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1、2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题17数字及图形的规律型问题【方法指导】数字和图形的变化规律每年中考都会考查到，考到的知识点比较多，主要有以下几种类型：（1） 数字的变化规律，主要是数字的末尾数字变化规律、高中数学知识的等差数列、等边数列、数列的递推公式和求和公式等.（2） 数与式的变化规律类，常结合高中的数学知识有：一元二次不等式、分式不等式的解法、不等式的基本性质、二项式定理的展开、指数和幂数函数、裂项法等.（3） 图形的变化规律型，主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合（4） 数形结合类，常涉及到函数中
2、点的变化，首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系【题型剖析】【类型1】数字的变化规律【例1】（2019宿迁模拟）若2019个数、满足下列条件：，则ABCD【分析】通过前面几个数的计算，根据数的变化可得出从第3个数开始，按，依次循环，按此规律即可得出的值【解答】解：依题意，得：，由上可知，这2019个数、从第三个数开始按，依次循环，故这2019个数中有1个2，1个，1009个，1008个，故选：【变式1-1】（2019常州二模）观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的那么这一组数的第100个数是【分析】根据题目中数字的特点，可
3、以求得第100个数，本题得以解决【解答】解：一组数：，这组数的第个数为：，当时，这个数是，故答案为：【变式1-2】（2019高邮市一模）对于每个正整数，设表示的个位数字如：当时，（2）表示2的个位数字，即（2）；当时，（4）表示的个位数字，即（4）；当时，（8）表示的个位数字，即（8）则（2）（4）（6）的值为 【分析】依次列出（2），（4），（6），（8），会发现分别以2，4，6，8，0结尾的偶数，在求和后的个位分别是2，6，2，0，0，并且以后都是这个规律循环，因此只要判断（2）（4）（6）有多少组，余数是多少，即可求解本题【解答】解：（2），（4），（6），（8），从10以后，每5组就是
4、一组循环，（2）（4）（6）（8），又（2）（4）（6）有202组余下，根据规律可得，（2）（4）（6）故答案为2022【类型2】图形的变化规律【例2】（2019徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则的值为【分析】首先根据图形中“”的个数得出数字变化规律，进而求出即可【解答】解：，；，故答案为：，【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题【变式2-1】（2018徐州一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，按照这样的规律摆下去，则第个图
5、形有颗黑色棋子（用含的代数式表示）【分析】由图形可知：第1个图形的黑色棋子的颗数为，第2个图形的黑色棋子的颗数为，第3个图形的黑色棋子的颗数为，由此得出第个图形的黑色棋子的颗数为【解答】解：第1个图形的黑色棋子的颗数为，第2个图形的黑色棋子的颗数为，第3个图形的黑色棋子的颗数，第个图形的黑色棋子的颗数为故答案为【变式5-2】（2018泉山区校级二模）将一些相同的圆点按如图所示的规律摆放：第1个图形有3个圆点，第2个图形有7个圆点，第3个图形有13个圆点，第4个图形有21个圆点，第个图有个圆点【分析】观察图形可知，每个图形中圆点的个数为序号数的平方加上序号数，依此可求第个图有多少个圆点【解答】解
6、：由图形可知，第1个图形有个圆点，第2个图形有个圆点，第3个图形有个圆点，第4个图形有个圆点，则第个图有个圆点故答案为：【类型3】点的坐标变化规律【例3】（2019金湖县二模）如图，点的坐标为，在轴的正半轴上，且，过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点；按此规律进行下去，则点的横坐标为【分析】先求出、坐标，探究规律，序号除以4被整除的在轴的负半轴上，余数是1在轴的正半轴上，余数是2在轴的正半轴上，余数是3在轴的负半轴上，即可得出结果【解答】解：，序号除以4被整除的在轴的负半轴上，余数是1在轴的正半轴上，余数是2在轴的正半轴上，余数
7、是3在轴的负半轴上，余数是3，在轴的负半轴上，横坐标为，故答案为：【变式3-1】（2019洪泽区一模）如图，点的坐标为，在轴的正半轴上，且，过点作垂足为，交轴于点过点作，垂足为，交轴于点，过点作，垂足为交轴于点：过点作，垂足为，交轴于点按此规律进行下去，则点的横坐标为【分析】通过解直角三角形可得出点的坐标，同理可得出点，的坐标，根据坐标的变化可得出变化规律“点的坐标为，为正整数）”，再结合即可得出点的坐标，此题得解【解答】解：，点的坐标为，同理，点的坐标为，为正整数），点的坐标为，故答案为：【变式3-2】（2018钦州模拟）如图，在平面直角坐标系中：，现把一条长为2018个单位长度且没有弹性的
