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1、- 1 - “方程与函数”竞赛问题的简单剖析 方程与函数是初中竞赛的主体内容之一，方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解 决函数问题， 也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象 与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方 程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答 复习这部分内容的有效方法是对照初中数学竞赛大纲，逐条训练、理解、掌握. 下面选取一些试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、 解题方法为主线，期望既能在 试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握初中数学竞赛试题的脉络. 例 1解绝对值
2、方程234xx. 解答 （1）当4x时，有,03,04xx所以原方程变为234xx 解得： 2 9 x,满足条件， 即是该方程的解. （2） 当43x时，有,03,04xx 所 以 原 方 程 变 为234xx， 得1=2 ， 不 存 在 .（ 3） 当3x时 ， 有 ,03,04xx所以原方程变为234xx，解得： 2 5 x,满足条件， 即是该方程的解.综上所述，原方程的解为 2 9 x或 2 5 x. 点评 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“ 零点分段法 ”.即 ,03,04xx，分别求得, 3,4 xx，用 3，4 将数轴分成三段4x，43x， 3x，然后在每一段上去
3、掉绝对值符号再求解. 例 2求方程1115yx的整数解 . 解答 x= 5 111y =y yyy 2 5 1 5 101 (1) ， 设kk y ( 5 1 是整数），则ky51(2) ， 把（ 2）代入（ 1）得211)51(2kkkx 原方程所有的整数解是 ky kx 51 211 （k是整数） 点评 一般来说，在解不定方程时，常用系数中较小的数字去除方程中的各项，并将所得结 果中的整数分离出来.这种解法一般都适合于所有的二元一次不定方程.有时我们容易观察到 - 2 - 二元一次方程的一组特解，比如例2.通过观察发现 1 2 y x 是方程 5x+11y=1 的一组特解， 这时我们可以得
4、到以下的规律：在 ax+by=c 中，若系数 a 与 b 互质， 且该方程有一组整数解 0 0 yy xx ，则此方程的所有整数解可以表示成 akyy bkxx 0 0 ，其中k是整数 . 例 3方程组 12, 6 xy xy 的解的个数为( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4 解答 若x0 ，则 12, 6, xy xy 于是6yy，显然不可能 若0x，则 12, 6, xy xy 于是18yy，解得9y，进而求得3x 所以，原方程组的解为 , 9 , 3 y x 只有 1 个解故选 (A) 点评 解决多元方程、 多变量问题的基本方法是消元.本题为消元， 果断地对x的符号展开讨
5、论，去掉x中的绝对值符号，再转化为一元方程问题来达到求解的目的. 例 4已知实数ba，且满足) 1(33) 1( 2 aa， 2 ) 1(3) 1(3bb. 则 b a a a b b的值为 ( ). (A)23 (B)23(C)2(D)13 解答 ,a b是关于 x 的方程03) 1(31 2 xx的两个根， 整理此方程，得015 2 xx， 0425，5ba，1ab.故 a、b 均为负数 . 因此 23 2 222 ab abba ab ab ba ab b a ab a b b a a a b b.选 (B). - 3 - 点评 设 12 ,x x是二次方程的根，则利用根与系数的关系，可
6、以解决诸如 12 kk xx， 12 11 xx ， 21 12 xx xx 等问题，但要注意前提条件0.另外，有的竞赛试题还要求我们自己构造二次 方程，如本题构造根为,a b的方程 03) 1(31 2 xx. 例 5已知实数cba,满足：4,2 abccba. (1)求cba,中的最大者的最小值；(2)求cba的最小值 . 解答 (1)不妨设a是cba,中的最大者，即caba,， 由题设知0a，且acb2， a bc 4 . 于是cb,是一元二次方程0 4 )2( 2 a xax的两实根， a a 4 4)2( 2 0 ， 1644 23 aaa0 ，)4)(4( 2 aa 0. 所以a
