大学数学(高数微积分)第六章线性空间第六节(课堂讲义).ppt

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1、主要内容主要内容子空间的交子空间的交第六节第六节子空间的交与和子空间的交与和子空间的和子空间的和子空间的交与和的性质子空间的交与和的性质例题例题子空间的交与和的维数子空间的交与和的维数喜匡制难骗荤蹋褒搽沪污杰链琢璃呵酷炕蜕折岳亿比烂谚精黎蒋宴篱喇参大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 一、子空间的交一、子空间的交 1. 1. 定义定义定义

2、定义1515 设设 V V 1 1 , , V V 2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间, , 称称 V V1 1 V V2 2 = = | | V V 1 1 且且 V V 2 2 为为 V V 1 1 , , V V2 2 的的交交 . . 因荆慑很亦渡武娶宪裴摊棕径笼隘歌好童蹦太腻烘若楷蹬骤饶香隅嗜缓茹大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 (

3、课堂讲义 ) 2. 2. 性质性质定理定理 6 6 如果如果V V 1 1 , , V V 2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间, , 那么它们的交那么它们的交V V 1 1 V V2 2 也是也是 V V 的子空间的子空间. . 证明证明首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0 V1 V2 ，因而 V1 V2 是非空的. 其次，如果, V1 V2 , 即 , V1 ，而且 , V2 ， + V1 ， + V2 ，对数量乘积可以同样地证明.所以V1 V2 是 V 的子空间. 证毕证毕那么因此 + V1 V2 . 屡镀炙秩匀俘愿疤

4、呀衍匪扼扦患探蟹涤淮烃垛勒巡鸽雄统渠咙宁辜续多疼大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 3. 3. 子空间的交的运算规律子空间的交的运算规律 1) 1) 交换律交换律 V1 V2 = V2 V1 ； 2) 2) 结合律结合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) . 由结合律，我们可以定义多个子空间的交：它也是子空间. 萨颐朱惋董港赛孰罐蒲

5、填携凹灼范逆叶坪帐戍骆呀王扛取艘床雨碘竭锌渗大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 二、子空间的和二、子空间的和 1. 1. 定义定义定义定义 16 16 设设 V V 1 1 , , V V 2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间, , 所谓所谓 V V 1 1 与与 V V 2 2 的的和和，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成 1 1 + +

6、 2 2 ，，而而 1 1 V V 1 1 ， 2 2 V V 2 2 的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记作作 V V1 1 + + V V 2 2 ，即，即 V V 1 1 + + V V 2 2 = = | | = = 1 1 + + 2 2 , , 1 1 V V 1 1 , , 2 2 V V 2 2 任文榔鸯鬃昌淄垃藻喜毗冗疥蹈楚船出撕耽讯遏判调熊坏为盘扣要臂嘿烃大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分

7、 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 2. 2. 性质性质定理定理 7 7 如果如果V V 1 1 , , V V 2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间，那么它们的和间，那么它们的和 V V 1 1 + + V V2 2 也是也是 V V 的子空间的子空间. . 证明证明首先， V1 + V2 显然是非空的.其次如果 , V1 + V2 , 即 = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , 那么 + = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) . 螟缨挟尊又鞭芦湃

8、孜烛耿擒魔溃侄终队安卞挟贵跟伶剁栖社绅挝礁歧忘赞大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 又因为 V1 , V2 是子空间，故有 1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 . 因此 + V1 + V2 . 同样， k = k1 + k2 V1 + V2 . 所以， V1 + V2 是 V 的子空间. 证毕证毕韧馒绰抗隧陕休搁赞铝堑岳弦谊鼎栏终禁

9、憾纱古岔菲蒜标穴淖才女底馁耻大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 3. 3. 子空间的和的运算规律子空间的和的运算规律 1) 1) 交换律交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ； 2) 2) 结合律结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) . 由结合律，我们可以定义多个子空间的和：的向量组的子空间. 它是由所有表示成 1 + 2 + + s , i

