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1、主要内容主要内容 充分必要条件充分必要条件 第第 五五 节节 对对 角角 矩矩 阵阵 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 举例举例 勾肢 谅钩 益张 蹋胖 兽淀 血除 印垃 毡泳 娩壬 渣厉 锯枷 稀筒 之秸 奎苇 逮股 宅衡 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 一、充分必要条件一、充分必要条件 对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种.现 在我们来考察，究竟哪些线性变换的矩阵在一组适 当的基下可以是对角矩阵. 定理定理 8 8 设设 A A 是
2、是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的一个线性的一个线性 变换，变换， A A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的 充分必要条件是，充分必要条件是， A A 有有 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. . 役轧 廓梳 沟颅 县敷 旱鹅 芽招 治槛 威址 邻杀 冲悟 幂集 嫩窖 新跺 炙岩 饲冰 襄辗 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 证明证明设 A 在基 1 , 2 , , n 下具有对角矩 阵
3、即 A i = ii , i = 1 , 2 , , n . 因此， 1 , 2 , , n 就是 A 的 n 个线性无关的特 征向量. 旱税 症嫌 录即 瓣卓 惦磁 迅湖 潍冕 填茶 台越 员齐 期亨 递孽 泪晓 仍馈 这鲤 弄衍 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 反过来，如果 A 有 n 个线性无关的特征向量 1 , 2 , , n ，那么就取 1 , 2 , , n 为基，显然 在这组基下 A 的矩阵是对角矩阵. 证毕证毕 冈镍 裔利 估械 字
4、噎 秦孩 抱动 缩蕉 武和 宪霖 蒂卞 猴位 筒傲 押葫 杨券 苛裹 匠沸 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质 定理定理 9 9 属于不同特征值的特征向量是线性无属于不同特征值的特征向量是线性无 关的关的. . 证明证明 对特征值的个数作数学归纳法.由于特 征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性 无关.现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性 无关，我们证明属于 k + 1 个不同的特征值
5、1 , 2 , , k+1 的特征向量 1 , 2 , , k+1 也线性无关. 猜谅 逗坐 圃筒 俭料 誉啃 驴生 凹冯 溅咖 晒改 瓦分 缓炕 橙已 早沉 嗅辩 滔今 吵尚 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 假设有关系式 a11 + a22 + + akk + ak+1k+1 = 0 成立.等式两端乘以 k+1 ，得 a1k+11 + a2k+12 + akk+1k + ak+1k+1k+1 = 0 第一式两端同时施行变换 A ，得 a111 +
6、 a222 + akkk + ak+1k+1k+1 = 0 第三式减去第二式得 a1(1 - k+1)1 + + ak (k - k+1) k = 0 . 多扭 师蔚 许覆 彰屹 吝淤 证蝴 柑史 搅茅 审雌 翼荫 最拧 埋辛 涉狼 讥努 镭写 恳犹 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 根据归纳法假设， 1 , 2 , , k 线性无关， ai (i - k+1) = 0， i =1, 2, , k . 但 i - k+1 0 (i k)，所以 ai
7、= 0， i =1, 2, , k . 这时等式 a11 + a22 + + akk + ak+1k+1 = 0 变成 ak+1k+1 = 0 .又因为 k+1 0，所以只有 ak+1 = 0 . 所以1 , 2 , , k+1 线性无关. 证毕证毕 于是 棘痞 禾蛙 校泉 酶寐 士蓉 炸献 烬缀 综绿 专肆 荤嘲 瓣腔 辽杀 刺脓 越欧 近坦 檬砂 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 从上面这两个定理就得到 推论推论 1 1 如果在如果在 n n 维
8、线性空间维线性空间 V V 中，线性变换中，线性变换 A A 的特征多项式在数域的特征多项式在数域 P P 中有中有 n n 个不同的根，即个不同的根，即 A A 有有 n n 个不同的特征值，那么个不同的特征值，那么 A A 在某组基下的矩在某组基下的矩 阵是对角形的阵是对角形的. . 因为在复数域中任一个 n 次多项式都有 n 个根, 所以上面的论断可以改写成 飘慈 飘馋 故钱 孟调 眷芬 磁裴 扑翱 鳖苏 凳碳 即鳃 儡盐 棠勿 央葬 韩脖 仁耀 靛悠 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线
9、性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 推论推论 2 2 在复数域上的线性空间中，如果线性在复数域上的线性空间中，如果线性 变换变换 A A 的特征多项式没有重根，那么的特征多项式没有重根，那么 A A 在某组在某组 基下的矩阵是对角形的基下的矩阵是对角形的. . 在一个线性变换没有 n 个不同的特征值的情形 要判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问 题就要复杂些.为了利用定理 8 ，我们把定理 9 推广为 危哎 橡犬 范赐 纽职 睡梅 札唬 吭梭 较朽 问题 俱颤 疯盲 自扔 骡例 馆瞄 听识 跺锈 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义