7、4. 又当a=4，b=c=-1 时，满足题意. 故cba,中最大者的最小值为4. (2)因为abc0，所以cba,为全大于 0 或一正二负 . 若cba,均大于 0，则由 (1)知，cba,中的最大者不小于4，这与2cba矛盾 . 若cba,为一正二负，设a0，b0，c0， 则22)2(aaacbacba, 由(1)知a4 ，故22a6 ，当a=4，b=c=-1 时，满足题设条件且使得不等式等号成 立. 故cba的最小值为6. 点评 本题的三个关键点值得我们借鉴： 由, ,a b c的对称性，假定ab，ac（当然也可假定abc），既能简化问题， 又不失一般性； - 4 - 视a为常量，由,bc
8、 bc构造二次方程，由0获得a的范围 . 0是一个隐含 在二次方程中的重要不等式，大有用处； 解高次不等式 32 44160aaa用到了分解因式，分解因式时可借助“ 试根法 ”. 例 6m取何整数值时，方程组 14 42 yx myx 的解x和y都是整数？ 解答 把m作为已知数，解方程组得 8 2 8 8 1 m y m x x 是整数，m8 取 8 的约数 1， 2， 4， 8 y 是整数，m8 取 2 的约数 1， 2 取它们的公共部分，m8 1， 2 解得m=9，7，10，6经检验m=9，7， 10，6 时，方程组的解都是整数 点评 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待
9、定系数当己知数）， 再解含待定系数的不等式或加以讨论，从而求出待定系数的取值. 例 7已知a，b都是正整数，试问关于x 的方程 2 1 ()0 2 xabxab是否有两个整数 解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明. 解答 不妨设ab，且方程的两个整数根为 12 ,xx( 1 x 2 x)，则有 12 12 , 1 (), 2 xxab x xab 所以 1212 11 22 x xxxabab， 12 4(1)(1)(21)(21)5xxab . 因为a,b 都是正整数，所以x1， x2均是正整数， 于是， 1 1x 0, 2 1x0 ，21a 1,21b1 ， 所以 12 (1)
10、(1)0, (21)(21)5, xx ab 或 .1) 12)(12( , 1) 1)(1 21 ba xx（ (1)当 12 (1)(1)0, (21)(21)5 xx ab 时，由于a,b都是正整数，且a b，可得a1，b3， 此时，一元二次方程为 2 320xx，它的两个根为 1 1x， 2 2x - 5 - (2)当 12 (1)(1)1, (21)(21)1 xx ab 时，可得a 1，b 1， 此时，一元二次方程为 2 10xx，它无整数解 . 综上所述， 当且仅当a1，b3 时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为 1 1x， 2 2x 点评 我们解决二次方程的整数根这类问题总
11、是依赖于几个必要条件，如：两个之和为整 数、两根之积为整数、是整数且是完全平方数等； 本题的关键一步在 12 4(1)(1)(21)(21)5xxab. 这一步用到了“ 局部因式分 解” ，以及一个常见结论 111mnmnmn .接下来作整数分析，求四元不定方 程45xyzw的自然数解 . 例 8已知抛物线 2 (0)yaxbxc a过0,4 , 2, 2两点，当抛物线在x轴上截得的 线段最短时，求这时的抛物线解析式. 解答 抛物线过0,4 , 2, 2两点，代入解析式得23,4bac 所以 22 (23)4yaxbxcaxax 此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为 2 2 2316 49 4(0) aa a aaa 当 142 2 99a ，即 9 2 a时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将 9 2 a代入 23ba，得12b抛物线的解析式是 2 9 124 2 yxx 点评 因为抛物线 2 (0)yaxbxc a过0,4 , 2, 2两点，故可将cba,用同一个字 母表示出来，再求出在x轴上截得线段的最小值. 抛物线 2 (0)yaxbxc a在x轴上 截出的距离公式为： 22 bb aaa . 例 9二次函数 2 yaxbxc，当 1 2 x时，有最大值25，而方程 2 0axbxc的两 根、，满足 33 19，求a、b、c.