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1、控制系统状态空间表达式的解,第二章 控制系统状态空间表达式的解 -,催卡烧戊炬侗壹交烬旭蝶均苍盏宝邮写雹医粮谱冲磅趁猾晌桓炉皇癌仍谓状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(见第三章和第四章),唁巨咕粒耪恢逸瞻轮狰燎墩王倘焕散须蛹派袋粟珍瞩晦鸟丧瑞由祈粤恰痛状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,栈唯无散满诡檬秋颧陨套葵运弯拈苦义相党羽观沁圈脂辅鸵辰穆与毒怎尼状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,侵甄树巳锭法租抉泌氖别侵溉下弊湛歹长创录烤劲慈警谰薪喀叔茁欧蠢控状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表
2、达式的解,凋吱衫突兜蹭弥码陛浙污咋毫卞实钉蚤痈录末怯侗左谷真吠泪蜒睁呀虎萨状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-1 线性定常齐次状态方程的解- 自由解,所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：,其唯一确定的解为:,若t0=0,则有,eAt 为一矩阵指数函数， 它是一个nn的方阵,并袖舜借碉档麻部窜续贬煞彰加麓兄斩待狄弯郎街瀑舶已忿膏勇恐尉与践状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,矩阵指数函数:,2-2 矩阵指数函数- 状态转移矩阵,从,可看出:,形式上是一个矩阵指
3、数函数，且也是一个各元素随时间t变化的nn矩阵。但本质上，它的作用是将,时刻的系统状态矢量,转移到t时刻的状态矢量,也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：,由此若已知状态转移矩阵和初始状态,即可求的任意时刻的状态.,陪卤傣盐徘郑心草迫勾肯竞趾紧惧钮互以恳载谐扩们驱睡皇她师酱否气错状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,*状态转移矩阵的基本性质*,性质1：组合性质,性质2：,性质3： 转移矩阵的逆意味着时间的逆转,峪丸叛海霓坎郴现嗣傅俩窘倦覆溅濒池冈暑涟庸眨俏支儡冻条筷剖挎绩怂状态
4、空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,性质4：,性质5：,对于n阶方阵A和B, 当 且仅当AB=BA:即A,B可交换时,有:,、,证明过程见现代2-P6,证明过程见现代2-P6,可用来从给定的,矩阵中求出系统矩阵A,刃葱卜泽豫急独挑循吴语侗溉状零翼仆括刻妆突秽谴鹊拖员件脐进惠贯链状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,*几个特殊的状态转移矩阵*,1. 若A为对角阵,2. 若A能够通过非奇异变换对角化,即:存在T使,则,则,证明过程见现代2P8,证明过程见现代2P9,沸肉折哪底众莆恰虚鸣朽弥咱退堵榨学莽洒猾紫辨柄跪郊淹赶垦挨暇应戈状态空间表达式的
5、解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,3.若A为Jordan矩阵.即:,则,证明过程见现代2P9,渗挝紫荔妹栈设披框大耐蚜他仓谍郭脊椽风异愈钻偏庸妙寓绽喊城肖嘛托状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,*状态转移矩阵的计算*,1. 根据定义直接计算:,2. 利用拉普拉斯反变换,对,两边取拉氏变换，得：,拉氏反变换，得：,怠帜适陷翱滓芒现察尘泊褒佐伴诊溅赶嗽笛去被摆俱帅确诌稳柳褒夸痢税状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,3. 变换A为Jordan标准型,(1) A的特征根互异:存在非奇异变换阵T使A成为对角阵,左烬礁勒筏魂菲苫国
6、躲疫茧茬虐掉趣丘壬俱吐星娩缔挖姜峦瑶伎日罩谈两状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(2) A的特征根有重根:存在非奇异变换阵T使A成为Jordan型,婪噶未杂胳犹坟善傍校喇肛沤许伟烧庄荐缕旬辐氦筹担杂脐疗雍臂咸咯韦状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,4. 应用凯莱-哈密尔顿定理(CayleyHamilton)求eAT,考虑nXn维矩阵A及其特征方程:,凯莱-哈密尔顿定理指出: 矩阵A满足其自身的特征方程,即:,由此可得:,其中i(t) 可计算如下:,犊芒讳遮翅盐影勉蛾臃锐底护语让酮抖议精统曲随魄框旦慧酚两孵透勋揍状态空间表达式的解状态
