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1、11自然推理命题自然推理的基本规则归谬规则 什么是自然推理 自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。因此，自然推理不是一种能行方法。 自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然
2、推理。本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。 命题自然推理的基本规则 命题白然推理包括三条基本规则： 规则P 在一个推导的任意步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。 规则T 在一个推导中如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A，则可以在该推导中引人A。 规则D 在一个推导中，如果从一前提集和A能推出B，则从该前提集能推出AB。 所谓A重言地蕴涵B，就是指AB是重言式；自然，所谓的合取重言地蕴涵B，就是指B是重言式。在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T的运用，同样以这些常用重言式为基础。 不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即
3、从真前提不会推出假结论。 下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。 例1 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。如果人民遭受损失，改革就会失去人心(u)。国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。因此，物价不会提高。 构造上述推理的自然推理如下：(1) P(2) P(3) P(4) P(5) T(4)(6) T(4)(7) T(3)（6）(8) T(5)（7）(9) T（8）(10) T（2）（9）(11) T（1）（10）(12) T（11）(13) T（12） 最后一行即为顶期的结论。因此，推
4、理有效。 从以上推导可以看到，一个自然推理的推导格式包括四列数字或符号。第一列数字表示推导的步骤。第二列数字表示前提的编号，它用以说明右边的真值形式是哪一个前提，或是依赖于哪些前提所推出的结论。例如，第一行的“”说明是一个前提；第八行的“”说明是依赖于前提3和前提4所推出的结论；第十三行的“”说明q是依赖于前提1、2、3和4所推出的结论，事实上这也是整个推理的结论。第三列的符号是真值形式，它表示从前提到结论的整个推导过程。第四列的符号和数字说明每一行的推导所依据的规则。例如，第四行的“P”说明，在推导的第四步中，的引入依据的是规则P，因此，是个前提；第五行的“T(4)”说明，是把规则了运用于(
5、4)所得出的推论，因此，是个推论。同样，第十一行的“T(1)(10)”说明是把规则T运用于(1)和(10)所得到的推论。 有时需要推出的结论是个蕴涵式，不妨记为“AB”。这时就需要运用规则D。方法是：将A作为一个新前提引入，如果A和原前提集一起能推出B，那么，根据规则D，从原前提集就能推出“AB”。 例2 如果法官是公正严明的p，那么，就应当宣判张大使有罪(q)，除非现有的证据尚不充分(r)。而一个公正严明的法官是不会不认定现有证据的充分性的，除非这些证据中有假(s)。事实上所有证据都是真实的。因此，如果法官是公正严明的，就应当宣判张大使有罪。(1) P(2) P(3) P(4) P(5) T
6、（2）(4)(6) T(3)（5）(7) T(1)（4）(8) T(6)（7）(9) D（4）（8）推理有效。在这个推导中，前提1、2和3是原推理的前提，前提4是为运用规则D而附加引入的前提，它不能作为整个推理最终结论所依赖的前提。第八行所导出的q依赖的是前提14，而第九行依赖的是前提1一3，前提4的依赖性在运用规则D时被销去了。为什么可以销去呢?因为根据规则D，如果从前提13和附加前提4(即p)能推出q，那么，从前提13就能推出。因此，q是从前提1一4推出的，而是从前提13推出的。规则D的运用可以在推导中销去所依赖的前提，这是它的一个特点。 归谬规则 归谬法是一种常用的逻辑方法。相应地，在命
7、题自然推理中，有一个导出规则：归谬规则。 归谬规则 如果从前提集和A的否定可以推出矛盾，则从该前提集可以推出A。 归谬规则之所以称为导出规则，因为它可以用基本规则加以证明。 设为一前提集，并从和A推出了矛盾，不妨记为，依据规则D，从能推出A）。又因为（A）是重言式(归谬律)，所以依据规则T，从能推出A。 运用归谬规则的步骤是：第一，引人所要推出的结论的否定作为一个新前提。第二从该前提和原前提集一起设法推出矛盾。第三，如能推出矛盾，则预期的结论可从原前提集中推出。 例3 当代商城的本年度的模范职工，可享受15天的年底休假(p)，或者可获得董事会特别奖金(q)。如果(有)模范职工放弃享受15天年底
8、休假，则可获得董事会超常补贴(r)。但董事会又规定，特别奖金和超常补贴二者不可兼得。因此，事实上当代商城的模范职工不(允许)放弃享受15天年底休假。 解 p表示“享受15天年底休假”，则“放弃享受15天年底休假”表示为，“不放弃享受15天年底休假”表示为，等值于p。因此，该推理所要推出的结论是p。(1) P(2) P(3) P(4) P(5) T（1）(4)(6) T（2）(4)(7) T(3)(8) T(5)（7）(9) T（6）（8）(10) 归谬(4)(9)推理有效。 在以上的推导中，前三行是推理的原有前提。不难发现，难以运用规则T从这些前提推出新的结论。这正说明了运用归谬规则或规则D的
9、必要性。运用这两个规则的方略就在于引进新的前提作为推理的辅助性前提，并且在得出最终结论时销去辅助性前提。 在上面的推导中，前提4即p是附加引入的辅助性前提，它和原前提集一起推出了矛盾式。因此，依据归谬规则，该附加前提的否定即p是可以从原前提集推出的。 例4 张大侠参与作案(p)，只有在下述情况下才有可能：或者他受到胁迫(q)，或者他既不明真相(r)，又不愿意告发朋友(s)。而如果他不愿意告发朋友，说明他一定明白真相。因此，如果不是他受到胁迫，他就决不可能参与作案。解(1) P(2) P(3) P(4) P(5) T（1）(4)(6) T(3)（5）(7) T（6）(8) T（6）(9) T（2
10、）（8）(10) T（7）（9）(11) 归谬(4)(10) (12) D(3)(11) 推理有效。 该推理同时运用了规则P、T、D和归谬规则。第三行前提3即q是为运用规则D引入的。我们发现，引入结论的前件作为辅助前提对于推出后件仍有因难，因此有必要再运用归谬规则，于是第四行把后件的否定即p作为又一个辅助前提引入，于第十行推出了矛盾。第十一行依据归谬规则从前提1、2和3推出p，第十二行依据规则D从前提1和2推出，这正是预期的结论。 在以上的讨论中，我们涉及了三种类型的判定方法。第一种如真值表，这是能行方法。第二种如范式方法，它能判定任一真值形式是否为重言式，或矛盾式，或非重言的可真式，但由于判定程序不是惟一的，因此不是能行方法。第三种如命题自然推理。事实上，通过构造自然推理，只能判定命题推理的有效，却不能判定命题推理的无效。因此严格地说，这只是一种半判定方法，与前两种方法是不同的。