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1、2019年高中数学单元测试卷 圆锥曲线与方程 学校： _ 姓名： _ 班级： _ 考号： _ 一、选择题 1(2006 山东理 ) 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的 距离为 1，则该椭圆的离心率为（） (A)2 (B) 2 2 (C) 2 1 (D) 4 2 2(2006 全国 1 理)抛物线 2 yx上的点到直线4380 xy距离的最小值是（） A 4 3 B 7 5 C 8 5 D3 3(2004 湖北理 )与直线042yx的平行的抛物线 2 xy的切线方程是 （） A032yxB032yx C012yxD012yx 4(2005 全国 1文 )已知双曲线)0(
2、1 2 2 2 ay a x 的一条准线为 2 3 x，则该双曲线的离 心率为（） （A） 2 3 （B） 2 3 （ C ） 2 6 （D） 3 32 5（2007 全国 2 文 11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） A 1 3 B 3 3 C 1 2 D 3 2 6（ 2009 北京理）点P在直线:1lyx上，若存在过P的直线交抛物线 2 yx于 ,A B两 点 ， 且|PAA B， 则 称 点P为 “点 ” ， 那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （） A直线l上的所有点都是“点” B直线l上仅有有限个点是“点” C直线l上的所有点都不是“点” D直线l
3、上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设,1A m nP x x，则2,22Bmxnx， 2 ,A Byx在上， 2 2 21(2) nm nxmx 消去 n,整理得关于x 的方程 22 (41)210 xmxm（1） 222 (41)4(21)8850mmmm恒成立，方程（1）恒有实数解，应 选 A. 7给定四条曲线：x 2y2 2 5 ， 49 22 yx 1， x 2 4 2 y 1， 4 2 x y 21其中 与直线 x+y5=0 仅有一个交点的曲线是（） ABCD（ 2002 北京 理 6） 8设 k1，则关于x、y 的方程（ 1k）x 2+y
4、2=k21 所表示的曲线是（ ） A长轴在y 轴上的椭圆 B长轴在x 轴上的椭圆 C实轴在y 轴上的双曲线D实轴在x轴上的双曲线（1997 上海） 二、填空题 9已知一组抛物线 2 yaxbxc，其中a为 1、3、5、7 中任取的一个数，b为 2、4、 6、8 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 1 2 x交点处的切线 相互平行的概率是 10 抛 物 线 2 2xy的 顶 点 是 抛 物 线 上 距 离 点(0, )Aa最 近 的 点 ， 则a的 取 值 范 围 是 11 5 椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，焦点到相应准线的 距离也为2，则该椭圆的
5、离心率为 12 过点)2, 1(M且与抛物线xy4 2 只有一个公共点的直线方程为 . 13 椭圆 22 1 43 xy 的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周 长最大时， FAB的面积是 _。 14 双曲线1 3 2 2 y x的离心率是。( 江苏省泰州市2011 届高三年级第一次 模拟 ) 2【解答】由题知 222 1,3,4abc于是离心率2 c e a 。 15若抛物线y 2=2x 上的一点 M 到坐标原点O 的距离为3，则 M 到该抛物线焦点的 距离为 _。 3 2 ( 江苏省南京市2011 年 3 月高三第二次模拟考试) 16设双曲线的渐近线方程为230 xy，则
6、双曲线的离心率为 17 已知点 12 (2,0),( 2,0)FF，动点P满足 12 2PFPF，当点P的纵坐标是 1 2 时，点P到坐标原点的距离是_ 三、解答题 18如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 2 2 22 1(0) y x ab ab 的离心率为 1 2 ，过椭圆右 焦点F作 两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为 0 时，7ABCD （1）求椭圆的方程； （2）求ABCD的取值范围 19 已知椭圆 22 1 259 xy ，A（4，0）， B（2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点， 求：（ 1）求 5 | 4 PAPB的最小值；（2）求|PAPB的最小 值和最大值
7、 分 析 ： （ 1） A 为 椭 圆 的 右 焦 点 。 作PQ 右 准 线 于 点Q， 则 由 椭 圆 的 第 二 定 义 |4 |5 PA e PQ ， 5 | | 4 PAPBPQPB，显然点P 应是过B 向右准线作垂线 与椭圆的交点，最小值为 17 4 。 （ 2 ） 由 椭 圆 的 第 一 定 义 ， 设C为 椭 圆 的 左 焦 点 ， 则| 2|PAaPC | |2| 10(|)PAPBPAaPCPBPC，根据三角形中两边之差小于第三 边，当P 运动到与B、 C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P 到 P位置时， | |PBPCBC，|PAPB有最大值，最大值为10| 10
8、2 10BC；当 P 到 P位 置 时 ，|PBPCBC，|PAPB有 最 小 值 ， 最 小 值 为 10| 102 10BC . （数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合） 20 （2013 年高考天津卷（文）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F, 离心率为 3 3 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 3 3 . x y A B F O （第18 D C ( ) 求椭圆的方程; ( ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点 . 若 8AC DBAD CB, 求k的值 . 21 （2013 年普通高等学校招生
9、统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版） 已知抛物 线C的顶点为原点, 其焦点0,0Fcc到直线l:20 xy的距离为 3 2 2 . 设P为 直线l上的点 , 过点P作抛物线C的两条切线,PA PB, 其中,A B为切点 . ( ) 求抛物线C的方程 ; ( ) 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时 , 求直线AB的方程 ; ( ) 当点 P在直线l上移动时 , 求AFBF 的最小值 . 22 设 1 F 、 2 F分别是椭圆1 4 2 2 y x 的左、右焦点， )1,0(B （）若P是该椭圆上的一个动点，求 12 PFPF 的最大值和最小值; （）若 C 为椭圆上异于B 一点，且
10、 11 CFBF ，求的值； （）设P是该椭圆上的一个动点，求 1 PBF 的周长的最大值. 23已知抛物线L的方程为02 2 ppyx，直线xy截抛物线L 所得弦24AB 求 p 的值； 抛物线 L 上是否存在异于点A、B 的点 C，使得经过A、B、C 三点的圆和抛物线L在点 C 处有相同的切线若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 24 已知 1 F 、 2 F 是椭圆 2 2 2 1 x y a 的左、右焦点，O 为坐标原点，椭圆右准线与x轴的交 点为M，且 12 F OF M ; 圆 O 是以 12 F F 为直径的圆，直线:lykxm与圆 O 相切，并与椭 圆交于两个不同的点
11、A、B (1)求椭圆的标准方程； （2）当 OA OB，且满足 24 35 ，求直线 l 的倾斜角的取值范围 25 已知双曲线 2 2 1 :1. 4 y Cx （1）求与双曲线 1 C有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线 2 C的标准方程； （2）直线:lyxm分别交双曲线 1 C的两条渐近线于AB、两点 . 当3OA OB时， 求 实数m的值 . ( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分. 26已知椭圆 E： 22 1 84 xy 的左焦点为F，左准线l与 x 轴的交点是圆C的圆心，圆C恰 好经过坐标原点O，设 G 是圆 C上任意一点 .
