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1、中考数学几何模型6：弦图模型名师点睛 拨开云雾 开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AEBF于点E，BFCG于点F，CGDH于点G，DHAE于点H，则有结论：ABEBCFCDGDAH.注意局部弦图（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：AHEBEFCFGDGH.包含“一线三垂直”典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在ABC中，ABC=90，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求AEG的面积.
2、变式练习1如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.例题2. 如图，以RtABC的斜边BC在ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=，求AC的长.变式练习2如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是_.例题3. 如图，在ABC中，BAC=45，D为ABC外一点，满足CBD=90，BC=BD，若，求AC的长.变式练习3点P是正方形ABCD外一点，PB=10c
3、m，APB的面积是60cm2，CPB的面积是30cm2求正方形ABCD的面积.例题4. 在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.变式练习4如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，AOBOBA45，则k的值为1+【解答】解：在AOM和BAN中，AOMBAN（AAS），AMBN，OMAN，OD+，BD，B（+，），双曲线y（x0）同时经过点A和B，（+）（）k，整理得：k22k40，解得：k1（负值舍去），k1+；故答案为：1+例题5
4、. 如图，在等腰RtACB和等腰RtDCE中，AXB=DCE=90，连接AD，BE，点I在AD上，（1） 若ICBE，求证：I为AD中点；（2） 若I为AD中点，求证：ICBE例题6. 在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，其与x轴交于点A,与y轴交于点B，在直线l移动的过程中，直线y=4上是否存在点P，使得PAB是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标，如不存在，请说明理由.达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S310，则S
5、2的值是【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S310，得出S18y+x，S24y+x，S3x，S1+S2+S33x+12y10，故3x+12y10，x+4y，所以S2x+4y，故答案为：2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N
6、，且MN经过点O，若MH3ME，BD2MN4则APD的面积为5【解答】解：如图，连接FH，作EKMN，OLDG四边形ABCD是正方形，且BD2MN4MN2，AB2四边形EFGH是正方形FOHO，EHFGHMOFNO，MHONFO，且FOHOMHOFNO（AAS），MHFNMH3ME，MHFN3EM，EHEF4EMEKKN，EHFG，四边形EMNK是平行四边形MNEK2，KNEM，FK2EMEF2+FK2EK2，16EM2+4EM220，EM1，EH4，AD2（AE+4）2+DH2，且AEDHDHAE2，AH6PHOL，PH1，AP5，SAPD525故答案为 53如图，在ABC中，ACB90，分
7、别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG（正方形的各边都相等，各角均为90）（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；（2）若BC3，AB5，则AEG面积等于6【解答】解：（1）如图，EABGAC90，EACBAG，在EAC和BAG中，EACBAG（SAS），CEBG，AECABG，AEC+APE90，APEBPC，BPC+ABG90，CEBG；（2）延长GA，过E作EQAQ，EABGAC90，EAG+BAC180，EAG+EAQ180，EAQBAC，EQAEsinEAQABBC3，BC3，AB5，AC4，AEG面积AGEQ4364【问题解决】一节数学课上，老师
8、提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA1，PB2，PC3你能求出APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA3，PB1，PC，求APB的度数【解答】解：（1）思路一、如图1，将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，ABPCBP，PBP90，BPBP2，APCP3，在RtPBP中，BPBP2，BPP4
9、5，根据勾股定理得，PPBP2，AP1，AP2+PP21+89，AP2329，AP2+PP2AP2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPP+BPP90+45135；（2）如图2，将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，ABPCBP，PBP90，BPBP1，APCP，在RtPBP中，BPBP1，BPP45，根据勾股定理得，PPBP，AP3，AP2+PP29+211，AP2（）211，AP2+PP2AP2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPPBPP9045455如图，已知ABC90，D是直线AB上一点，ADBC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AFBD，连接DC、
10、DF、CF求证：AF+ABBC判断FD与DC的关系并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CEBD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由【解答】（1）证明：ADBC，ADAB+BD，AFBD，AF+ABBCAFAB，FAD90，又DBC90，FADDBC，AFBD，ADBC，FADDBC（SAS），FDCD，ADFBCD，BDC+ADFBDC+BCD90，即DFDC；（2）解：作AFAB于A，使AFBD，连结DF，CF，如图，AFAD，ABC90，FADDBC，在FAD与DBC中，FADDBC（SAS），FDDC，CDF是等腰三角
