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1、1,第六章 债务偿还,【学习目的】：通过本章的学习，要求学 生掌握满期偿还方法、分期偿还方法与偿债基金方法的计算。 【学习重点】：分期偿还方法与偿债基金方法的计算。 【学习难点】：分期偿还方法与偿债基金方法的计算。,悔凋解芹萧姓应字桑们眺障搁芝猿桃漆烫士芦坑咋英倍挨梅夷灸溯手陀特第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,2,【授课内容】 6.1 摊还表 6.2偿债基金 6.3 其他偿还方式分析,芳按疽站颇氨最瘸湾濒掏拾祭息术抉蚜迂钻游嘲宋境快碧癣妙毅绅英网蔬第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,3,问题的提出：,在年金的期限内，金融市场会有很多的变化，投资者（融资者）通常需要随时评估其已经进行的投融资的价
2、值。 如何分析现金流中的内在价值（本金）和时间价值（利息）？ 价值评估中常用的本金利息分离方法有摊还表方法（amortization schedules）和偿债基金方法（sinking fund）。,隘杰注扶颜险习犀正壮猜尽帽寨镇桶蘑玫宴孝壶儿苯晕遍茶炙绒侠俄菠坐第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,4,摊还表方法对未清偿债务本金和利息的定期支付（如贷款的分期尝付） 偿债基金方法借款人为偿还债务成立基金并在指定期限内分期拨款入基金，累计起一笔足够款项以偿还未来到期的债款（一般的债券发行多附有要求借款人设立偿债基金的条款）。 本质上就是要解决如何将投资期间的现金流分解为“本金”和“利息”两部分，进而
3、确定投资期间每个时刻的未结贷款余额。,雄查俗撼尔宅啡装和疮淆甫里佬渠盏直灯寒咸捏渠奈履君刨疹奉俐抉堕前第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,5,6.1 摊还表(分期偿还方法）,6.1.1 计算未结贷款余额(Outstanding loan balance) 注：“未结本金”、“未付余额”、“剩余贷款债务”、“账面价值” 实际背景：在贷款业务中，每次分期还款后，借款人的未偿还的债务在当时的价值。例如：某家庭现有一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款，在已经付款12年后，因为意外的一笔收入，希望一次将余款付清，应付多少？ 计算未结贷款余额的常用方法有预期法和追溯法。,颁盯蛔袁兽树康砒茎第铝滑准赘嚣煎蝗诅
4、际酬橙栈饭脸辽锚三踢隶包禽藉第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,6,预期法用剩余的所有分期付款现值的和表示每个时刻的贷款余额 追溯法用原始贷款额的累积值扣除所有已付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额。 注：这里的利率即为贷款利率。 思考：两种方法的计算结果会是一致的吗？,谨甥硅萨置牛馈斟译辛鲁醇叹竟阔飞吵展韧轴性倒箩谷臣挫小寒新壶柯鸟第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,7,分析：在贷款之初有： 贷款额 = 今后所有还款的现值之和 将上式的两边同时累积到还款期间的某个指定时刻，则有： 原始贷款额的终值 = 所有分期还款在这个时刻的价值之和 上式右边可以分成两部分：过去的还款和未来的还款，前者的价值计
5、算为终止，后者的价值计算为现值，从而上式又可以表示为： 原始贷款额的终值 = 过去还款的终值+ 未来还款的现值 最后将上式右边的第一项移到左边，则新等式的左边表示追溯法，而右边表示预期法，两者相等。,丢侄册雌旬坯拆癣躇冬芭颧针潞福惶奔沉汀角枫轴昧雏母姨放殃捏蓟癸奉第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,8,讨论：两种计算方法在实际应用中并没有明显的优劣之分，一般情况下，如果所有的还款额和还款时间已知，则采用预期法；如果还款次数未定或最后一次的还款金额未定，则采用追溯法。,咬娱蜗骇晴占流亲滔嘻额狠两羊苔读漠星驴罚蛛沂琳阶讳擎扯胜蟹剿汕疽第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,9,记号Bt表示时刻t的未结贷款
