《弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、弦切角定理及其应用 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 。(弦切角就是 切线 与弦 所夹的角） 弦切角定义 图1 如右图所示， 直线 PT 切圆 O 于点 C，BC、AC 为圆 O 的弦，TCB 、TCA 、PCA 、 PCB 都为弦切角。 弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 如上图， PCA=1/2 COA= CBA 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接 OC， OB, 。 TCB=90 -OCB BOC=180 -2OCB ,BOC=2 TCB（定理 ： 弦切角 的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） BOC=2 CA
2、B （同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） TCB= CAB （定理 ：弦切角 的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知： AC 是 O 的弦， AB 是 O 的切线， A 为切点，弧是弦切角BAC 所夹的 弧. 求证： （弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心 O 在 BAC 的一边 AC 上 AC 为直径， AB 切 O 于 A， 弧 CmA= 弧 CA 为半圆 , CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角 （2）圆心 O 在 BAC 的内部 . (B 点应在 A 点左侧 ) 过 A 作直径 AD 交 O 于 D, E 若在优弧m 所对的劣弧上有一点 那么，连接EC、ED 、EA 则有
3、： CED= CAD 、 DEA= DAB CEA= CAB （弦切角定理） （3）圆心 O 在 BAC 的外部 , 过 A 作直径 AD 交 O 于 D 那么 CDA+ CAD= CAB+ CAD=90 CDA= CAB （弦切角定理） 3弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在 O 中， O 的切线 AC、 BC 交与 点 C，求证： CAB= CBA 。 解：O 的切线 AC、BC 交与点 C，AC=BC （切线长定理 ） 。 CAB= CBA 。 （等 腰三角形“ 等边对等角 ”） 。 例2：如图，AD 是 ABC 中 BAC 的平分
4、线， 经过点 A 的 O 与 BC 切于点 D，与 AB，AC 分别相交于E，F. 求 证： EF/BC. 证明：连接DF AD 是 BAC 的平分线 BAD= DAC EFD= BAD EFD= DAC O 切 BC 于 D ,FDC= DAC EFD= FDC EFBC 例3：如图， ABC内接于 O，AB 是 O 直径， CD AB 于 D，MN 切 O 于 C，求证： AC 平分 MCD ，BC 平分 NCD. 证明： AB 是 O 直径 ACB=90 CDAB ACD= B， MN 切 O 于 C MCA= B， MCA= ACD ，即 AC 平分 MCD ，同理： BC 平分 NC
5、D 。 割线定理 割线定理是现代词，是一个专有名词，指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每 条割线与圆交点的距离的积相等，英文“Secant Theorem”。 1定义 文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆交点的距离的积相等。 数学语言：从圆外一点L 引两条 割线 与圆分别交于A.B.C.D 则有LALB=LC LD=LT2 。 几何语言：割线LDC 和 LBA 交于圆 O 于 ABCD 点 LALB=LC LD=LT2 如右图所示。(LT 为切线） 2证明一 已知：如图直线ABP 和 CDP 是自点 P 引的 O 的两条 割线 求证： PAPB=PC PD 证明：连
6、接AD、BC A 和 C 都对弧 BD 由 圆周角定理 ，得A=C 又 P= P ADP CBP （ A，A） AP:CP=DP:BP 即 APBP=CP DP 3证明二 既然圆内接四边形定理可以从割线定理 而得， 那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而 得。 如图所示。 已知：从圆O 外一点 P 引两条 圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D 求证： APBP=CP DP 证明：连接AC、BD 由圆内接四边形定理得 ABD+ DCA= CAB+ BDC=180 又 ACP+ DCA= DCP=180 ， CAP+ CAB= BAP=180 （平角的定义） ABD= ACP ， B
7、DC= CAP （同角的补角相等） ACP DBP （两角对应相等的三角形相似） AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例） APBP=CP DP （比例基本性质）1 4证明三 根据切割线定理求证。 已知：从圆O 外一点 P 引两条 圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D 求证： APBP=CP DP 过点 P 作圆 O 的切线，记切点为T 由切割线定理可知：AP BP=PT2 ， CPDP=PT2 所以 AP BP=CP DP 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或： 经过圆内一点引两条弦， 各弦被这点所分成的两段的积相等。 1概念 定理：圆内的两条相
8、交弦 ，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各 弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言： 若弦 AB 、CD 交于点 P 则 PA PB=PC PD（相交弦定理 ） 概述：相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定 理为： 切割线定理、割线定理 2证明 证明：连结AC ，BD 由圆周角定理 的推论，得A= D， C=B。 （圆周角 推论 2: 同(等)弧所对圆周角相等.） PAC PDB PAPD=PC PB，PAPB=PC PD 注：其 逆定理 可作为证明圆的内接四边形的方法. P 点若选在圆内任意一点更具一般性。其 逆定理 也可用于证明 四点共圆 。 3比较 相交弦定理 、
9、切割线定理 及割线定理 (切割线定理推 论)以及他们的推论统称为圆幂定理 。一般用于求 线段 长 度。 4相交弦定理推论 定理:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。 几何语言： 若 AB 是直径，CD 垂直 AB 于点 P， 则 PC2=PAPB（相交弦定理推论） 切割线定理 1定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线 和割线 ，切线长是这点到割线与圆交点的两条 线段长的 比例中项 。是 圆幂定理 的一种。 几何语言： PT 切 O 于点 T，PBA 是 O 的割线 PT2=PAPB（切割线定理） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：PT 是 O 切线， PBA， PDC 是 O 的割线 PDPC=PA PB（切割线定理 推论） (割线定理 ） 由上可知 :PT 2=PAPB=PC PD 2证明 切割线定理证明: 设 ABP 是 O 的一条割线， PT 是 O 的一条切线，切点为T，则 PT2=PAPB 证明：连接AT, BT PTB= PAT(弦切角定理 ) APT= APT( 公共角 ) PBT PTA( 两角对应相等 ,两三角形相似) 则 PB ：PT=PT ： AP 即： PT 2 =PB PA