北师大版七年级数学下册培优压轴题专题练习汇总.pdf

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1、北师大版七年级数学下册培优压轴题专题练习汇总 一解答题（共 8 小题） 1已知四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120 ，MBN=60 ，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1） ，易证 AE+CF=EF； 当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF 又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，不需证明 2 （1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD ，B=D=90 ，E、F 分别是边 BC、

2、CD 上的点，且 EAF=BAD 求证： EF=BE+FD； （2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD ，B+D=180 ，E、F 分别是边 BC、 CD 上的点，且 EAF=BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+ADC=180 ，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且 EAF=BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 3 如图 1， 将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90 ， B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定 ABC，使

3、DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是； 设 BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 （2）猜想论证 当 DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量 关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中 BC、CE 边上的高，请你 证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4 ， DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 S DCF=SBDE， 请直接写出相应的BF

4、的长 4如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB 上的动点（ P 不与 A，B 重合） ， 分别以 AP、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正 APC 和正 PBD （1）当 APC 与 PBD 的面积之和取最小值时， AP=； （直接写结果） （2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设AQC= ，那么 的大小是否会随点 P 的 移动而变化？请说明理由； （3） 如图 2， 若点 P 固定， 将 PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180 ） ， 此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 5如图 1，Rt ABC 中 AB=AC ，点 D、E 是线

5、段 AC 上两动点，且 AD=EC， AM 垂直 BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC 于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交 于点 F试判断 DEF 的形状，并加以证明 说明： （1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中 的某种思路写出来（要求至少写3 步） ； （2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可 以从下列 、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明 1、画出将 BAD 沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90 后图形； 2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC 为等腰梯形（ ACKN，如图 2） 附加题：如图 3，若点 D、E 是直线

6、 AC 上两动点，其他条件不变，试判断 DEF 的形状，并说明理由 6如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点， M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也 随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？ 点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的 数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由； （3）若点 M

7、在点 C 右侧时，请你在图3 中画出相应的图形，并判断（1）的结 论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明 或说明理由 7已知：等边三角形ABC （1）如图 1，P 为等边 ABC 外一点，且 BPC=120 试猜想线段BP、PC、 AP 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，P 为等边 ABC 内一点，且APD=120 求证：PA+PD+PCBD 8认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式， 如： （a+b） 1=a+b， （a+b） 2=a2+2ab+b2， （a+b） 3= （a+

8、b）2 （a+b） =a 3+3a2b+3ab2+b3， 下面我们依次对 （a+b） n 展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数时可 以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“ 杨辉三角形 ” ；仔细观察 “ 杨辉三角形 ” ，用你发现 的规律回答下列问题： （1）多项式（ a+b） n 的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b） n 展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b） n （n 取正整数）的展开式的各项系数 之和为 S， （结果用含字母 n 的代数式表示） 参考答案与试题解析 一解答题（共 8 小题）

9、1已知四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120 ，MBN=60 ，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1） ，易证 AE+CF=EF； 当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF 又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，不需证明 【 解 答 】 解 ： AB AD ， BC CD ， AB=BC ， AE=CF ， 在 ABE 和 CBF 中， ， ABECBF（SAS） ； ABE=CBF，B

10、E=BF； ABC=120 ，MBN=60 ， ABE=CBF=30 ， AE=BE，CF=BF； MBN=60 ，BE=BF， BEF 为等边三角形； AE+CF=BE+BF=BE=EF； 图 2 成立，图 3 不成立 证明图 2 延长 DC 至点 K，使 CK=AE ，连接 BK， 在 BAE 和 BCK 中， 则 BAEBCK， BE=BK，ABE= KBC， FBE=60 ，ABC=120 ， FBC+ABE=60 ， FBC+KBC=60 ， KBF=FBE=60 ， 在 KBF 和 EBF 中， KBFEBF， KF=EF， KC+CF=EF， 即 AE+CF=EF 图 3 不成立

11、， AE、CF、EF 的关系是 AECF=EF 2 （1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD ，B=D=90 ，E、F 分别是边 BC、 CD 上的点，且 EAF=BAD 求证： EF=BE+FD； （2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD ，B+D=180 ，E、F 分别是边 BC、 CD 上的点，且 EAF=BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+ADC=180 ，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且 EAF=BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 【解