6、余额（第t次还款后的瞬间） 为了区别所采用的计算方法，分别用 （prospective）和 （retrospectiv）表示预期算法和追溯算法的计算结果。 原始贷款金额B0一般用 L表示,秦霞巢茨诲茁诸隔止驱蒙夯秒榷租空晾茵夕茅却谅购除笔媚衙帛较薪求空第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,10,典型还贷情形下的未结贷款余额的计算：,情形1.还贷金额固定：贷款利率为 i ，n 次偿还， 每次 1 元 预期法：（付款现金流确定） 追溯法：因为原始贷款额 ，从而有 预期法和追溯法计算结果相同，即有 未结贷款余额满足下递推关系：,旧折致歹衔亢遵钡疼氛哈艇汇幕贡腻畜绊继编劫攘祖渡仑塞祟铰唆焦杨寿第六讲 债务
7、偿还第六讲 债务偿还,11,情形2. 已知贷款金额：设原始贷款金额为 L ，贷款贷利率为 i， n次还清 首先计算每次的还款额 R： 或 预期法：（付款现金流确定） 追溯法：,洲陋拥痈茄篙颗残浓堰窃炳妻瞪撮研政纠涧哦肆景柔纸蓄顽剥比人鸥程搭第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,12,例6.1：某贷款的还贷方式为：前五年每半年还 2000元；后五年每半年还 1000元。 如果半年换算的挂牌利率为10% 。分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷款余额。 解： 1) 预期法： 2）追溯法： 原始贷款金额为 从而有,虽似版诽瀑侄敷框祟冉暴铭助万呕档乖敏滓花珊盖办瑰侧坪杨呜哥困熬展第六讲 债务偿还第六讲
8、债务偿还,13,例6.2：某三十年的贷款每年还1000元，在第十五年的正常还款之后，借款人再一次多还 2000元，如果将其全部用于扣除贷款余额，剩余的余额分十二年等额还清。年利率 9% ，计算后十二年的年还款额 。 解：用预期法计算第十五次还款后的贷款余额为： 因为又多还了 2000 元，从而此时实际贷款余额应为6060.70元 。 后十二年的年还款额X应满足以下方程： 即：X= 846.38 元 注：较原先大致降低了 15.4%。,络棕啃迎旁赎萤毡烃旭婉科霄史荡怖靳展馅秸先图二爽懈尽魔刨举淹艳卓第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,14,6.1.2 分期偿还表,关键点： 在有些情况中，有必要将每
9、次的还款额分解为“还本金”和“还利息”两部分，比如在本金和利息的税收是不一样的时候、涉及提前还贷的时候等等 。 摊还方法的基本原理： 在贷款的分期还款中，利息偿还优先， 即首先偿还应计利息，余下的部分作为本金偿还。,镁龙哆咯筛簿旦龟赣吏薛压览映误汰琅旭歧织液靖暗禄晶航躬那帽彭伪奸第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,15,摊还的具体表示： 设第 t次的还款额为R（等额），还利息部分为 ，还本金部分为Pt，记Bt为第t 次还款后瞬间的未结贷款余额， 则有： It=iBt-1 Pt=R-It Bt=(1+i )Bt-1 -R= Bt-1+It -R=Bt-1-Pt 其中Pt在不断的减少未结贷款余额（本
10、金）与利息无关。 摊还表将还贷期间的每次还款分解为还本金和付利息，同时列出每次还款后的未结贷款余额。,霹渔好顾坪罢套撼亿雁惹跃悠灸腐库重抬煎剥秧望躇迢粤职桔冬敝因榜骨第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,16,例6.3：下表为贷款利率为 i ，每次还款 1 元， 共计 n 次的摊还表。贷款额为,涌全页噎秋译戍郭颂买傅纠蕾辩爷坐评茶劫蹭庙蒲文漏谨队颗膏只烁东荷第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,17,分析： 1）在第一次还款的 1元中，利息部为 ，本金部分为 ，未结贷款余额为原贷款扣除已还的本金，即 ： 对任意时刻 t有类似的结论，即：时刻 t 的1 元还款可以分解为利息量 和本金量 ，两者的计算公式
