB 于 G显然， OG 是ABC 的中位线，所以 在FOG 中，由于 GOEB，所以 【例 2】一条直线与三角形ABC 的三边 BC，CA，AB(或其延长线 )分别交于 D，E，F(如图所示 ) 求 【分析】设法引辅助线 (平行线 )将求证中所述诸线段 “集中”到同一直线上进 行求证 证明： 过 B 引 BGE
8、F，交 AC 于 G由平行线截线段成比例性质知 说明： 本题也可过 C 引 CGEF 交 AB 延长线于 G， 将求证中所述诸线段“集 中”到边 AB 所在直线上进行求证 【例 3】如图所示 ABC中，AD是BAC的平分线 求证： AB AC=BD DC 【分析】设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利 用角平分线产生等角的条件，可以过B引 BE AC ，且与 AD的延 长线交于一点 证明：过 B引 BE平行于 AC ，且与 AD的延长线交于 E点. 则易证 ADC 与EDB相似. 所以： BE:AC=BD:DC. 又 AD是BAC 的角平分线， 1=2； 又 AC BE ， 2=3， 1=3，所以 AB=BE. AB:AC=BD:DC. 如何裁剪相似三角形 【问题】请设计三种不同分法，将直角三角形（如图）分割成四个小三角形， 使得每个小三角形与原三角形都相似（画图工具不限，要求画出分割线段，标出 能够说明分法的必要记号， 不要求证明，不要求写出画法） 【分析】 由于直角三角形斜边上的高把这个三角形分成 两个小三角形与原三角形相似， 因此可以利用直角三角形斜 边上的高来分割三角形 此外，也可利用直角三角形斜边的 中点来构造相似比是 12的相似三角形 【解答】 （1）依次作直角三角形斜边上的高即可，如图1、图2、图3、图4、 图5