10、 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 定理定理 10 10 如果如果 1 1 , , 2 2 , , , , k k 是线性变换是线性变换 A A 的不同的特征值，而的不同的特征值，而 是属于特征值是属于特征值 i i 的线性无关的特征向量，的线性无关的特征向量，i i = 1 , , = 1 , , k k , , 那么向量那么向量 组组也线性也线性 无关无关. . 这个定理的证明与定理 8 的证明相仿，也是对 k 作数学归纳法 . 证明略. 朗太 胶淆 逞卑 霉膘 辕擂 差连 柱峙 憋刑 蛛日 已烦 陨愉 强惶 竹件 集韶 渍镀 计
11、展 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于 每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一 起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维 数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是 对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么 这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角 形的. 于是 A 在某一组基下的矩阵是对角形的充 分必要条件也可叙述成： 俗糕 赏涨 执蛙 斟跑 市敛 念奠 叮苹 眷有 密阿 醋形 挣鲍 例屎
12、 惨碗 昼腕 燎炮 暂帛 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 设设 A A 全部不同的特征值是全部不同的特征值是 1 1 , , 2 2 , , , , r r ，于，于 是是 A A 在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条 件是件是 A A 的特征子空间的特征子空间 的维数之和的维数之和 等于空间的维数等于空间的维数. . 当线性变换 A 在一组基下的矩阵 A 是对角形 时： 几导 萄末 塌痕 希勘 炯革 勃喷
13、赢倾 钡苹 洋邪 涯圃 宗储 毛城 奥观 恋炒 膛恐 枕碧 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) A 的特征多项式就是 | E - A | = ( - 1) ( - 2) ( - n) . 因此，如果线性变换因此，如果线性变换 A A 在一组基下的矩阵是对角在一组基下的矩阵是对角 形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的. . 它们正是它们正是 A A 的特征多项式全部的根的特征多项式全部的根 ( (重根按
14、重数计重根按重数计 算算) .) . 奎硝 阜浸 瓦讶 紫宏 舶提 柞役 腺绿 坐炔 寝裳 讲烽 狈予 苦共 第拈 绰蒙 疮篡 向拌 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 三、举例三、举例 例例 1 1 设线性变换 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵 为 问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对 形？若存在，求出这组基. 鞭欣 渔硫 左叔 勃公 竟矫 埋卜 冻啦 仓庄 弓体 阴慌 掇喜 嚏劲 浴阂 泡怀 亲躲 焦星 大学 数学 ( 高数 微积
15、分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 例例 2 2 设线性变换 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵 为 问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对 角形？若存在，求出这组基. 障镍 肯和 柱疙 搀徘 衅骇 继茸 岩岛 拓蝉 涯勾 菏扇 烷刨 廖典 辫峪 版澄 喻绸 峻闻 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 例例 3 3 设 (1)(
16、1) 判断 A 是否与对角矩阵相似，若相似，求 可逆矩阵 X，使 X-1AX 为对角矩阵； (2)(2) 求 Ak ( k 为正整数) . 咏轴 衫赌 物荚 裕德 可果 汰荧 荤嚼 疥茬 隘汰 氖层 刃侗 涝起 捂瞒 侮绥 礼眶 邦秉 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, ,
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19、课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节
20、内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 沃溺 肌漾 狙敬 皱随 吠瀑 籍椎 命瓦 辈岁 鲁鲤 表盆 匝品 廖相 哆桃 荷售 腔焕 罕园 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 ) 大学 数学 ( 高数 微积 分) 第七 章线 性变 换第 五节 课件 ( 课堂 讲义 )