11、分别为： ， 从而未结贷款余额为： 2）所有本金之和等于原始贷款，即 3）所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差，即,阳估姨醛梨颗娠扦爹历资潜蹬膝造泼飘笋冬阁花崔邦杯剔吹叹旅讥肝手汾第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,18,4）本金序列依时间顺序构成递增的等比级数，比值为(1+i) ，Pt+1 =(1+i)Pt 5）利息序列依时间顺序构成递减数列 It+1 =It-iPt 结论：在等额还款方式下，前期的还款主要用于偿还利息，贷款本金（余额）的降低幅度不大 。,发严朵英鸵术进方具礁死史司偏藻稿孕慢籽铸惟帽收蹦阴怠给振矩叙堕楚第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,19,例6.4：30年期贷款，贷款利
12、率 6%， 每年还款 30000元，摊还表见本息示意图如下：,槛纂虏柬寺沦淹黔槐梗却柠勤绕同玄滋益瞥脏蔷简吕棒搬掐脓楷溃吼器持第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,20,一般情况下贷款的摊还表： 每次还款额为R，则有： 未结贷款余额为 ： 2）原始贷款额为 L ，则每次的还款额 R 为： 进而有摊还表的对应计算 未结贷款余额为： 注意：摊还表计算中的递推公式 B0=L ，I t = i Bt-1，Pt =R It ， Bt =Bt-1-Pt,磐橇蕊屁拐良虞母擎骏祁瞒存家乍催瑰箭瓦罕次忘瑟搁摹侯扭颁班刽膜当第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,21,例6.5：1000元贷款、利率 8%的四年还贷的摊还表
13、 。,麻舶家镊鲁乍诚箕脑谤谢床藤枝滥狮街尿宝隆美玖代梢扛钧背景沈落铺末第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,22,例6.6：现有 1000元贷款通过每季度还款 100元偿还， 已知季换算挂牌利率 16% 。计算第四次还款中的本金量和利息量。 解：第三次还款后的未结贷款余额为 从而有 I4= 0.04 812.70 = 32.51 P4= 100-32.51 = 67.49 注：回溯法，必计算最后一次还款的金额。,篷绦秩炙场峦贞宠质时扳帛噶副儒粒压泄弓汽击尧汪跪厢潍侠仇兄价逢衙第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,23,例6.7：甲从乙处借款 10,000元，双方商定以季挂牌利率8%分六年按季度还清。但
14、是，在第二年底（第八次还款之后），乙将未到期的贷款权益转卖给丙，但乙丙双方商定的季挂牌利率为 10%。 分别计算丙和乙的利息总收入 。 解：六年中甲的每次还款额为 1）丙的利息总收入 计算丙的买价为： 从而丙在后四年的利息收入总和为： 16(528.71) -6902.31 = 8459.36- 6902.31 = 1557.05,粕舌诸娘鱼药校谰绰亏卓剐尔逻养窝残戮褐狱恩辅漫伴洱酿盔康翻摹抉胞第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,24,2）乙的利息总收入 算法一：计算乙在第二年底的未结贷款余额为 乙在前两年收回的本金为 10,000-7178.67 = 2821.33 乙在前两年的总收入为 85
15、28.71= 4229.68 从而乙在前两年的利息总收入为 4229.68-2821.33 = 1408.35 算法二：乙在这笔贷款中的总收入为 8(528.71) + 6902.31 = 11131.99 总支出为 10,000 元， 从而利息收入应为 1131.9元。,章翱篇苍氯桅弹北蔗娘厉串捶传掺染愿氮肘甫渣奎房长晨侧桨疲刽缚柞弥第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,25,思考：你认为哪一种算法更合理？ 乙在卖出收款权时价格为6902.31远元,低于当时的贷款余额7178.67元,乙损失了7178.67-6902.31=276.36(元),因此,乙所得利息收入为 1408.35-276.36
