《学生数学构造思维研究论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学生数学构造思维研究论文.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页 学生数学构造思维研究论文 特征码 gvWfgFweYLdrSSpUtxeu * 什么是构造法又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想 经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使 问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式 可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基 础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，及基本的 方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。 在解题过程中，若按习惯定势 思维去探求解题途径比较困难时， 可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范 围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手
2、段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通 过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的 解题途径，达到思想的创新。 1 、构造函数 函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函 数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题， 同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开 第 2 页 拓性和创造性。 例 1、 已知 a， b， mR+，且 a b 求证： （高中 代数第二册 P91） 分析：由 知，若用 代替 m 呢？可以得到 是关于 的分式， 若我们令 是一个函数，且 R+联想到这时，我们可以构造函 数 而又可以化为 而我们又知道 在0， 内是增
3、函数，从而 便可求解。 证明：构造函数 在0， 内是增函数， 即得 。有些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点， 巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明。解 题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使注意到 某一点上，把自己的解题思路搁浅了。启发学生思维多变，从 而达到培养学生发散思维。 例 2、设 是正数，证明对任意的自然数 n，下面不等式成立。 分析：要想证明 只须证明 0 即证 0 也是 0 对一切实数 x 都成立，我们发现是不是和熟悉的判别式相 同吗？于是我们可以构造这样的二次函数来解题是不是更有创 造性。 解：令 第 3 页 只须判别式0，= 0 即得 这样
4、以地于解决问题是很简捷的 证明通过这样的知识转移，使 学生的思维不停留在原来的知识表面上，加深学生对知识的理 解，掌握知识更为牢固和知识的运用能力。有利于培养学生的 创新意识。 2、构造方程 有些数学题，经过观察可以构造 一个方程，从而得到巧妙 简捷的解答。 例 3、 若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0 求证：X ，Y，Z 成等差数列。 分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻。但我们细看， 题条件酷似 一元二次方程 根的判别式。 这里 a = x - y ， b = z - x ， c = y - z ，于是可构造方程 由已知条件可知 方程有两个相等根。即 。根据根与系数的关系有 即 z
5、 y = y - x ， x + z = 2y x ， y ， z 成等差数列。遇到较为复杂的方程组时，要指 导学生会把难的先简单化，可以构造出我们很熟悉的方程。 例 4、解方程组 我们在解这个方程组的过程中，如果我们用常 规方法来解题就困难了，我们避开这些困难可把原方程化为： 于是 与 可认为是方程 两根。易求得 再进行求解 (1) 或 (2) 第 4 页 由(1)得 此时方程无解。 由(2)得 解此方程组得： 经检验得原方程组的解为： 通过上面的例子我们在解题的过程中要善于观察，善于 发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径， 我们在口头提到的创新思维，又怎样去创新?创新思维
6、是整个创 新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结 构及活跃的灵感是其的基本特征。这种创新思维能保证学生顺 利解决问题，高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决 问题上来，而构造法正从这方面增训练学生思维，使学生的思 维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思 维。 在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给 学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题， 给他们学会一种解题的方法才是有效的“授之以鱼，不如授之以 渔“。在这我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方 法而不是追求题目的结果。运用构造 方法解题也是这样的，通 过讲解一些例题，
7、运用构造法来解题的技巧，探求过程中培养 学生的创新能力。 华罗庚：“数离开形少直观，形离开数难入微。 ”利用数 形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。 3. 构造复数来解题 由于复数是中学数学与其他内容联系密切最为广泛的一 第 5 页 部分，因而对某些问题的特点，可以指导学生从复数的定义性 质出发来解决一些数学难题。 例 5、求证： 分析：本题的特点是左边为几个根式的和，因此可联系到 复数的模，构造复数模型就利用复数的性质把问题解决。 证明：设 z1 = a + bi z2 = a + ( 1 - b ) i z3 = (1-a ) + ( 1 + b ) i z4 = ( 1
8、a ) + bi 则左边= | z1 | + | z2 | + | z3 | + | z4 | | z1 + z2 + z3 +z4 | | 2 + 2i | = 即 例 6、实数 x，y，z，a，b，c，满足 且 xyz 0 求证： 通过入微观察，结合所学的空间解析几何知识,可以构造向量 联想到 结合题设条件 可知，向量 的夹角 满足 ， 这两个向量 共线，又 xyz0 所以 利用向量等工具巧妙地构造 出所证明的不等式的几何模型，利 用向量共线条件，可解决许多用普通方法难以处理的问题对培 养学生创新思维十分有益。 4. 构造几何图形 对于一些题目，可借助几何图形的特点来达到解题目的， 第 6
9、 页 我们可以构造所需的图形来解题。 例 7、 解不等式|x-5|-|x+3| 6 分析：对于这类题目的一般解法是分区间求解，这是比较 繁杂的。观察本题条件可构造双曲线，求解更简捷。 解：设 F(-3，0) F(5，0)则|F1F2|=8 ，F1F2 的中点为 O(1，0)，又设点 P(x，0)，当 x 的值 满足不等式条件时，P 点在双曲线 的内部 1-3x1+3 即 -2x4 是不等式的解。 运用构造法就可以避免了烦杂的分类讨论是不是方便得多了， 引导学生掌握相关知识运用到解决问题上来。 又如解不等式： 分析：若是按常规的解法，必须得进行分类讨论而非常麻 烦的，观察不等式特点，联想到双曲线
10、的定义，却柳暗花明又 一村“可把原不等式变为 令 则得 由双曲线的定义可知，满足上面不等式的( x，y)在 双曲线 的两支之间区域内，因此原不等式与不等式组： 同解 所以不等式的解集为： 。利用定义的特点，把问题的难点转化 成简单的问题，从而使问题得以解决。 在不少的数学竞赛题，运用构造来解题构造法真是可见一斑。 例 8、正数 x，y，z 满足方程组： 试求 xy+2yz+3xz 的值。 第 7 页 分析： 认真观察发现 5，4，3 可作为直角三角形三边长，并就 每个方程考虑余弦定理，进而构造图形直角三角形 ABC，ACB=90三边长分别为 3，4，5，COB=90 AOB=150并设 OA=
11、 x， OB= ， ， 则 x，y，z， 满足 方程组，由面积公式得：S1 + S2 + S3 = 即得：xy+ 2yz + 3xz = 24 又例如：a，b，c 为正数求证： 由是 a，b，c 为正数及 等， 联想到直角三角形又由 联系到可成为正方形的对角线之长，从 而我们可构造图形求解。 通过上述简单的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的 功效，问题很快便可解决。可见构造法解题重在“构造” 。它可 以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉 几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用， 这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的 发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度， 多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简 捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维 的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。 *