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1、初中数学竞赛专题分类解析全等三角形 一、基础知识: 1)全等三角形的定义和判定定理。本质是通过平移、旋转和反射能够重合 的两个三角形。 2)全等三角形的性质:对应边、对应角相等;对应边上的中线和高相等, 对应角的角平分线相等 3) 全等三角形是解决线段、角等问题的一个出发点。线段相等、线段的 和差倍分关系、角的关系、两直线的位置关系等问题的证明经常需要转化为证 两个三角形全等。 4)在寻找全等的条件时,有时经常需要添加辅助线,辅助线的添加可由图 形特征及已知条件而决定,需要一定的分析和联想能力。 二、例题分析 例 1、对如下四个命题,请证明或举出反例: 1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个
2、三角形全等 2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 3)三角形 6 个边、角元素中,有5 个元素分别相等的两个三角形全等 4)一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等 例 2、如图, AD、CF、BE 都垂直于 AB,AC=BE , BC=AD ,AB=CF,试找出D FE 和AFB 大小之间的 关系,并证明之。 例 3、三角形 ABC 中,B 为直角, M 为 AB 上的一点且 AM=BC,N 为 BC 上的 一点且 CN=BM,连接 AM、CN 交于点 P,求证:APM=45 度。 例 4、已知由三角形 ABC 向外做正方形 ACDE、BCHJ、ABIF,点 K、L、X 分别
3、 是 DH、IJ、JH 中点,求证: AX=LK,AXLK(文武光华数学工作室命题) 例 5、在三角形 ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,三角形 ABD、ACE、BCF 都是 等边三角形,求四边形AEFD 的面积。 例 6、四边形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,且 MC=MD,过点 C、D 分别作 BC、 AD 的垂线,两条垂线交于点P,作 PQAB 于点 Q,求证:PQC=PQD 三、练习题 1、如下左图,已知AC?BD,EA、EB 分别平分C AB、 DB A,E 在 CD 上, 求证: AB=AC+BD 2、如上右图在四边形ABCD 中,ACB=B AD=105 度,ABC=ADC=45 度,求证: CD=AB 。 3、如下左图, AD 和 BC 交于点 E,AB=AD ,BAE=CAE,ACB=80 度, BCD=20度,求AEB 的大小。 4、如上右图,在梯形 ABCD 中,AB?CD,以 AD,BC 为边分别作正方形 ADEF、BCGH,I 为 EG 的中点,证明: ID=IC 。 5、如右图,以任意四边形ABCD 的四条 边为边向外作四个正方形ABHG 、BCJI、 CDLK、ADEF,四个正方形的中心分别为 N、O、P、M,连接 NP 和 OM ,求证: NPOM 且 NP=OM