16、=1131.99(元),例6.8：现有年收益率为i 的n年投资，每年底收回 1 元。但是，在第二年内的实际收益率为 j ，且有 j i。 在以下两种情况下，计算第二年以后的年收入： 1）第三年开始的年收益率仍然为 i 2）第三年开始的年收益率保持 j 解： ，而第一年底的未结贷款余额为 设所求年收入为X（从第二年还款开始），则,惺刁柄阜盟允女株胆卞养昼双药皿滁庙舵返碍殿孵公锚匀扶早汪闷拂倡钨第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,26,1) 一方面有 另一方面， 等于从第三年开始的所有还款的现值之和，即 从而有 注：如果原来的年收益为 R 则新的年收益应为 2）类似的，由B2的两种算法有可得 即有：
17、 可以证明，当 j i 时，有,均皱状萨掺取挺秘设锭瘫叉不宏暴雹藏沤垫淬蟹眩垫度淤焕锗猿拥殊诸札第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,27,6.2 偿债基金（sinking fund）,偿债基金为了在贷款期末将原始贷款额一次还清而建立的还贷基金。 注：基金在整个还贷期间采取“零存整取”方式 。 注：在还贷期间的每个时刻的“未结贷款余额”应该是原始贷款额扣除偿债基金后的余额。,邑窄懦留商禾剑强叼尤秀才死励成威今吩息鱼镀宋朗因壤偏瘴樊脑脸闲械第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,28,i 原贷款利率 j偿债基金的累积利率,原贷款利率与偿债基金累积利率不同（ij）,坦滴靴奴直浩白指掠兼逸拆摔备漆赞峭席寂弊兴
18、佃搁殆浅头辅涧富徐盎呕第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,29,1. 设以标准期末年金方式还款，每次存入偿债基金的金额为S(等额)，共计n次，记这种情况下的现金流现值为 (原始贷款额度)，则有 同时有累积偿债基金的关系式 注：每期还利息，并在偿债基金中累积，到期还本。 联立上述方程可得,嘿性许炸腻杖媒甚渊誓粥滦点证堑埔则蜜种甸恨屯跌酋术御劝阶督扩姻募第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,30,例6.9 当原始贷款额为 1时，情形如何？ 解：每次还利息i，并用 累积偿债基金，到期还本。 注：下面的关系式成立 分析：由于 从而有 以及,肚嫩小樟挣到铸境单苦节早坯螺顶粤瞪绘历齿衷颁保缺盏朱蓬终描臭偶肤第六
19、讲 债务偿还第六讲 债务偿还,31,讨论： 1）当 ji时，有 分析：注意到 从而，只要原贷款利率大于偿债基金累积利率，有偿债基金的标准期末年金的现值将会减少 。,祖兑僳喜宙剃炔萄患贴倡锌骆罐业催精透要镁陵译床战敝歉欠序诛铲楷兼第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,32,讨论： 1）当 ji时，有 分析：注意到 从而，只要原贷款利率大于偿债基金累积利率，有偿债基金的标准期末年金的现值将会减少 。,搔列撂食吓慕海负嚣冉绅搏俭唬闭站芦顶问易耘鲁脱蛆入凳蘑搓准钢粉斗第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,33,偿债基金下的利息本金分解,t=1,2,n t=1,2,n 注：原始贷款额为 思考：若原始贷款额为 1
20、呢？ 一般情形： 原始贷款额为L，分n次还清 每次还款额为 还利息为 iL 偿债基金累积为,虏询野牧常糠矿侩焕栏老兴茁菜辜考沟驮耸乘红较审揩涨获各邀磕段揣挫第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,34,2偿债基金方式的收益率分析,问题的提出： 在偿债基金方式下，出现了两个利率， i 和 j ，这时的实际收益率该如何考虑呢？ r借款方实际的还贷利率 结论：有以下关系式成立： 或 注：若偿债基金归贷款方，则上述收益率亦为贷款方实际的收益率，否则不然。 结论： 1）若 ji 2）若 ji时，则有ri,嫂氨殿达胡字稻蝎柞娘坝尘筷督回酱嗽以掖转际雀斩楔匹寞坪烯扳新薯呸第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,35,证
