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1、勾股定理的证明 【证法 1】 （课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为a、 b， 斜边长为 c， 再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等 . 即 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 ， 整理得 222 cba . 【证法 2】 （邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点 在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上，
2、C、G、D 三点在一条直线上 . RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90o, AEH + BEF = 90o. HEF = 180o90o= 90o. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90o, EHA + GHD = 90o. 又 GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD 是一个边长为 a + b的正方形，它的面积等于 2 ba . 22 2 1 4cabba . 222 cba . D G C F A H E
3、 B a b c a b c a b c a b c b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a a ba b c c AB C D E 【证法 3】 （赵爽证明） 以 a、b 为直角边（ba）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 . RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90o， EAB + HAD = 90o， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于c 2. EF = FG =GH =HE = b
4、a , HEF = 90o. EFGH 是一个边长为 ba的正方形，它的面积等于 2 ab . 2 2 2 1 4cabab . 222 cba . 【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于 ab 2 1 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点 在一条直线上 . RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90o, AED + BEC = 90o. DEC = 180o90o= 90o. DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2
5、2 1 c . 又 DAE = 90o, EBC = 90o, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2 2 1 ba . 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba . 222 cba . b a c G D A C B F EH P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c c c c b a c b a A B C E F P Q M N 【证法 5】 （梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交
6、DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上 , 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =180o90o= 90o. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . ABC + CBE = 90o. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90o. 即CBD= 90o. 又 BDE = 90o， BCP = 90o， BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a的正方形 . 同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 . 设多
7、边形 GHCBE 的面积为 S，则 , 2 1 2 22 abSbaabSc 2 1 2 2 , 222 cba . 【证法 6】 （项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜 边长为 c. 再做一个边长为c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形， 使 E、 A、 C 三点在一条直线上 . 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90o，QPBC， MPC = 90o， BMPQ， BMP = 90o， BCPM 是一个矩形，即 MBC = 90o. QBM
8、 + MBA = QBA = 90o， ABC + MBA = MBC = 90o， QBM = ABC， 又 BMP = 90o，BCA = 90o，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为 【证法 4】 （梅文鼎证明） . 【证法 7】 （欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、 B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于
9、2 2 1 a ， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积= 2 a . 同理可证，矩形 MLEB 的面积 = 2 b . 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 222 bac ，即 222 cba . 【证法 8】 （利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的 长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D. 在ADC 和ACB 中， ADC = ACB = 90o， CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB， 即 ABADA
10、C? 2 . 同理可证， CDB ACB，从而有 ABBDBC? 2 . 222 ABABDBADBCAC? ，即 222 cba . 【证法 9】 （杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边 长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AF AC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90o，PAC = 90o， DAH = BAC. 又 DHA = 90o， BCA
11、= 90o， AD = AB = c ， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. ABD C a c b 9 8 6 54 3 21 PR T H G F D A b c a b cc c c b a c b a AB C D E F G H M L K 由作法可知，PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90o，DHF = 90o，
12、GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90o， DGFH 是一个边长为 a的正方形 . GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）. 用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为 54321 2 SSSSSc abaabbSSS? 2 1 438 = abb 2 12 ， 985 SSS ， 8 2 43 2 1 SabbSS = 81 2 SSb . 把代入，得 9881 2 21 2 SSSSbSSc = 92 2 SSb = 22 ab
13、. 222 cba . 【证法 10】 （李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做三个边长 分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G 三点在一条 直线上 . 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90o， TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90o， BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90o， DBC + BHT = TBH + BHT = 90o， GHF = DBC. DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90o， RtHGF RtBDC. 即 27 SS . 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90o，可知 ABE M H Q R T G FE D C B A c b a 8 7 6 5 4 3 2 1