小学数学工程问题及答案.pdf

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1、工程问题 工程问题基本数量关系式： （1）一般公式： 工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效 率工作时间 工作总量 工作时间工作效率 （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；一般 给出工作时间，就可以知道工作效率为, 1单位时间能完成的几分之几=工作时间。如果可以给出 工作效率是，就可以知道工作时间为a. 一、两个人的问题 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3 天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ . 例2 一件工作，甲、

2、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离 开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需 要多少天？ . 例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、 乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完 成，那么乙还需要做多少天？ . 例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队 合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休 息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们 两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完

3、成共 用了16天.问乙队休息了多少天？ 例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要 15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工 作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ . 例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他 要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多 少天？ 例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快 如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 二、多人的工程问题 我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一 些，但是解题的基本思路还是差不

4、多. 例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成， 甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工 作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件 工作.问总共用了多少天？ 例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天， 乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要 多少天？ 例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问 甲组2人和乙组7人合

5、作多少时间能完成这项工作？ 例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做 只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个 车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间 制作了多少个零件？ . 例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15 小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬 完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 3、 水管问题 从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水 或排水相当于一项工程，注水量或排水

6、量就是工作量.单位时间里的 注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过 是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本 相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管， 10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分 钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水 管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时 间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预 定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？ 例17 蓄水池有

7、甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池 水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管 需要 4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、 乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始 溢出水池？ 例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时 半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现 在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打 开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如 果打开A，B两管，4小时可将

8、水排空.问打开B，C两管，要几小时才能 将满池水排空？ . 例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一 草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完 第三片牧场的草？ “牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们 只再举一个例子. 例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起， 每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排 队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是 8点几分？ 例22.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙 则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合

9、作二天后，剩下的乙单 独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时 间？ 例1答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2 份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 3） 3= 4（天）. 解三：甲与乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6- 2=4（天） 例2解：共做了6天后， 原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作 效率 如果乙独做，所需时间

10、是 如果甲独做，所需时间是 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天 例3解：先对比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此 得出甲的 甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做 因此，乙还要做 28+28= 56 （天）. 答：乙还需要做 56天 例4解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天. 解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲 队

11、单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 （30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）. 解三：甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当 于乙队要做23=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6- 2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 例5解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半. 解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作

12、量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是 （20- 3 3） 2= 5.5（天）. 解三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天 工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）. 例6解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高. 因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份， 李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由 张、李合作需要 （60-48）（4+3）=4（天）. 8

13、+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天解：设这项工程的工作量为 30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因 为要在8天内完成，所以两人合作的天数是 （30-38）（4.2-3）=5（天）. 很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题. 解：乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理

14、.但是，“整数化”并不能 使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙 每 有一点方便，但好处不大.不必多此一举. 解：设这件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要90天完成. 例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份， 乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是 否会方便些？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6（天）. 说明甲做了2天，乙做了23=6（天），丙做26=12(天），三人一 共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成这项工作用了20天

15、. 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出 的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙 每天完成3.总共用了 解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效 率的42=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天， 相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26天. 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就 知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人 完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成. 解一：

16、设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作. 解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完 成，因此7人4天能完成. 现在已不需顾及人数，问题转化为： 甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？ 小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典 型，如果你心算较好，很快就能得出答数. 解一：仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 答：丙车间制作了4200个零件. 解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每 天完成

17、3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起，8天完成.乙完成82=16（份），丙完成30- 16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是1614=87. 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128. 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 2400（12- 8） 7= 4200（个） 解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作 量2，所需时间是 答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时. 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算 当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60

18、.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4. 三人共同搬完，需要 60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时）. 甲需丙帮助搬运 （60- 6 8） 4= 3（小时）. 乙需丙帮助搬运 （60- 5 8）4= 5（小时）. 解：甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9 3）10=1/15 乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容积是：0.6（1/15-2/45）=27（立方米） 答：水池容积是27立方米. 分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1- 1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前 一段时间注水量的4倍。 设水池

19、容量是1，前后两段时间的注水量之比 为：1：4， 那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5。 10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是 1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是1/101/3=1/30 要注满水池的1/5，需要水管1/51/30=6（根） 解：前后两段时间的注水量之比为：1：（1-1/3）1/32=1：4 前段时间注水量是：1（1+4）=1/5 每根水管在预定1/3的时间注水量为：1101/3=1/30 开始时打开水管根数：1/51/30=6（根） 答：开始时打开6根水管。 分析： ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 以

20、后（20小时），池中的水已有 此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙， 它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这 只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再 爬1小时，往上爬了3尺已到达井口. 因此，答案是28小时，而不是30小时. 解：先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 4 60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 8 90，

21、其中 90分钟内流入水量是 4 90，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水813，除去每分钟流入4，其余 将放出原存的水，放空原存的5400，需要 5400 （8 13- 4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考 虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 解：设满水池的水量为1. A管每小时排出 A管4小时排出 因此，B，C两管齐开，每小时排水量是 B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 答： B， C两管齐开要 4 小时

22、 48分才将满池水排完. 本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具 体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别 设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为 8与12的最小公倍数 24. 解：吃草总量=一头牛每星期吃草量牛头数星期数.根据这一计算公 式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 原有草+4星期新长的草=124. 原有草+9星期新长的草=79. 由此可得出，每星期新长的草是 （79-124）（9-4）=3. 那么原有草是 79-39=36（或者124-34）. 对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是

23、 这些草能让 907.218=36（头） 牛吃18个星期. 答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草. 例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来， 把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个 条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长 的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件. 好好想一想，你能明白其中的道理吗？ 解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位. 从9点至9点9分进入观众是39， 从9点至9点5分进入观众是55. 因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众

24、是 （39-55）（9-5）=0.5. 9点前来的观众是 55-0.55=22.5. 这些观众来到需要 22.50.5=45（分钟）. 答：第一个观众到达时间是8点15分. 挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接 着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？ 分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 2(3/10-1/6) =24/30 =15(天) 1(1/6-1/15)=10(天) 答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 . 解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天, 乙一共做了X天) 1/(X-2)2 + X/(X+3)=1 X=12 规定要12天完成 11/(12-2)+1/(12+3) =1(1/6) =6天 答:两人合作完成要6天. 例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做 28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（1-42/84）（1/112）=56（天）