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1、北师版数学九年级上册相似在圆中的解题应用 1 / 4 北师版数学九年级相似在圆中的解题应用 相似三角形是一个独立的知识，也是一个重要的应用性知识，借助三角形的相似，可以 生成不同的综合题，今天就谈谈相似与圆的综合，供鉴赏. 1. 圆中直接证明相似 例 1 （2017衢州）如图1，AB为半圆 O的直径， C为 BA延长线上一点，CD切半圆 O于点 D.连结 OD ，作 BE CD于点 E，交半圆O于点 F. 已知 CE=12 ，BE=9. (1) 求证： COD CBE ； (2)求半圆 O的半径 R 的长 . 图 1 解析 ： （1）解：因为CD切半圆于点D，OD为 O的半径，所以CD OD,
2、所以 CDO=90 , 因为 BE CD于点 E,所以 E=90 . 因为CDO= E=90 , C= C,所以 COD CBE. （2）解：因为在 Rt BEC中，CE=12,BE=9,所以 BC=15,因为 COD CBE,所以 ODOC = BECB , 因为圆的半径为R，所以 15 = 915 RR , 解得 R= 45 8 ，所以半圆O的半径 R 的长为 45 8 . 点评： 熟练应用切线的性质，为三角形的相似提供等角，是解题的关键，其次，灵活运用相 似三角形的性质，选择恰当的比例式也是问题破解的重要工具 2. 坐标系圆中求坐标 例 2 （2017 年无锡）如图 2，以原点O为圆心，
3、 3 为半径的圆与x 轴分别交于A，B 两点 （点 B 在点 A 的右边），P 是半径 OB上一点，过P 且垂直于AB的直线与 O分别交于C，D 两点（点C在点 D的上方），直线 AC ，DB交于点 E若 AC ：CE=1 ：2 （1）求点 P的坐标； （2）求过点A和点 E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式 图 2 解析 ： （1）如图 2，作 EF x 轴于 F，设 C（m ，n） ，E(a,b),则 P（m ，0） ，PA=m+3 ，PB=3m AF=a+3,PF=a-m。 BF=a-3, 因为 EFCP ，所以 ACP AEF ，所以 ACCPAP = AEEFAF , 北师版数
4、学九年级上册相似在圆中的解题应用 2 / 4 因为 AC ： CE=1 ： 2， 所以 AC AE = 1 3 ， 所以 CPAP = EFAF = 1 3 ， 所以 nm+3 = ba+3 = 1 3 ， 所以 b=3n,a=3m+6. 因为 PD EF，所以 DPB EFB ， DPPB = EFBF , 因为 PC=PD ，所以 DPPB = EFBF = 1 3 ， 所以 a-3=3(3-m),所以 a=12-3m,解得 a=9,m=1, 所以 P（ 1，0） （2）连接 OP ，因为 PO=1,OC=3,所以在 RtOCP中， PC= 22 OC -PO =2 2 , 所以 n=2
5、2 ， 所以 b=3n=6 2 , 所以 E（9，6 2 ） ， 因为抛物线的对称轴为CD ，过点 A和点 E，且对称轴为直线x=1，所以点 A(-3,0)的对称点为 （5,0 ） ，所以（ 3，0）和（ 5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3） （x5） ， 把 E（9，6 2 ）代入得到a= 2 8 ，所以抛物线的解析式为y= 2 8 （ x+3） （x5） ， 即 y= 2 8 2 x 2 4 x 152 8 点评 ：作辅助线把线段比转化成相似三角形的相似比是解题的关键第一步，巧设点的坐标， 用坐标表示相应线段的长度化坐标为线段的长度，是解题关键的第二步；用垂径定理，勾股