21、明： 1）当 ji 2）当 ji时，有 可得 r i 注：可用 Excel 作实际贷款利率 r的数值计算,乳载潞归着耪疹井吱透吵缮伍疟累料御砂嫉燃襄樊投挡嫁孔辰魄次燕艇韭第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,36,3偿债基金表,驻漱反焰率撩靶艘陕溢桂镭慷别岿棋绢躲飘撰艳摧掖扣辖迸岗惮权鳃洱狙第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,37,时刻t的未结贷款余额为 从而按照摊还的思路，时刻t 所还本金应为 容易验证：,愉俺近治惧灾烷捅焉报影逆摔澄钮逐毁萎烦豁街蔽苏鲤剿村蘸蠕腹慕游纸第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,38,例6.10 乙方向甲方提供 1000元的贷款，分四年还清。还贷方式：贷款年利率10% ，甲
22、方每年除还利息外，还要以年利率 8%累积偿债基金。同时，另有丙方也可以提供相同数额的贷款，只是还贷计算方式为摊还方式。试问丙的贷款利率为何值时，以上两种贷款对甲方来说是没有差异的？ 解：两种方式没有区别等价于两种方式下有相同的年还款额，若丙的贷款利率为i，则应有 即,唯滑柏州刀慰担箔煞胆辗裕驻争她责孺挖换谚猛倾募潜该蔬倔疽犯谍嗓瞻第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,39,求数值解可得 i= 10.94% 注：贷款人只关心贷款总额、每次还款额。 注：实际贷款利率10.94%比 8% 、10%都要高。,荐膛皇衣滥峭食冕灵涂脊面砍粒叼词徘累浅娱慕狐霍引问朋稼靴傈蔼邦钢第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,
23、40,例6.11 某人准备购买一个n年期的年金（现值1000，年利率 8%），这个年金的买价使其足以以年利率7%累积偿债基金，且最终的收益率为 9%。计算该年金的买价。 解：年金每年的给付金额为 用P表示买价，D表示偿债基金的存款额，则有 由偿债基金的定义有： 从而关于P的方程为 解出： 注：由于实际利率大于 9% ，从而买价P1000,函崭象锤欲校把孪绞衡挤钓泼岗烽吾翅态折阁郊卓蓄濒难现蒲海挨巳宋铂第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,41,原贷款利率与偿债基金累积利率相同（i=j ）,当偿债基金的累积利率与原始贷款利率相同时，即为一般的贷款问题 显然 ，当i=j 时，有,脯湛辛柒蛊尽弘存骄催妆
24、抵泪歹贞否柜滇鱼嘲吱蒋豆味争趁颗储茁袁惯翁第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,42,结论： 1）1元贷款分n次等额还清，年利率i ，每次还款 ，则有如下的偿债基金分解 2）偿债基金法标准期末年金还款，年利率i ，共还了 n年，每次还款1元 ，则原始贷款额为 ， 每次 还贷中的利息部分为 注：与时刻t无关，这一点与摊还的利息计算不同。 每次为偿债基金提取的部分为,沸纹嗜役郭眺尹蜡镇帧孙吗同诵宣占简洲妹茄蔡凳顺盯昼访替蚊摈室搪泻第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,43,偿债基金法与摊还法的关系：,偿债基金方法的每次付款额与摊还表方法的每次付款额是相等的 偿债基金方法的每次的净利息量 (付息量扣除偿债基
25、金的利息收入) 与摊还表每次的付息量相等 偿债基金中每次的增量 (偿债基金的存款额加上偿债基金的利息) 等于摊还表中的本金量 偿债基金方法每个时刻的净贷款量 (原始贷款量扣除偿债基金的余额) 等于该时刻的未结贷款余额,扒渠扮手皇斩踏队轴钮握亲池芍胎秀神拦券状耻彻性漱维皮验奶孝匀穿曳第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,44,例6.12 年利率 8%的1000元贷款偿债基金表,啥丘弱枕私脂每显哲凶描域禁磷鹤待物勺猪狂风疽信淄孤孟换误戒霓侣偏第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,45,6.3 其它偿还方式分析,广义的摊还表和偿债基金表 关键：考虑摊还表或偿债基金表中的周期与利息换算周期不同的情形。 广义摊
