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1、初中数学相似问题深入思考 【问题 1】善于学习的小明查资料知道: 对应角相等, 对应边成比例的两个梯 形,叫做相似梯形他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似” ,提出如下两个问题,你能帮助解决吗? 问题一:平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似? (1)从特殊情形入手探究假设梯形ABCD 中,ADBC,AB=6,BC=8, CD=4, AD=2, MN 是中位线(如图 1) 根据相似梯形的定义, 请你说明梯形 AMND 与梯形 ABCD 是否相似? (2)一般结论:平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_ (填“ 相似” 或“ 不相似
2、 ” 或“ 相似性无法确定 ” 不要求证明) 问题二:平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似? (1) 从特殊平行线入手探究 梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形_ (填“ 相似” 或“ 不相似 ” 或“ 相似性无法确定 ” 不要求证明) (2) 从特殊梯形入手探究 同上假设,梯形 ABCD 中,ADBC, AB=6, BC=8, CD=4,AD=2,你能找到与梯形底边平行的直线PQ(点 P、Q 在梯形的两腰上, 如图 2) , 使得梯形 APQD 与梯形 PBCQ相似吗?请根据相似梯形的定义说明理由 (3)一般结论:对于任意梯形(如图),一定 _(填“ 存在” 或“ 不存 在” )
3、平行于梯形底边的直线PQ,使截得的两个小梯形相似若存在,则确定这 条平行线位置的条件是 AP PB =_ (不妨设 AD=a,BC=b,AB=c,CD=d不要求证明) 【探求】 问题一: (1)因为 MN 是中位线,所以 MN= 1 2(AD+BC)=5, 1 2 AMDN ABDC , 2 5 AD MN , 5 8 MN BC ,显然对应边不成比例,所以梯形AMND 与梯形 ABCD 不相 似 (2)平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似 问题二: (1)因为 MN 是中位线,显然两梯形对应边不成比例,所以梯形的 中位线截两腰所得的两个小梯形不相似 (2)如果梯形 APQD 与
4、梯形 PBCQ 相似,则 ADPQ PQBC ,即 2 8 PQ PQ ,解得 PQ=4,此时必须 1 2 APAD PBPQ ,又 AB=6,所以 AP=2,所以当 AP=2,且 PQBC 时, 1 2 ADPQAPDQ PQBCPBQC ,又两梯形对应角相等,所以梯形APQD 与梯形 PBCQ 相似 (3)对于任意梯形,一定存在平行于梯形底边的直线PQ,使截得的两个小 梯形相似此时, ADPQ PQBC ,所以 PQab ,故 APaa PBabb 【问题 2】某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、 识别及其性质, 可以拓展到扇形的相似中去.例如,可以定义: “圆心角相
5、等且半径 和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质: 弧长比等于半径 比,面积比等于半径比的平方.请你协助他们探索这个问题. (1)写出识别扇形相似的一种方法:若_ ,则两个扇形相似; (2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半径为a、弧长为m;另一个半径 为 2a,则它的弧长为 _ ; (3)如图是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB 和 AC 的夹角为 120,AB 长为 30cm,现要做一个和它形状相同、面积是它的一半的纸扇(如下图),求新 做纸扇(扇形)的圆心角和半径. 【结论】 (1)仿照相似三角形的识别方法,不难得出识别扇形相似的方法有: 若两个扇形的圆心角相等,则这两个
6、扇形相似; 若两个扇形的半径和弧长对应成比例,则这两个扇形相似; (2)根据题中的给出的相似扇形的性质,可列出 2la ma ,解得2lm; (3)因为两个扇形相似,所以新扇形的圆心角为120. 设新扇形的半径为r,则 21 () 302 r ,解得15 2r,即新扇形的半径为 152 cm 第23题 图2 图1 A DE B C A D C B E 看辅助线“聚合”的力量 学会添加辅助线, 对同学们解决三角形相似问题是大有裨益的,它可以帮大 家把那些分散的条件集中起来! 【例 1】如图所示ABCD 的对角线交于 O,OE 交 BC 于 E,交 AB 的延 长线于 F若 AB=a,BC=b,B
7、F=c,求 BE 【分析】本题所给出的已知长的线段 AB,BC,BF 位置分散,应设法利用平行四 边形中的等量关系, 通过辅助线将长度已知 的线段“集中”到一个可解的图形中来,为 此,过 O 作 OGBC,交 AB 于 G,构造出 FEBFOG,进而求解 解:过 O 作 OGBC,交 AB 于 G显然, OG 是ABC 的中位线,所以 在FOG 中,由于 GOEB,所以 【例 2】一条直线与三角形ABC 的三边 BC,CA,AB(或其延长线 )分别交于 D,E,F(如图所示 ) 求 【分析】设法引辅助线 (平行线 )将求证中所述诸线段 “集中”到同一直线上进 行求证 证明: 过 B 引 BGE
8、F,交 AC 于 G由平行线截线段成比例性质知 说明: 本题也可过 C 引 CGEF 交 AB 延长线于 G, 将求证中所述诸线段“集 中”到边 AB 所在直线上进行求证 【例 3】如图所示 ABC中,AD是BAC的平分线 求证: AB AC=BD DC 【分析】设法通过添辅助线构造相似三角形,这里应注意利 用角平分线产生等角的条件,可以过B引 BE AC ,且与 AD的延 长线交于一点 证明:过 B引 BE平行于 AC ,且与 AD的延长线交于 E点. 则易证 ADC 与EDB相似. 所以: BE:AC=BD:DC. 又 AD是BAC 的角平分线, 1=2; 又 AC BE , 2=3, 1=3,所以 AB=BE. AB:AC=BD:DC. 如何裁剪相似三角形 【问题】请设计三种不同分法,将直角三角形(如图)分割成四个小三角形, 使得每个小三角形与原三角形都相似(画图工具不限,要求画出分割线段,标出 能够说明分法的必要记号, 不要求证明,不要求写出画法) 【分析】 由于直角三角形斜边上的高把这个三角形分成 两个小三角形与原三角形相似, 因此可以利用直角三角形斜 边上的高来分割三角形 此外,也可利用直角三角形斜边的 中点来构造相似比是 12的相似三角形 【解答】 (1)依次作直角三角形斜边上的高即可,如图1、图2、图3、图4、 图5