8、细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【分析】先求出四边形的周长为10，得到的余数为8，由此即可解决问题【解答】解：，四边形的周长为10，的余数为8，又，细线另一端所在位置的点在处上面1个单位的位置，坐标为故答案为：【变式3-3】（2019春江都区期末）如图，线段是直线的一部分，其中点在轴上，点横坐标为2，曲线是双曲线的一部分，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线，点与均在该波浪线上，为轴上一动点，则周长的最小值为【分析】由点在直线上，点横坐标为2，可求纵坐标，确定点的坐标，进而求出反比例函数的关系式，再确定点的坐标，由点
9、开始不断重复“”的过程，可以推断点与具体所在的位置，再依据对称，求线段的和最小的方法求出答案【解答】解：当时，在双曲线上，把代入得：，点落在第336个“”的处，而点落在第337个“”的处，示意如图：因此可以推算出：，周长的最小，定值，只要最小即可，由对称可得到点的位置，此时，周长的最小值为故答案为：【变式3-4】（2017句容市二模）如图，曲线是顶点为，与轴交于点的抛物线的一部分，曲线是双曲线的一部分，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线点与均在该波浪线上，【分析】根据题意可以求得点、点、点的坐标和的值，然后根据图象可知每6个单位长度为一个循环，从而可以求得和的值，进而求得的值【解答】解
10、：，当时，点的坐标为，点的坐标为，点在的图象上，点在的图象上，点的横坐标为6，点的纵坐标是2，点的坐标为，在抛物线的图象上，点在反比例函数上，故答案为：15【类型4】几何变化规律【例4】（2018淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于点，以为边作正方形；过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，以为边作正方形，按此规律操作下所得到的正方形的面积是【分析】根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形的面积、正方形的面积，总结规律解答【解答】解：直线为正比例函数的图象，正方形的面积，由勾股定理得，正方形的
11、面积，同理，正方形的面积，由规律可知，正方形的面积，故答案为：【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到，正确找出规律是解题的关键【变式4-1】（2019秋鼓楼区校级期中）如图，若，则等于_【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算【解答】解：，故答案为：100【变式4-2】（2019秋淮阴区期中）如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2020个等腰直角三角形的面积为【分析】分别写出几个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第2016个等腰三角形的直角
12、边的长，从而求得直角三角形的面积即可【解答】解：第个直角三角形的边长为，第个直角三角形的边长为，第个直角三角形的边长为，第个直角三角形的边长为，第2020个直角三角形的边长为，面积为：故答案为：【变式4-3】（2019春槐荫区期末）如图1，边长为的正方形发生形变后成为边长为的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为，我们把的值叫做这个菱形的“形变度”例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，、是格点）同时形变为，若这个菱形的“形变度” ，则【分析】求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积
13、，两面积之比菱形的“形变度”，求的面积，根据两面积之比菱形的“形变度”，即可解答【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：，形变后的菱形的面积为：，菱形形变前的面积与形变后的面积之比：，这个菱形的“形变度”为菱形形变前的面积与形变后的面积之比这个菱形的“形变度”，若这个菱形的“形变度” ，即，故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键【达标检测】1已知有理数a1，我们把11-a称为a的差倒数，如：2的差倒数是11-2=-1，1的差倒数是11-(-1)=12，如果a12，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒
14、数，a4是a3的差倒数，依此类推，那么a2020的值是（）A2B13C23D32【解析】解：a12，a2=11-(-2)=13，a3=11-13=32，a4=11-32=-2，这个数列以2，13，32依次循环，202036731，a2020的值是2故选：A2将正偶数按图排成5列：根据上面的排列规律，则2008应在（）A第250行，第1列B第250行，第5列C第251行，第1列D第251行，第5列【解析】解：所在数列是从2开始的偶数数列，200821004，即2008是第1004个数，10044251，第1004个数是第251行的第4个数，观察发现，奇数行是从第2列开始到第5列结束，2008应在