12、答】证明：（1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG ABG=ABC=D=90 ，AB=AD ， ABGADF AG=AF，1=2 1+3=2+3=EAF=BAD GAE=EAF 又AE=AE， AEGAEF EG=EF EG=BE+BG EF=BE+FD （2） （1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立 （3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BEFD 证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG B+ADC=180 ，ADF+ADC=180 ， B=ADF AB=AD ， ABGADF BAG=DAF，AG=AF BAG+EAD=DAF+EAD =EAF

13、=BAD GAE=EAF AE=AE， AEGAEF EG=EF EG=BEBG EF=BEFD 3 如图 1， 将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90 ， B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定 ABC，使 DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是DEAC； 设 BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2， 则 S1与 S2的数量关系是 S1=S2 （2）猜想论证 当 DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量 关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC

14、 和 AEC 中 BC、CE 边上的高，请你 证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E （如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 S DCF=SBDE，请直接写出相应的BF 的长 【解答】解：（1） DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上， AC=CD， BAC=90 B=90 30 =60 ， ACD 是等边三角形， ACD=60 ， 又CDE=BAC=60 ， ACD=CDE， DEAC； B=30 ，C=90 ， CD=AC=AB， BD=AD=AC ， 根据等边三角形的性质， ACD

15、的边 AC、AD 上的高相等， BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 S1=S2； 故答案为： DEAC；S1=S2； （2）如图， DEC 是由 ABC 绕点 C 旋转得到， BC=CE，AC=CD， ACN+BCN=90 ，DCM+BCN=180 90 =90 ， ACN=DCM， 在 ACN 和 DCM 中， ， ACNDCM（AAS） ， AN=DM ， BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 S1=S2； （3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形， 所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的

16、高相等， 此时 SDCF1=SBDE； 过点 D 作 DF2BD， ABC=60 ，F1DBE， F2F1D=ABC=60 ， BF1=DF1，F1BD=ABC=30 ，F2DB=90 ， F1DF2=ABC=60 ， DF1F2是等边三角形， DF1=DF2， BD=CD，ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点， DBC=DCB= 60 =30 ， CDF1=180 BCD=180 30 =150 ， CDF2=360 150 60 =150 ， CDF1=CDF2， 在 CDF1和 CDF2中， ， CDF1CDF2（SAS） ， 点 F2也是所求的点， ABC=60 ，点 D 是角平分

17、线上一点， DEAB， DBC=BDE=ABD= 60 =30 ， 又BD=4， BE= 4 cos30 =2=， BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=， 故 BF 的长为或 4如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB 上的动点（ P 不与 A，B 重合） ， 分别以 AP、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正 APC 和正 PBD （1）当 APC 与 PBD 的面积之和取最小值时， AP=a； （直接写结果） （2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设AQC= ，那么 的大小是否会随点 P 的 移动而变化？请说明理由； （3） 如图 2， 若点 P 固定， 将 PBD 绕

18、点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180 ） ， 此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 【解答】解：（1）设 AP 的长是 x，则 BP=2ax， S APC+S PBD=x?x+（2ax）?（2ax） =x 2 ax+a 2， 当 x=a时 APC 与 PBD 的面积之和取最小值， 故答案为： a； （2） 的大小不会随点 P 的移动而变化， 理由： APC 是等边三角形， PA=PC，APC=60 ， BDP 是等边三角形， PB=PD，BPD=60 ， APC=BPD， APD=CPB， APDCPB， PAD=PCB， QAP+QAC+ACP=120 ， Q

19、CP+QAC+ACP=120 ， AQC=180 120 =60 ； （3）此时 的大小不会发生改变，始终等于60 理由： APC 是等边三角形， PA=PC，APC=60 ， BDP 是等边三角形， PB=PD，BPD=60 ， APC=BPD， APD=CPB， APDCPB， PAD=PCB， QAP+QAC+ACP=120 ， QCP+QAC+ACP=120 ， AQC=180 120 =60 5如图 1，Rt ABC 中 AB=AC ，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC， AM 垂直 BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC 于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交

20、于点 F试判断 DEF 的形状，并加以证明 说明： （1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中 的某种思路写出来（要求至少写3 步） ； （2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可 以从下列 、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明 1、画出将 BAD 沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90 后图形； 2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC 为等腰梯形（ ACKN，如图 2） 附加题：如图 3，若点 D、E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断 DEF 的形状，并说明理由 【解答】解： DEF 是等腰三角形 证明：如图，过点C 作 CPA