11、形，FADDBC，FDADCB，BDC+DCB90，BDC+FDA90，CDF是等腰直角三角形，FCD45，AFCE，且AFCE，四边形AFCE是平行四边形，AECF，APDFCD456【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为；（直接写出结果）【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，ABC90，ABAD6
12、，BCCD3，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值【解答】解：（1）过点A作APEF，交CD于P，过点B作BQGH，交AD于Q，如图1，四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，APEF，GHBQ又GHEF，APBQ，QAT+AQT90四边形ABCD是矩形，DABD90，DAP+DPA90，AQTDPAPDAQAB，；（2）如图2，EFGH，AMBN，由（1）中的结论可得，；，故答案为；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形ABC90，平行四边形ABSR是矩形，
13、RS90，RSAB6，ARBSAMDN，由（1）中的结论可得 设SCx，DSy，则ARBS3+x，RD6y，在RtCSD中，x2+y29，在RtARD中，（3+x）2+（6y）236，由得x2y3，解方程组 ，得（舍去），或 ，AR3+x，7如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，EPl于P求证：2EP+AD2CD【解答】证明：作AHBC于H，延长EP交AH于G，l是AD的垂直平分线，AMMDAD，lAH，又四边形ABCD是直角梯形，四边形AHCD是矩形，AHCD，PEl，EGAH，四边形AGPM是矩形，GPAMAD，A
14、HBAGE90，1+290，在正方形ABFE中，ABAE，BAE90，2+390，13，在ABH和EAG中，ABHEAG（AAS），AHEG，CDGP+PEAD+PE，即2CDAD+2PE8提出问题：如图1，在ABC中，ACB90，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG（1）探索CE与BG的关系；（2）探究ABC与AEG面积是否仍然相等？说明理由（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知CDG是直角三角形，CGD90，DG3m，CG4m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的
15、面积为74m2【解答】解（1）CEBG，CEBG；理由：EABGAC90，EACBAG，在EAC和BAG中，EACBAG（SAS），CEBG，AECABG，AEC+APE90，APEBPC，BPC+ABG90，CEBG；即：CEBG，CEBG；（2）如图1，过点E作EHAG交GA延长线于H；EHA90BCA，EAH+BAH90，BAC+BAH90，EAHBAC，在EHA和BCA中，EHABCA，EHBC，ACAGSABCACBCACEH，SAGEAGEHACEH，SABCSAGE，（3）在RtCDG中，DG3m，CG4m，CD5m，四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形CGGH4，DGF
16、G3，同（2）的方法得出SBCISCDG，SADESCDGS六边形花圃ABIHFES正方形ABCD+SBCI+S正方形CIHG+SFGH+S正方形DEFG+SADE+SSDGS正方形ABCD+SCDG+S正方形CIHG+SFGH+S正方形DEFG+SCDG+SCDGS正方形ABCD+S正方形CIHG+SFGH+S正方形DEFG+3SCDGCD2+CG2+GHFG+DG2+3CGDG52+42+43+32+4325+16+6+9+1874（m2）故答案为74m29已知：l1l2l3l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1d31，d22我们把四个顶点分
17、别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽2：1，求矩形ABCD的宽（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G将AEG绕点A顺时针旋转30得到AED（如图2），点D在直线l3上，以AD为边在ED左侧作菱形ABCD，使B，C分别在直线l2，l4上，求菱形ABCD的边长【解答】解：（1）l1l2l3l4，AED90DGC90，四边形ABCD为正方形ADC90，ADCD，ADE+290，1+290，1ADE，l3l4，1
18、DCG，ADEDCG，在AED与DGC中，AEDGDC（AAS），AEGD1，EDGC3，AD，故答案为：；（2）如图2过点B作BEL1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE1，BF3，四边形ABCD是矩形，ABC90，ABE+FBC90，ABE+EAB90，FBCEAB，当ABBC时，ABBC，AEBF，AB；如图3当ABBC时，同理可得：BC，矩形的宽为：，；（3）如图4过点E作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，OAE30，则EFN60AEAE1，故EO，EN，ED，由勾股定理可知菱形的边长为：10四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作
19、正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE1；求点F到AD的距离；求BF的长；（3）若BF3，请直接写出此时AE的长【解答】解：（1）作FHAB于H，如图1所示：则FHE90，四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，ADCD4，EFCE，ADCDAHBADCEF90，FEHCED，在EFH和CED中，EFHCED（AAS），FHCD4，AHAD4，BHAB+AH8，BF4；（2）过F作FHAD交AD的延长线于点H，作FMAB于M，如图2所示：则FMAH，AMFH，AD4，AE1，DE3，同
20、（1）得：EFHCED（AAS），FHDE3，EHCD4，即点F到AD的距离为3；BMAB+AM4+37，FMAE+EH5，BF；（3）分三种情况：当点E在边AD的左侧时，过F作FHAD交AD于点H，交BC延长线于K如图3所示：同（1）得：EFHCED，FHDEAE+4，EHCD4，FK8+AE，在RtBFK中，BKAHEHAE4AE，由勾股定理得：（4AE）2+（8+AE）2（3）2，解得：AE1或AE5（舍去），AE1；当点E在边AD的右侧时，过F作FHAD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：同理得：AE2+或2（舍去）当点E在AD上时，可得：（8AE）2+（4+AE）290，解得AE5或1，54不符合题意综上所述：AE的长为1或2+