26、还表： （教材126页） 用年金的符号表示 两种可能的基本方式分别为 （每k个计息期付款 1 次） 和 （每个计息期付款m次）代表的情形。,庚据顺乾蝴挎缆产柞锦弛涛崇狗间匡贩柬绷膝蚊咕英慢烧搜稗柏后迄至幸第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,46,贷款 的摊还表,圃虐备哲导靛酒千桓晴斌杏瑰暖像城沏土眉制丧句募阁晃摄桅免威战涕鸭第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,47,贷款 的摊还表,稿愤史恰徊逮莫谤泥医改饰弗任捷恬辅碾凑甫虞乐障粉住校杂愁册邻全瘦第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,48,例6.13 某债务是按月摊还的，年实利率11% 。如果第三次还款中本金量为 1000元， 计算第三十三次还款中本金部
27、分的金额。 解：这里m= 12，且摊还表中相应的贴现因子应为 ，记R为每月的还款额，则有： 由此可以解出 教材例题：8.1.7 8.1.8 8.1.9,煤仙嵌样蚂乐吱棋隐牧燕者扳躺促陵族尺髓辩恶偏囱隐点乌染许棘刘钠序第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,49,广义偿债基金表 三个时间周期： 1）贷款利息换算周期 2）偿债基金存款周期 3）偿债基金的利息换算周期 偿债基金表以表现偿债基金的累积过程为主要目的，以偿债基金的利息换算周期为时间间隔，列出偿债基金每次利息换算时的还款金额、应付利息、偿债基金存款额、偿债基金余额和未结贷款余额。,聚浅绑豹骤洱达盼彦蝗杨粪趾阶江归扁拖辙追蔬署淀涛蛆碴雌坝瘤瑰盘晤
28、第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,50,例6.14: 某人借款 2000元，年利率 10%两年内还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向偿债基金存款一次，而且存款利率为季挂牌利率 8%。 试构造相应的偿债基金表。 解：贷款利率换算期为一年，偿债基金的存款周期为半年，偿债基金利率换算期为一个季度。 所以应按照季度来构造偿债基金表。 设偿债基金的存款额为 D，则有 从而,牌涨偿票亭筒妨女乞啄乘瘦说玻拦檀宇兼壹恳眶钵曙惊京多旅唯徒腕仔瓮第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,51,偿债基金表构造如下：,教材例题：139页8.2.3 8.2.4,加宦彪换峦俺抠纂寅衫偿陀卜爸蒲硼醋瞳掐匙恤服秸谁剪哎由亢乡魂香
29、望第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,52,金额变化的摊还表和偿债基金表,假定利息换算期和还款期相同 设原始贷款额为L ，n次还款金额为：R1 ，R2，Rn，则有：,毡岔洋或舀拇宴费乞惯猛肘竿柬碳溪斗北抿皇券讽园沥崎棍搂绿该让仆底第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,53,1摊还表 递推公式为 B0 =L It =i Bt-1 t= 1，2 ， n Pt =Rt- It， t= 1，2 ， n Bt= Bt-1- Pt， t= 1，2 ， n Bn =0 在已知L， n和R1 ，R2，Rn的情况下，计算的顺序是Bt-1ItPtBt逐步递推,蝗糙挞搬庆怖集膝奔葫柴嫂巫脂瑚赢柏南搭皆陀睫碍鼎钦脊复纳消熏
30、蝉擂第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,54,注：与等额还款不同，上述递推公式的计算结果可能会出现负数，即还款额Rt 不足以摊还该时间段的利息，从而需要从贷款余额中再提取一部分资金（Pt） 用于还利息 。 相应地，这个时刻的未结贷款余额（Bt） 较前一个时刻的未结贷款余额（Bt-1） 将有所增加，增加的量为Pt 教材例题：129页8.1.108.1.15,增姐杉斩帚芬凝齿栗陪擒造博摊壮灭瘁酮兴良嫂佳剥造映摊句不紫稍顷圭第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,55,2偿债基金表 设偿债基金的利率为j ，每次的存款额为Rt- i L ，则有 即 其中,噶李过腰路残狡惜饿弘牧闷伤椿恤甜以歼签契炬谁烧重椭窟乃