21、C，交 AN 延长线于点 P Rt ABC 中 AB=AC BAC=90 ，ACB=45 PCN=ACB，BAD=ACP AM BD ABD+BAM= BAM+ CAP=90 ABD=CAP BADACP AD=CP，ADB= P AD=CE CE=CP CN=CN CPNCEN P=CEN CEN=ADB FDE=FED DEF 是等腰三角形 附加题： DEF 为等腰三角形 证明：过点 C 作 CPAC，交 AM 的延长线于点 P Rt ABC 中 AB=AC BAC=90 ，ACB=45 PCN=ACB=ECN AM BD ABD+BAM= BAM+ CAP=90 ABD=CAP BADA

22、CP AD=CP，D=P AD=EC，CE=CP 又CN=CN CPNCEN P=E D=E DEF 为等腰三角形 6如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点， M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也 随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？ 点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的 数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2

23、 证明；若不成立，请说明理由； （3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图3 中画出相应的图形，并判断（1）的结 论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明 或说明理由 【解答】解：（1）判断： EN 与 MF 相等（或 EN=MF） ，点 F 在直线 NE 上， （2）成立 连接 DF，NF，证明 DBM 和 DFN 全等（ AAS） ， ABC 是等边三角形， AB=AC=BC 又D，E，F 是三边的中点， EF=DF=BF BDM+MDF=60 ，FDN+MDF=60 ， BDM=FDN， 在 DBM 和 DFN 中， DBMDFN， BM=FN，DF

24、N=FDB=60 ， NFBD， E，F 分别为边 AC，BC 的中点， EF是 ABC 的中位线， EFBD， F 在直线 NE 上， BF=EF， MF=EN （3）如图 ，MF 与 EN 相等的结论仍然成立（或MF=NE 成立） 连接 DF、DE， 由（2）知 DE=DF，NDE=FDM，DN=DM ， 在 DNE 和 DMF 中， DNEDMF， MF=NE 7已知：等边三角形ABC （1）如图 1，P 为等边 ABC 外一点，且 BPC=120 试猜想线段BP、PC、 AP 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，P 为等边 ABC 内一点，且APD=120 求证：PA+P

25、D+PCBD 【解答】猜想： AP=BP+PC， （1）证明：延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE， BPC=120 ， CPE=60 ，又 PE=PC， CPE为等边三角形， CP=PE=CE，PCE=60 ， ABC 为等边三角形， AC=BC，BCA=60 ， ACB=PCE， ACB+BCP=PCE+BCP， 即：ACP=BCE， ACPBCE（SAS） ， AP=BE， BE=BP+PE， AP=BP+PC （2）证明：在 AD 外侧作等边 ABD ， 则点 P 在三角形 ADB 外，连接 PB，BC， APD=120 由（1）得 PB =AP+PD ， 在 PBC 中，有

26、 PB +PCCB ， PA+PD+PCCB ， AB D、 ABC 是等边三角形， AC=AB，AB =AD， BAC=DAB =60 ， BAC+CAD=DAB + CAD， 即：BAD= CAB ， AB CADB ， CB =BD ， PA+PD+PCBD 8认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式， 如： （a+b） 1=a+b， （a+b） 2=a2+2ab+b2， （a+b） 3= （a+b）2 （a+b） =a 3+3a2b+3ab2+b3， 下面我们依次对 （a+b） n 展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整

27、数时可 以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“ 杨辉三角形 ” ；仔细观察 “ 杨辉三角形 ” ，用你发现 的规律回答下列问题： （1）多项式（ a+b） n 的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b） n 展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b） n （n 取正整数）的展开式的各项系数 之和为 S， （结果用含字母 n 的代数式表示） 【解答】解： （1）当 n=1 时，多项式（ a+b） 1 的展开式是一次二项式，此时第 三项的系数为： 0=， 当 n=2 时， 多项式 （a+b） 2 的展开式是二次三项式， 此

28、时第三项的系数为： 1=， 当 n=3 时， 多项式 （a+b） 3 的展开式是三次四项式， 此时第三项的系数为： 3=， 当 n=4 时， 多项式 （a+b） 4 的展开式是四次五项式， 此时第三项的系数为： 6=， 多项式（ a+b）n的展开式是一个 n 次 n+1 项式，第三项的系数为：； （2）预测一下多项式（ a+b） n 展开式的各项系数之和为：2 n； （3）当 n=1 时，多项式（ a+b） 1 展开式的各项系数之和为：1+1=2=2 1， 当 n=2 时，多项式（ a+b） 2 展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2 2， 当 n=3 时，多项式（ a+b） 3 展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2 3， 当 n=4 时，多项式（ a+b） 4 展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2 4， 多项式（ a+b）n展开式的各项系数之和： S=2 n