12、 （1）求圆 C的方程； （2）若直线FG 与直线l交于点T，且 G 为线段FT的中点，求直线FG被圆 C 所截得的弦 长； （3）在平面上是否存在一点P，使得 1 2 GF GP ？若存在，求出点P 坐标 ；若不存在，请说 明理由 . ( 江苏省苏北四市2011 届高三第一次调研) （本小题满分16 分） 关键字：求圆的方程；求弦长；探索题；定点；恒成立问题 27 已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴。若经过焦点且倾斜角为135的直线被抛 物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。 28已知椭圆的短轴长为2，长轴的一个端点与短轴的一个端点间的距离为5，求椭圆的 标准方程 29 已知椭圆)0(1
13、: 2 2 2 2 1 ba b y a x C的离心率为 3 3 ，直线2:xyl与以原点为 圆心、椭圆 1 C的短半轴长为半径的圆相切。 (1) 求椭圆 1 C的方程； (2) 设椭圆 1 C的左焦点为 1 F，右焦点为 2 F，直线 1 l过点 1 F且垂直于椭圆的长轴，动直线 2 l垂直于直线 1 l, 垂足为点P, 线段 2 PF的垂直平分线交 2 l于点M，求点M的轨迹 2 C的 方程； (3) 设 2 C与x轴交于点Q，不同的两点SR,在 2 C上，且满足0RSQR，求|QS的取 值范围。 30 如图，在以点O为圆心，|4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧 上一点，
14、30POB，曲线C是满足|MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. ( ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； ( ）设过点D的直线 l 与曲线C相交于不同的两点E、F. 若OEF的面积不小于 2 2，求直线l斜率的取值范围. （湖北卷19） 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不 等式的解法以及综合解题能力. （满分 13 分） ( ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则 A（-2 ，0），B（2，0），D(0,2),P（1 ,3），依题意得 MA- MB=PA- PB 221321)32( 222
15、2 ）（ AB 4. 曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c2，2a22，a 2=2, b 2=c2- a 2=2. 曲线C的方程为1 22 22 yx . 解法 2：同解法1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA- MB=PA- PB AB 4. 曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为a b y a x (1 2 2 2 2 0，b0）. 则由 4 1 13 22 2 2 2 2 ba ba ）（ 解得a 2=b2=2, 曲线C的方程为.1 22 22 yx ( ) 解法 1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2
16、，代入双曲线C的方程并整理得（1- K 2） x 2-4 kx-6=0. 直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 0)1(64)4( 01 22 2 kk k 33 1 k k k（ -3,-1 ）（ -1，1）（ 1，3）. 设E（x，y），F(x2,y2) ，则由式得x1+x2= k xx k k 1 6 , 1 4 21 2 ,于是 EF 2 21 22 21 2 21 )(1 ()()(xxkxyxx . 1 322 14)(1 2 2 2 21 2 21 2 k k kxxxxk 而原点O到直线l的距离d 2 1 2 k ， S DEF=. 1 322 1 322 1 1 2 2
17、1 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k k EFd 若OEF面积不小于22, 即 SOEF22，则有 解得.22,0222 1 322 24 2 2 kkk k k 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-2，-1 (1-,1) (1, 2). 解法 2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（ 1-K 2） x 2-4 kx-6=0. 直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 0)1(64)4( 01 22 2 kk k 33 1 k k k（ -3，-1 ）（ -1 ，1）（ 1，3）. 设E(x1,y1),F(x2,y2), 则由式得 x1-x2
18、=. 1 322 1 4)( 2 2 2 21 2 21 k k k xxxx 当E、F在同一去上时（如图1 所示）， SOEF; 2 1 2 1 2121 xxODxxODSS ODEODF 当E、F在不同支上时（如图2 所示） . ODFOEF SSSODE=. 2 1 )( 2 1 2121 xxODxxOD 综上得SOEF, 2 1 21 xxOD于是 由OD 2 及式，得SOEF=. 1 322 2 2 k k 若OEF面积不小于2 则有即,22,2 OEF S .22,022 1 32224 2 2 kkk k k 解得 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-2，-1 （ -1 ，1）（ 1，2）.