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1、第四节 微积分基本公式,一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系,变上限积分的求导公式,定积分的换元法,第五节 广义积分,定积分的元素法,复习曲边梯形的面积计算方法（演示）,定积分的元素法分析（演示）,定积分的元素法（演示）,应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素 f(x)dx 和积分区间a ,b。,一般地：若所量U与变量的变化区间a , b有关，且关于 a , b具有可加性，在a , b中的任意一个小区间x , x+dx上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 为所求量U的元素。,直角坐标系下的平面
2、图形的面积（演示）,1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为,2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为,3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x= (y) 所围平面图形的面积为,平面图形的面积例题选举,例1 计算由 及 所围成的图形的面积。,例2 计算由曲线 和 所围成的图形的面积。,例3 计算由 和 所围成的图形的面积。,例4 求椭圆 的面积。,解,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（1）,（2）,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（4）,（5）,一般地：
3、如右图中的阴影部分的面积为,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（6）,或,法一：以 y 作积分变量,法二：以 x 作积分变量,（7）,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,例 4 求由下列给定曲线所围成的图形面积。,星形线,解由图形的对称性可得,a,b,旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。,旋转体的体积,示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。,旋转体的体积计算公式,1、旋转轴为 x 轴（演示）,由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的
4、体积为,由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所围成的曲边 梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为,2、旋转轴为 y 轴（演示）,旋转体的体积计算公式,例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。,解 如图所示,体积元素为,直线OP的方程为,所求体积为,返回,例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转 一周而成的立体的体积。,解 如图所示,V2,V1,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕x轴旋转一周
5、,绕x轴旋转一周,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕x轴旋转一周,轴,轴,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕y轴旋转一周,绕y轴旋转一周,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕y轴旋转一周,例4 求由曲线 及 所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。,问题的提出,返回,定积分元素法分析,返回,定积分元素法,返回,平面图形的面积（直角坐标）,返回,求面积例题 1,返回,面积例题 2,返回,求面积例题 3,返回,例 4 求椭圆面积,返回,旋转体概念,返回,旋转体实例圆锥,返回,旋转体实例圆柱,返回,旋转体体积推导,返回,体积例题 3,返回,体积例题 2,返回,体积例题 5,返回,