6、定理求得PC的长， 是解题的第三核心；巧用对称轴妙求对称点坐标，设出交点式求二次函数 的解析式解题的最后关口. 3. 探求线段的长 例 3（2017 年兰州）如图3， ABC内接于 O ，BC是 O的直径，弦AF交 BC于点 E，延长 BC到点 D,连接 OA ，AD ，使得 FAC= AOD，D=BAF. (1) 求证： AD是 O的切线； (2) 若 O的半径为5，CE=2 ，求 EF的长 . 图 3 解析 ： （ 1）因为 BC是直径，所以FAC+ BAF =90, 因为 FAC= AOD，D=BAF. 所以 AOD+ D=90, 所以 OAD =90 , 所以 AD是 O的切线； （2
7、）连接 BF，因为 FAC= AOD ， ACE= OCA ，所以 ACE OCA ， 北师版数学九年级上册相似在圆中的解题应用 3 / 4 所以 ACCEAE = OCACAO , 所以 AC2AE = 5AC5 ，所以 AE=AC=10， 因为 CAE= FBE ， AEC= BEF ，所以 ACE BFE ， 所以 CEAE = EFBE , 因为 BE=10-2=8,CE=2,AE=10, 所以 210 = EF8 ，所以 EF=8 10 5 . 点评 ：把直角转化为两个角的和，巧用等量代换，证明直线垂直半径，这是证明切线的常用 方法之一， 要熟练掌握， 并能灵活运用. 其次， 熟练掌
8、握母子错位相似三角形的证明，性质更 是解题的关键所在. 4. 证明乘积式 例 4（2017 四川省达州市）如图4， ABC内接于 O，CD平分 ACB交 O于 D，过点 D作 PQ AB分别交 CA 、CB延长线于P、Q ，连接 BD （1）求证： PQ是 O的切线； （2）求证： 2 BD=AC?BQ ； （3）若 AC 、 BQ的长是关于x 的方程 x+ m x =m 的两实根，且tan PCD= 1 3 ，求 O的半径 图 4 解析 ：（ 1）证明：因为PQ AB ，所以 ABD= BDQ= ACD ，因为 ACD= BCD ，所以 BDQ= ACD ， 如 (1) ，连接 OB ，OD
9、 ，交 AB于 E，则 OBD= ODB ， O=2DCB=2 BDQ ， 在 OBD 中， OBD+ ODB+ O=180 ，所以2ODB+2 O=180 ，所以ODB+ O=90 ， 所以 PQ是 O的切线； （2）证明：如 (2) ，连接 AD ，由（ 1）知 PQ是 O的切线，所以BDQ= DCB= ACD= BCD= BAD ，所以AD=BD ，因为 DBQ= ACD ，所以 BDQ ACD ，所以 ADAC = BQBD , 所以 2 BD =AC?BQ ； （3）解：方程x+ m x =m 可化为 2 xmx+4=0 ，因为 AC 、BQ的长是关于x 的方程 x+ m x =m
10、的两实根，所以AC?BQ=4 ，由（ 2）得 2 BD=AC?BQ ，所以 2 BD=4，所以 BD=2 ，由（ 1）知 PQ 是 O的切线，所以OD PQ ，因为 PQ AB ，所以 OD AB ，由（ 1）得 PCD= ABD ，因为 tan 北师版数学九年级上册相似在圆中的解题应用 4 / 4 PCD= 1 3 ， 所以 tan ABD= 1 3 ，所以 BE=3DE ，所以 222 DE(3)4DEBD，所以 DE=2 10 5 ，所以 BE= 6 10 5 ， 设OB=OD=R ， 所 以OE=R 2 10 5 ， 因 为 222 OB =OE +BE ,所 以 2222 106 10 R =(R-) +() 55 , 解得： R=210，所以 O的半径为210 点评： 利用等线段代换，把乘积式转化为比例式，为寻找相似三角形奠定基础. 其次，熟练 运用一元二次方程根与系数关系定理是解题关键特别要提醒的两点是：把三角函数值合理 转化成线段比，是三角函数的重要应用之一，要熟练掌握；二是用好平方差公式高效求解勾 股定理奠基的方程也是中考计算的有效手段之一，也要熟练的掌握.