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1、习题三3-1 一汽车发动机的转速在内由均匀地增加到。(1) 求在这段时间内的初角速度和末角速度以及角加速度； (2) 求这段时间内转过的角度；(3) 发动机轴上装有一半径为的飞轮，求它的边缘上一点在第7.0s末的切向加速度和法向加速度。解 (1) 初角速度为 末角速度为 角加速度为(2) 转过的角度为 (3) 切向加速度为法向加速度题图3-23-2 如题图3-2所示，在边长为a的正方形的顶点上，分别有质量为m的4个质点，质点之间用轻质杆连接，求此系统绕下列转轴的转动惯量： (1) 通过其中一个质点A，并平行于对角线BD的转轴；(2) 通过质点A并垂直于质点所在平面的转轴。解 (1) B、D两位
2、置质点到轴的垂直距离为 C处质点到轴的垂直距离为(2) B、D两位置质点到此轴的垂直距离为a，C处质点到此轴的垂直距离仍为题图3-33-3 如题图3-3所示，一根均匀细铁丝，质量为m，长度为，在其中点O处弯成角，放在平面内，求铁丝对轴、轴、轴的转动惯量。解：（1）对x轴的转动惯量为：（2）对y轴的转动惯量为：（3）对z轴的转动惯量为：3-4 电风扇开启电源后经过达到额定转速，此时角速度为每秒，关闭电源后经过风扇停止转动，已知风扇转动惯量为，且摩擦力矩和电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩。解：由定轴转动定律得即题图3-53-5 一质量为的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如题图3
3、-5所示轴水平放置且垂直于轮轴面，其半径为，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放后，在时间内下降了一段距离试求整个轮轴的转动惯量(用表示) 解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得 解图3-5 b 由运动学关系有 由、式解得 又根据已知条件 所以 将式代入式得 题图3-63-6 一轴承光滑的定滑轮，质量为半径为一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为的物体，如题图3-6所示已知定滑轮的转动惯量为，其初角速度 ，方向垂直纸面向里求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；(2) 定滑轮的角速度变化到时，物体上升的高度；(3) 当物体回到
4、原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向。解：(1) 由牛顿第二定律和转动定律列方程 解得 方向垂直纸面向外(2) 由运动学方程得 当时 所以物体上升的高度 (3) 当物体回到原来位置时方向垂直纸面向外. 题图3-73-7 如题图3-7所示，质量为m的物体与绕在质量为M的定滑轮上的轻绳相连，设定滑轮质量，半径为R，转轴光滑，设，求：（1）下落速度与时间t的关系；（2）时，m下落的距离；（3）绳中的张力T。解：(1)设物体m与滑轮间的拉力大小为T，则 由式解得，并代入式得（2）设物体下落的距离为s，则（3）由（1）的式得题图3-83-8 如题图3-8所示，一个组合滑轮由两个匀质的圆盘固接而成，大盘
5、质量，半径，小盘质量，半径。两盘边缘上分别绕有细绳，细绳的下端各悬质量的物体，此物体由静止释放，求：两物体的加速度大小及方向。解：设物体的加速度大小分别为与滑轮的拉力分别为 把数据代入，解上述各式得 方向向上 方向向下题图3-93-9 如题图3-9所示，一倾角为30的光滑斜面固定在水平面上，其上装有一个定滑轮，若一根轻绳跨过它，两端分别与质量都为m的物体1和物体2相连。（1）若不考虑滑轮的质量，求物体1的加速度。（2）若滑轮半径为r，其转动惯量可用m和r表示为（k是已知常量），绳子与滑轮之间无相对滑动，再求物体1的加速度。解：设物体1、物体2与滑轮间的拉力分别为、它们对地的加速度为a。（1）若
6、不考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的拉力、相等，记为T。则对1、2两物体分别应用牛顿第二定律得 解上两式得方向竖直向下。（2）若考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的拉力、不相等。则对1、2两物体分别应用牛顿第二定律，和对滑轮应用刚体定轴转动定律得 解上述各式得方向竖直向下。3-10一飞轮直径为，质量为，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地绕中心轴加速，经 转速达，假定飞轮可看作实心圆柱体，求：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所做的功；（3）从拉动后时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。解：（1）角加速度为转过的角度为转过的圈数为