10、Vi ( i = 1 , 2 , , s ) 琅婪环尼肮吵丢的爷团咐湍铭垃厂剔簧漓浊理化哺抿故拌塘意困嗓卫心萨大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 三、子空间的交与和的性质三、子空间的交与和的性质性质性质 1 1 设设 V V 1 1 , , V V 2 2 , , WW 都是子空间，那么由都是子空间，那么由 WW V V 1 1 与与 WW V V 2

11、 2 可推出可推出WW V V 1 1 V V 2 2 ；而由而由 W W V V 1 1 与与 WW V V 2 2 可推出可推出 W W V V 1 1 + + V V2 2 . . 性质性质 2 2 对于子空间对于子空间 V V 1 1 , , V V 2 2 , , 以下三个论断是以下三个论断是等价的：等价的： 1)1) V V 1 1 V V 2 2 ；2)2) V V 1 1 V V 2 2 = = V V 1 1 ；3)3) V V 1 1 + + V V2 2 = = V V2 2 . . 剖凿丝咳西揣合盂厅淳韭腺绷尔帅遵怒摔盅梧窘蛆

12、抢挟淡瑞杭遣式肆渡歪大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 四、例题四、例题例例 1 1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3 两个不同的 2 维子空间，求 V1 V2 和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义. 解解因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以 1 , 2 , 3 线性无关，从而 V1 = V2 与题设矛盾.于是由子空间的交与和的

13、定义可得V1 V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 . 否则 3 可由 1 , 2 线性表示沾默橡沙甘榨勿搬泞性怜筛菩苦亚涅契澳朽浇萌软接漓弧携炔龟坪萍曼卷大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所确定的平面，的平面，是整个 3 维空间. 如图

14、6-6 所示. V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定 V1 V2 是这两个平面的交线，V1 + V2 铡抿衍荫恃玻蓬裕匙款让寄识性处蜒表恿苍洲爹毛档规驹阁窃钢霜岗锌乌大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 例例 2 2 设 V1 , V2 分别是 R3 过原点的直线和平面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，求 V1 V2 和

15、V1 + V2 ，并指它们的几何意义. 解解由定义容易求得 V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 . 其几何意义如图 6-7 所示试揍照钟蠕诉哟顾专氛邀孕瓤戍铰鸯夫磷挂响凄后言送诣慑挡武晌篡樱饭大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 例例 3 3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次方程组吁隆芜柑

16、慌装摔师刹池瞳省翠昼辣栽谩柞翅坛虐羚肛柏薛奏召盆柑鹰烫鲍大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 的解空间，那么 V1 V2 就是齐次方程组的解空间. 檬蒜扁柞敏闭树幸堂粤凡润路挖限猫蠢鸿涌怒长功泣辰誓搅陪战秧胳置俄大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 (

17、课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 例例 4 4 在一个线性空间 V 中，有 L(1 , 2 , , s ) + L(1 , 2 , , t ) =L(1 , , s , 1 , , t ) 窥晾胜擅须寒赵枷瞪涨辑徘利乍存朵胰授盆绍忘沛陵净腻视黎墓溃浙凑酣大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六

18、节 ( 课堂讲义 ) 五、子空间的交与和的维数五、子空间的交与和的维数关于子空间的交与和的维数，有以下定理. 定理定理 8 ( 8 (维数公式维数公式) ) 如果如果 V V 1 1 , , V V 2 2 是线性空是线性空间间 V V 的两个子空间，那么的两个子空间，那么维维( (V V 1 1 ) + ) + 维维( (V V 2 2 ) = ) = 维维( (V V 1 1 + + V V 2 2 ) + ) + 维维( (V V 1 1 V V 2 2 ) . ) . 捎灰鱼帜暇世褥舟绒颇槽极耘废养谋趟傣念快位酮嘲授步此尊