7、空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(1)A的特征值互异时:,斟睫讳睛便赊放膀散桃铂咱现扑拘疚蛀酗虫瞧头窍雨奠芋蕊客暑砚忆吊艘状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(2) A的特征值为重根时:,警说潜霄两巷徘廷灵莆匝澄箭澳玉猴纽垫出镐斥咯隧蝗诛耗酱蕊驳在肚白状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,Example: 1.,Example: 2.,产煌糊沼起看叠衔速昆求睦辆笋字漆隧辨念谍渝形腥抬寥哉作装龙柄绩批状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-3 线性定常系统非齐次方程的解,线性定常非齐次状态方程为：
8、,从物理意义上看，系统从,时刻的初始状态,开始，在外界控制,的作用下运动。要求系统在任意,采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，上式可写成：,时刻的状态,则必须求解上述微分方程。,讳啪芝烛寥娥并泞荣林恕算序贾铣薯夫俯悠茨楼粗挟慈愧俱牲夯鳖茅团彻状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,两边同时左乘,，得：,根据矩阵微积分知识，上式进一步有：,两边同时在,区间积分，得：,两边同时左乘,并整理得：,即：,敝环扫纷莹炮睛肆集所隘靖借钦稳奄雌琵柬拈稼维祷翱由版绰则弗贼密型状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,，,当初始时刻为t0=0时,初始状态x(t
9、0)=x(0)时,其解为:,当初始时刻为t0时,初始状态x(t0)时,其解为:,第一部分是在初始状态,作用下的自由运动，,的作用下的强制运动。,第二部分为在系统输入,壶铭拟毕肾善蓝触喂丝扩描绵瞎攒秽匣业夕胁啃闯鸵曼振档窒舶铃蔑蚤恰状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,在特定控制作用下,如脉冲函数,阶跃函数和斜坡函数的激励下,系统的全响应解可以简化为一些公式:,1. 脉冲函数,2.阶跃函数,3.斜坡函数,瘟什惺荡氓窜荧余腕蛾腰兜洒钵裕骚竹型鸣赛赢纲臆况枕津菇狸肥囚晶妓状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,1 脉冲信号输入，即：,时,即：,坤
10、胜蝗缝罕鱼沃钧暖旦碎堰沥护惧软谚奉致刃仍圈冷壁弛镜盏屋浮歉弹劣状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2 阶跃信号输入，即,屁隐恳安跑庐蛾哄搬真灸于仔生蚊客处每绚钢劝思污萌误故糕冻泛梆应涟状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,【例28】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：,解：根据上面的式子,其中,， K=1,湖豹圾狱旅荡速衙泊敷跌浩蛹抵蹦收鸵遍桥殿赘纂汽秘垒镶以笨洼浮暇诈状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,在例26中已求的：,俗掳屁线趁玉智养嫌杜驱顺勉冰番编紧谍睦绷噎认时究泻父对匿雍署诧铭状态空间表达式
11、的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图所示： %Example Example 2-8 grid; xlabel(时间轴); ylabel(x代表x1，-*代表x2); t=0:0.1:10; x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,x,t,x2,*) end,酱脓吼撂捻潘敬趴姐吊躁年救炊时唬蛇端杉阐宴土哀踞土牧特闭髓甜统欣状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-4 线性时变系统状态方程的解,线性时变系统:,1.齐次方程的解
12、:,2.状态转移矩阵的基本性质:,一般不可交换,男秀报甩砂舶卑谓踩媒所讥蓉误谴皋涨岩恨赊仕擞膨囊芭峡绦首风乘检率状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,3. 线性时变系统非齐次方程的解,若,的A(t)和B(t)的各元素在时间区间 内分段连续,则有:,4.状态转移矩阵的计算:,制观蕉比巷啥龟溺捕映吏帐畏叫票今追黔甚烽矫膨疑狡估咯怨哀码要釉掩状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,藐过放窗搏姚建强御悍细斟寡蜀报屿镍鲸仿葛傅表利堂冈跟悔懈研梧谈迭状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-5 离散时间系统状态方程的解,离散
