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1、第 1 页（共 16页） 勾股定理知识技能和题型归纳 一、本章知识内容归纳 1、勾股定理 揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 （1）重视勾股定理的叙述形式： 直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. 直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看，有“ 形的勾股定理” 和“ 数的勾股定理 ” 之分。 （2）定理的作用： 已知直角三角形的两边，求第三边。 证明三角形中的某些线段的平方关系。 作长为n的线段。（利用勾股定理探究长度为,3,2 的无理数线段的几何作图方 法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理
2、数概念 的认识。） 2、勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某 个角为直角的目的。 （2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 （3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及 书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下： 首先确定最大的边（如c） 验证 22 ba与 2 c是否具有相等关系： 若 222 cba，则 ABC 是以 C 为 90 的直角三角形。 若 222 cba，则 ABC 不是直角三角形。 补充知识： 当 222 cba 时，则是锐角三角形；当 222 cba 时，则是钝角三
3、角形。 （4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4， 5；5，12，13； 6，8，10；8， 15， 17；9， 40，41； 以及这些数组的倍数组成的数组。 勾股数组的一般规律： 丢番图发现的：式子 nmnmmnnm(,2 , 2222 的正整数） 毕达哥拉斯发现的：122 ,22 , 12 22 nnnnn（1n的整数） 柏拉图发现的：1, 1,2 22 nnn（1n的整数） 第 2 页（共 16页） C AB S2 S1 S3A C B 3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件： 勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否
4、 为直角。 （2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必 专门训练 . 二、本章解题技能归纳 1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质： 角的关系：直角三角形两锐角互余。 边的关系： 直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 边角关系：直角三角形中，30 的角所对的直角边等于斜边的一半。 双垂图： 双垂图中的线段关系。 （2）直角三角形的判定： 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
5、 2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长 设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c，由勾股定理知道： 222 cba。变形得： 222222 ,bacacbbca ，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股 定理可求出第三条边。 3、当直角三角形中含有30 与 45 角时，已知一边，会求其它的边 （1）含有 30 的直角三角形的三边的比为：1：2:3。 （2）含有 45 的直角三角形的三边的比为： 2:1:1 。 （3）等边三角形的边长为a，则高为 2 3a ，面积为 2 4 3 a。 三、阅读与思考“ 希波克拉底月牙形” （1）如左图： C=90 ，图中有阴影的三个半圆 的面积 S1,S2
6、,S3有什么关系？ 答： （2）如图： C=90 ，ABC 的面积为20，在 AB 的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作 三个半圆，则阴影部分（即“ 希波克拉底月牙形” ）的面积为 第 3 页（共 16页） y 144 169 x 144 81 z 576 625 勾股定理知识技能和题型归纳（二）题型 一、基础练习 （要求熟练掌握） 1、在 ABC 中， a,b,c 为三边长 . (1)当A=90 时，三边关系. (2)当C=90 时，三边关系. (3)当 222 bca时，=90 . 2、如图，在RtABC 中， C=90 ，BC=a,AC=b,AB=c . （1）已知 a=5,b=12,
7、则 c= ; （2）已知 b=6,c=10, 则 a= （3）已知 a=2,c=5,则 b= ； （4）已知 a=15,b=20, 则ABC 的周长 = ； （5）已知 a=2, c =2.5, 则ABC 的面积 = ； （6）已知 a: c =3:5, a+ c =32, 则 b= ; （7）已知 c =10, a: b=3:4, 则 a= , b= ，斜边上的高 = 。 3、已知 ABC 是直角三角形，AC=3，BC=5， 求 AB 的长。 4、在 ABC 中， C=90 ，AB=20。 （1）若 B= 45 ，求 BC、AC。（ 2）若 A=60 ，求 BC、AC。 5、求下列图中未知数
8、x、y、z的值： x= ; y= ; z= ; c b a B C A 第 4 页（共 16页） 二、与其它章节知识的联系 6、在 ABC 的三边cba,，且 442222 bacbca，判断 ABC 的形状。 7、若 ABC 的三边cba,满足条件cbacba262410338 222 ，判断 ABC 的形状。 8、 ABC 的三边cba,， 满足cabba,1612100 22 边的长是 5 5 3 5 2 xx x 的 解，求 ABC 中最大角的度数。 9、用本章学过的知识判断直线33xy与3 3 1 xy的位置关系，说明理由。 10、在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60 方向
9、以每小时8 海里的速度前进，乙 船沿南偏东某个角度以每小时15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 11、为美化环境，计划在某小区内用30 平方米的草皮铺设一边长为10 米的等腰三角形绿 地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 第 5 页（共 16页） 12、如图，铁路上A、B 两站（视为直线上两点）相距25 千米， C、D 为两个村庄（视为 两个点）， DAAB 于 A，CB AB 于 B，DA=15 千米， CB=10 千米，现要在铁路上建 设一个土特产收购站E，使得 C、D 两村到 E 的的距离相等，则E 应建
10、在距A 多少千米 处？ 13、在河 L 的同侧有两个仓库A、B 相距 1640 米，其中 A 距河 210 米， B 距河 570 米，现 要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？ 码头应建在何处？ 三、典型数学思想、方法的训练 (一)方程思想进行计算 14、小明用一根长30 厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一 条线段的长度比较短线段长7 厘米，比较长线段短1 厘米，请你帮助小明判断一下，他围 成的三角形是直角三角形吗？ 15、已知 ABC 中， C=90 ，D、E 分别为 BC、AC 的中点， AD=5，BE=102，求 AB
11、 的长 . 16、有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水 面 1 尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池 的深度与这根芦苇的长度分别为多少？ 第 6 页（共 16页） G F E A C D B 17、如图所示已知：在正方形ABCD 中， BAC 的平分线交BC 于 E， 作 EFAC 于 F，作 FG AB 于 G求 2 2 FG AB 的值 (二)构造直角三角形 18、已知 ABC 中， AB=8，AC=7，BC=6，求 ABC 的面积。 19、已知 ABC 中， B=30 ，C=45 ，ABAC=2-2，求 BC 的长。 20、已知：如图，ABAC 20，BC32， D 为 BC 边上一点， DAC 90 求 BD 的长 21、（ 1）写出三种用“ 构造斜边长为7的直角三角形的方法” 作长为7的线段的方案。 （2）能否通过 “ 构造直角边长为7的直角三角形的方法” 来作长为7的线段？若能， 写 出三角形的三边；若不能，说明理由。 （3）在（ 1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长 为7的线段， 对于正整数k，能否通过构造两边均为有理数 的直角三角形求出作长为k 的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。