15、第251行，第5列故选：D3已知a是一个正整数，记G（x）ax+|xa|若G（1）+G（2）+G（3）+G（2019）90，则a的值为（）A8B9C10D11【解析】解：当xa时，G（x）0，当xa时，G（x）ax+|xa|2（ax），当a9时，x9时，G（x）0，当x9时，G（x）ax+|xa|2（ax）2（9x），G（1）+G（2）+G（3）+G（2019）G（1）+G（2）+G（3）+G（9）2（91）+2（92）+2（93）+2（98）2（8+7+6+1）72，不符合题意；当a10时，x10时，G（x）0，当x10时，G（x）ax+|xa|2（ax）2（10x），G（1）+G（2）+G
16、（3）+G（2019）G（1）+G（2）+G（3）+G（10）2（101）+2（102）+2（103）+2（109）2（9+8+7+6+1）90，a10，故选：C4如图1所示的是中国南宋数学家杨辉在详解九章算法中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中一组斜数列用字母a1、a2、a3代替，如图2，则a199+a200的值为（）A39204B40000C48400D52000【解析】解：由题意可得，a11，a21+23，a33+36，a46+410，则anan1+n，故a199+a2002a199+2002（a199+199）+2002a1+22+2
17、3+24+2199+20021+2（2+3+4+199）+2002+2199(1+199)2-1+2002+2199200-22+2002+39798+20040000，故选：B5观察下列两组算式：（1）212，224，238，2416，2532，2664，27128，28256，（2）84（23）4234212由（1）、（2）两组算式所揭示的规律，可知：82019的个位数字是（）A2B4C8D6【解析】解：由（1）、（2）两组算式所揭示的规律，可知8n的个位数字依次为8，4，2，6，循环出现，201945043，82019的个位数字是2，故选：A6如图，一个粒子在x轴上及第一象限内运动，第1
18、次从（0，0）运动到（1，0），第2次从（1，0）运动到（2，0），第3次从（2，0）运动到（1，1），它接着按图中箭头所示的方向运动则第2019次时运动到达的点为（）A（59，6）B（59，5）C（62，3）D（62，2）【解析】解：由图形可知：每条斜线上有点的个数与这条线段在x轴的交点的数一样，如图，例如：线段AB上有两个点，线段CD上有5个点，且发现x轴上奇数的点箭头方向向右，偶数的点箭头方向向左上线段上，设x轴上的点（n，0），1+2+3+4+n=n(n+1)2，当n63时，63642=2016，当n64时，64652=2080，201620192080，第2016次时运动到达的点是（
19、63，0），则第2019次时运动到达的点为（62，2），故选：D7.下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）A160 B161 C162 D163【分析】由图可以看出：第一个图形中由角上的3个三角形加上中间1个小三角形再加上外围1个大三角形共有5个正三角形；下一个图形的三个角上的部分是上一个图形的全部，另外加上中间一个小的三角形和外围的一个大三角形，所以第二个图形中有53+1+1=17个正三角形，第三个图形中有173+1+1=53个正三角形，第四个图形中有533+1+1=161个正三角形解析第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为53+2=1
20、7，第三个图形正三角形的个数为173+2=53，第四个图形正三角形的个数为533+2=161，故答案为：1618. 如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A25B33C34D50【答案】B【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+
21、3（n1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可【解析】第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；第n次操作后，三角形共有4+3（n1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选B考点：规律型：图形的变化类；操作型9. 如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，若A=70，则An的度数为（）ABCD【答案】C【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出B1A2A1，B2A3A2及B3A4A3的度数，找出规律即可得出An1AnBn1的度数【解析