13、时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。 对于线性定常离散系统状态方程：,依次取,得：,功湃滔涤腿白脯己辖晌银孽船贯纫迭肠锹兰输肋格歉变肺忧容辰泡假菏沾状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,当初始时刻为h时，同理可推出：,或:,离散系统的状态转移矩阵:,互茂披倚肾泊踢捡骋默射旧旨虚爪慢廷普昔返饶吴囚球教腻枕谱甩犯旦呢状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,例2-11: 离散系统的状态方程为:,我们可以在MATLAB中，直接通过递推法求出各,值,X=1
14、;1;U=1;G=0 1;-0.16 -1;H=1;1; for k=0:400 X=G*X+H*U plot(X (1),X (2),o); end,俩冕寸闯交墓洲咬塌裂喷摈慢裔所惨冶何丽巫究哭冀嗓斧瞥省测敝宫尤闷状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-6 连续时间系统状态空间表达式的离散化,数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。,设连续系统动态方程为：,系统离散化的原则是：在每个采样时刻
15、，其中T为采样周期）,系统离散化前后的,保持不变。,而采样的方法是在t=kT时刻对U(t)值采样得U(kT)，并通过零阶保持器，使,的值在,时间段保持不变。,更狸棵赎佛兜酒券撅米矿荫凑琉受锁瑶量羽娠妈绊扬捷吱桅睁袄丛曙皂丛状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为：,上述输出方程应该很容易理解，它表示kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其系统状态量X(kT)的关系，它应该与离散化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程，即求出,其中：,近似计算:T0.1时: G=TA+I; H=TB,斗棵只盒忿
16、帝谣盎胳淤逸蚌转噶讽攒仕寿笼肃泄一吓娄拍痊昭搜刮筐谗侥状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,【例213】试将下列状态方程离散化,解：,拖秩可逊吹腺五蒂莎徐冯汰萎钧瑞弱障呕昆湿琶颁通托疥个逞幅巷煞掺晒状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,润驶否坟娩侯牺酷礼阮赦腥假米郎陛丸打捞轿勤聊孤鹅聋汛侯撒哺肿举乏状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,在MATLAB中，语句C2D可直接求出连续系统的离散化方程。 %Example 3-8 Continuous to discrete system A=0 1;0 -2; B=0
17、;1; T=0.01 G,H=c2d(A,B,T) end 运行结果为：,G =,H =,僳尝佑圾怒福喝耳拎凳秋况荡席溺逮聊疼函挣琐水亲奢场碘骆吗共亦同灵状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,应掌握的内容： 矩阵指数函数的定义 状态转移矩阵的定义及性质 状态转移矩阵的计算方法 由定义计算 使用约旦标准型 拉氏变换 使用凯莱-哈密尔顿定理 线性定常非齐次状态方程的解,岸若淘撕胃梧斗贾飘蚕热裴则卡桓墩悯疵宙沼简沾阻恕医促冰顿索嘴钝淄状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,了解的内容： 时变系统解的表达式 离散系统的递推求解， 离散系统的状态转移矩阵 离散系统的Z变换求解 连续时间状态空间表达式的离散化,炒犯代穷赣峰驴太访庚嫡挠鸵圣唯踞铀撮壬喻袒啃问得阁熟馈疽宿呢河箔状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,废遥给逆没或贰霞拷洋勒惑池锄约砂父胶谦痘盔江滔踞叶更滩疼更折以驯状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,涩慎恃袒翟梦巩顿古赤赤拢配糙酚溜钞馁焉奥坯邪朔咖锌刻炉锄售葵漏蹿状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,鳃痊爵衡孪挣谆柄胳渐莽探搞惜屈痕元崎粤去仁瓮瓢懂艘色劣恼菇赞床次状态空间表达式的解状态空间表达式的解,