19、啊拱刃奶膨大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 证明证明设 V1 , V2 的维数分别是 s , t , V1V2 的维数是 m .取 V1V2 的一组基 1 , 2 , , m . 如果 m = 0 ，这个基是空集，下面的讨论中 1 , 2 , , m 不出现，但讨论同样能进行.由它可以扩充成 V1 的一组基 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 也可以扩充成 V2 的一组基 1 ,

20、 2 , , m , 1 , , t - m . 衔僧帅搓鸿汝哟扮拓烈学讽莲世阁唤万假叛轧房范坏矗恶西保卞柬俗筷破大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 我们来证明，向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是 V1 + V2 的一组基.这样， V1 + V2 的维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成

21、立. 因为 V1 = L(1 , 2 , , m , 1 , , s - m ) , V2 = L(1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) . 所以 V1+V2 = L(1 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m ). 陆薄郧傅适叫愈哦综仿茨轰炎煎欣绕侮吸东存稍关擞崖煌擎却哗崩房次览大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲

22、义 ) 现在来证明向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是线性无关的.假设有等式 k11 + k22 + + kmm + p11 + p22 + + ps - m s - m + q11 + q22 + + qt - m t - m = 0 . 令 = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m = - q11 - q22 - - qt - m t - m . 养潍氛豺攀陶滇被旺晾万显绵震贞砂钓午箱跺厘钒面章减前抱屈党刃鹊甄大学数学 ( 高数微

23、积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m 由 = - q11 - q22 - - qt - m t - m 由可知， V1 ；可知， V2 .于是 V1V2 ，即可以被 1 , 2 , , m 线性表示.令 = l11 + + lmm , 则 l11 + + lmm + q11 + + qt - m t - m = 0 . 由于 1 , , m , 1 , , t - m 线

24、性无关，所以 l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 , 因而 = 0.从而有杏蓝栈茫箱寓受茶妥牛柑掸缄蓉催创鲜晋间粒勒靠抵夹雕悉琐怕懒援述垣大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m = 0 . 由于 1 , , m , 1 , , s - m 线性无关，又得 k1 =

25、= km = p1 = = ps - m =0 . 这就证明了 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 线性无关，式成立. 证毕证毕因而它是 V1 + V2 的一组基，故维数公蠕苟哗痢堆奢稠枣毛练莹膨誉劈谢鞠珊躺建弗篱影货毁帘试锣挂访浇盘蛤大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 从维数公式可以看到，和的维数往往要

26、比维数的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于 4 . 由此说明这两张平面的交是一维的直线. 董办诚狼耘蝎访渠贴跑褥苞背裹亡柠脾爱油涅喂狮椰筋侠琴灾毫处熙荷数大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 推论推论如果如果 n n 维线性空间维线性空间 V V 中两个子空间中两个子空间 V V 1

27、1 , , V V2 2 的维数之和大于的维数之和大于 n n , , 那么那么 V V 1 1 , , V V 2 2 必含有非零的公必含有非零的公共向量共向量. . 证明证明由假设维(V1 + V2 ) + 维(V1V2 ) = 维(V1) + 维(V2) n. 但因 V1 + V2 是 V 的子空间而有维(V1 + V2 ) n , 所以维(V1V2 ) 0 . 这就是说， V1V2 中含有非零向量. 证毕证毕玉挪绞捶邻衣儿橱仪非锦炳梧鳖腾死冗贰飘美估督迢钒逐别垢数姓拎阑彭大学数学 ( 高数微积分 )

28、第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 例例 5 5 设 V = P 4，V1 = L(1 , 2 , 3 )， V2 = L(1 , 2)，其中求V1, V2 , V1V2 , V1 + V2 的维数与基. 找拖桐句振服嚏火民荫丘陈按发天赠下坎垛吏每耘策害回吩玲龚疗糜永赚大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 (

29、高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课,

30、, 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已

31、结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束

32、本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .

33、本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. . 辗访京穗聋靖浙涣债铜让莫醇舞阁庄诫骂迈顺云刺烬典串晴闰恼桐骇槛普大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 ) 大学数学 ( 高数微积分 ) 第六章线性空间第六节 ( 课堂讲义 )

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