7、圈（2）由转动定律得力矩做的功为（3）角速度为边缘一点的线速度为边缘一点的法向加速度为边缘一点的切向加速度为3-11 物体质量为时刻位于，如一恒力作用在物体上，求3s后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化。解：（1）由动量定理可知，动量的增量为 （2）由角动量定理可知，角动量的增量为 而 把代入解得 把代入解得：3-12 水平面内有一静止的长为、质量为的细棒，可绕通过棒一末端的固定点在水平面内转动。今有一质量为、速率为的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射向棒的中点，子弹穿出时速率减为，当棒转动后，设棒上单位长度受到的阻力正比于该点的速率（其中比例系数为k）试求：（1）子弹穿出时，棒的
8、角速度为多少？（2）当棒以转动时，受到的阻力矩为多大？（3）棒从变为时，经历的时间为多少？解：（1）以子弹和棒组成的系统为研究对象。取子弹和棒碰撞中间的任一状态分析受力，子弹与棒之间的碰撞力、是内力。这一对相互作用力对同一转轴来说，其力矩之和为零。因此，可以认为棒和子弹组成的系统对转轴的合外力矩为零，则系统对转轴的角动量守恒。解上述两式得（2）设在离转轴距离为处取一微元，则该微元所受的阻力为 该微元所受的阻力对转轴的力矩为则细棒所受到的总阻力矩为（3）由刚体定轴转动定律得即上式可化为对上式两边分别积分得解上式积分得题图3-133-13 如题图3-13所示，在光滑水平面上有一木杆，其质量，长，可
9、绕通过其中心并与之垂直的轴转动。一质量为的子弹，以的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求杆的角速度。解 根据角动量守恒定律 杆的转动惯量代入解得题图3-143-14 如题图3-14所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度w0在无摩擦的水平面上，做半径为 的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球做半径为 2的圆周运动。试求：(1) 小球新的角速度；(2) 拉力所做的功。解 (1) 根据分析，小球在转动过程中，角动量守恒 解得 (2) 根据转动动能定理，拉力做的功等于小球转动动能的增量 题图3-153-15 如题图3-15所示，一长为、质量为M的匀质细棒，可绕
10、棒中点的水平轴在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，问你碰撞后小球的反弹速度及棒转动的角速度各为多少？解：取垂直纸面向里为角动量L正向，则系统初态角动量为，终态角动量为（棒）和（小球），由角动量守恒定律得 因为是弹性碰撞，系统机械能守恒，可得 又 联立式，解得题图3-163-16 一长为L、质量为m的匀质细棒，如题图3-16所示，可绕水平轴在竖直面内旋转，若轴光滑，今使棒从水平位置自由下摆（设转轴位于棒的一端时，棒的转动惯量）。求：（1）在水平位置和竖直位置棒的角加速度；（2）棒转过角时的角速度。解：（1）由刚体定轴转动定律得细
11、棒在水平位置的角加速度为细棒在竖直位置的角加速度为（2）细棒在转动的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得又解上述两式得题图3-173-17 弹簧、定滑轮和物体如题图3-17所示放置，弹簧劲度系数k为；物体的质量。滑轮和轻绳间无相对滑动，开始时用手托住物体，弹簧无伸长。求：（1）若不考虑滑轮的转动惯量，手移开后，弹簧伸长多少时，物体处于受力平衡状态及此时弹簧的弹性势能；（2）设定滑轮的转动惯量为，半径，手移开后，物体下落时，它的速度为多大？解：（1）若不考虑滑轮的转动惯量，设弹簧伸长了x距离时物体处于受力平衡状态，则此时弹簧的弹性势能为（2）若考虑滑轮的转动惯量，设物体下落的距离为h时，它的速度
12、为，滑轮的角速度为，则由机械能守恒定律得把数据代入上述两式得解上述两式得3-18一转动惯量为的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即(K为正的常数)，求圆盘的角速度从变为时所需的时间解：根据转动定律得 分离变量得 两边积分 解得 题图3-193-19 质量为的子弹，以速度水平射入放在光滑水平面上质量为、半径为R的圆盘边缘，并留在该处，的方向与射入处的半径垂直，圆盘盘心有一竖直的光滑固定轴，如题图3-19所示，试求子弹射入后圆盘的角速度。解：设子弹射入后圆盘的角速度为，则由角动量守恒定律得解上式得题图3-203-20一均质细杆，长，可绕通过一端的水平光滑轴O在铅垂面内自由转动，如题图3-20所示。开始时杆处于铅垂位置，今有一子弹沿水平方向以的速度射入细杆。设入射点离O点的距离为 ，子弹的质量为杆质量的，试求：（1）子弹和杆开始共同运动的角速度。（2）子弹和杆共同摆动能达到的最大角度。解（1）子弹打进杆的过程中，子弹和细杆组成的系统角动量守恒，设子弹射入前的角速度为，子弹和细杆一起共同运动的角速度为，则由角动量守恒定律得 又 把式代入式并解得 （2）设子弹和细杆共同摆动能达到最大角度为角，在摆动的过程中子弹和细杆及地球组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得 把式及，L=1代入式解得即