22、】在ABA1中，A=70，AB=A1B，BA1A=70，A1A2=A1B1，BA1A是A1A2B1的外角，B1A2A1=BA1A =35；同理可得，B2A3A2=17.5，B3A4A3=17.5=，An1AnBn1=故选C考点：等腰三角形的性质；规律型10. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S9的值为（）ABCD【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=”，依此规律即可得出结论考点：勾股
23、定理；规律型11为了求出1+3+32+33+34+3100的值，可令A1+3+32+33+34+3100，则3A3+32+33+34+35+31011，因此3AA31011，所以仿照以上推理方法，求出1+6+62+63+64+62019的值是【解析】解：设S1+6+62+63+64+62019，则6S6+62+63+64+62020，6SS620201，5S620201，S=62020-15，即1+6+62+63+64+62019=62020-15，故答案为：62020-1512若按一定规律排列的数据如下：23x，-58x2，1015x3，-1724x4，2635x5，则第n个数可用代数式表示
24、为 （n为正整数）【解析】解：一列数为：23x，-58x2，1015x3，-1724x4，2635x5，第n个数可以表示为：（1）n+1n2+1(n+1)2-1xn，故答案为：（1）n+1n2+1(n+1)2-1xn13a是不为1的数，我们把11-a称为a的差倒数，如：2的差倒数为11-2=-1；1的差倒数是11-(-1)=12；已知a1=-14，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数a4是a3的差倒数，依此类推，则a2019【解析】解：由题意可得，a1=-14，a2=11-(-14)=45，a3=11-45=5，a4=11-5=-14，20193673，a20195，故答案为：514已知整数
25、a1，a2，a3，a4，满足下列条件：a10，a2|a1+1|，a3|a2+2|，a4|a3+3|，依此类推，则a2020的值为 【解析】解：当a10时，a2|a1+1|1，a3|a2+2|1，a4|a3+3|2，a5|a4+4|2，a6|a5+5|3，a2n|a2n1+2n|n，则a2020的值为1010，故答案为：101015如图，一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，第一秒它从原点跳动到点（0，1），第二秒它从点（0，1）跳到点（1，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动即（0，0）（0，1）（1，1）（1，0），每秒跳动一个单位长度，那么30秒后跳蚤所在位置的坐标是【解析】解：跳蚤跳到（
26、1，1）位置用时122秒，下一步向下跳动；跳到（2，2）位置用时236秒，下一步向左跳动；跳到（3，3）位置用时3412秒，下一步向下跳动；跳到（4，4）位置用时4520秒，下一步向左跳动；由以上规律可知，跳蚤跳到（n，n）位置用时n（n+1）秒，当n为奇数时，下一步向下跳动；当n为偶数时，下一步向左跳动；第5630秒时跳蚤位于（5，5）位置，故答案为：（5，5）16如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右向上向右向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2小第三次移到点A3，第n次移到点An，则点A2019的坐标是 【解析】解：A
27、1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，1），A2019的坐标为（2019+12，1），即点A2019的坐标为（1010，1），故答案为：（1010，1）17. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（n=1，2，3，4）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 【答案】4032【分析】首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题【解析】展开式中含项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即20162=4032故答案为：4032考点：整式的混合运算；阅读型；规律型18. 如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为 【答案】370【分析】首先观察规律，求得n与m的值，再由右下角数字第n个的规律：2n（2n1）n，求得答案【解析】左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，2n=20，m=2n1，解得：n=10，m=19，右下角数字：第一个：1=121，第二个：10=342，第三个：27=563，第n个：2n（2n1）n，x=192010=370故答案为：370考点：规律型：数字的变化类