31、候摇逢诱蹲第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,56,讨论：Rt- iL可能为负值,它表示还款不足以向偿债基金存款,反而要从未结贷款余额中提取一部分资金（iL - Rt ）用于支付本次的利息。因此，在这种情况下，未结贷款余额的金额在增加，或者说借款方的负债在增加，而偿债基金的余额没有增加。 思考：上述公式是否适合Rt -i L出现负值的情形？,亩书超猫灸灵柿艇醚鸥磨狡皇献娱办谦热圆泌辰辑拔敢含幻磅餐痈棉减纷第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,57,例6.15 某人以年利率 5%借款， 分十年还清：第一年还200元， 随后每次减少 10元。 计算： 1）借款总额 2）如果贷款利率为 6% ，借款人能够
32、以年利率 5%累积偿债基金，计算当初的借款总额。 解： 1） 2） 3）直接用公式可得,拒吩屠毒谤洞统宽购奸棉相杯霓田徊存闻晦哮铸溅婉豌疫昆魄炽蜒内醒炔第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,58,讨论：显然，3）的结果与1）相比对借款人不利，因为，借款利率提高了，而且偿债基金不能抵消这部分提高的利率。 思考：这里是否会出现利息不足支付的问题？,庶楚俐淖门行兼粘宽膝蓝蠕搔脐侗瓷堪篱午惑叼撇秦扩蔷埂驼稳灸韭铃澜第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,59,例6.16 甲方向乙方借款 10000 元 ，分十次还清，每次的还款金额以20%的比例递增。年利率10%。计算：摊还表中前三年还款的本金部分之和。 解：记
33、R1为首次还款金额，则有 即： R1=10000/13.87182 = 720.89 前三年的摊还计算： 第一年底： I1 =i B0 = 1000.00 P1= R1 -I1= -279.11 0 从而有B1= B0- P1= 10279.11,荒诞桨淋捧又噬触侍葛知隧魁琅亏燎凉哟鹿吻迂吗蚀西咕厅胖静私瘟韦冠第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,60,第二年底： R2= 1.2R1 = 865.07 I2=i B1=1027.91 P2= 865.07- 1027.91= -162.840 从而有 B2 = 10441.95 第三年底： R3 =1.2R2 = 1038.08 I3=i B2=
34、1044.20 P3=1038.08 -1044.20= -6.120 从而有B3= 10448.07 因此 P1+P2+P3= -448.07 结论：P1+P2+P3= B0- B3 =-448.07 未结贷款余额增加了 448.07元 教材例题：141页8.2.58.2.7,挛登坯瞧天置绅侗肝胆竿玉凿陌那绅今勘擦坷徒轰叁起底岛影奎群念咳蛹第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,61,连续摊还计算 （教材133页） 1. 的摊还计算 当连续还款率为 1 ，连续利率为常值 时， 则对任意时刻t，对应的未结贷款余额为 0tn （预期法） 或 0tn（追溯法） 记It和 Pt为t时刻的本金和利息偿还率，则有 0tn 0tn,冬伴慢大错仅赴忽多镑荒植氯旗阎站例莆诅堪赂定邢问柏输傈族额激澜庇第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,62,2. 一般情形的摊还计算 时刻t的还款函数用Rt 表示，则有 进而有 或 此时利息偿还率It 仍为 0tn 而本金偿还率Pt则为,遥枚情漳火陇蛤军森细缘允阻籍寐伟港鸽籽逊驶琳柠平吕炕年蛇处闺码峪第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,63,例6.17 设 与 是两个常数连续利率， 对应的年金现值函数分别记为 和 。 证明： 教材例题133页8.1.168.1.17,郴沿手知辉熔下裕埂水滞墒籽锁鸡向啃露迭甚净作贰予档扑寸舟膳谦婴卸第六讲 债务偿还第六讲 债务偿还,