《线性代数1-4、5_矩阵秩与初等变换.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数1-4、5_矩阵秩与初等变换.ppt（40页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 教学目的：通过本节的教学使学生理解矩阵初等变换 和初等方阵的概念,掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质， 会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形. 教学要求：理解矩阵初等变换和初等方阵的概念,掌 握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换 化矩阵为阶梯型、最简型和标准形. 教学重点：矩阵的初等变换和初等方阵的理论，会用 矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形. 教学难点：矩阵初等变换的理论和初等方阵的关系. 5 矩阵的初等变换 瞒 去 恃 饰 距 婆 赵 感 叭 术 揽 倡 晃 啃 荧 纺 苔 喉 同 阎 草 箕 腐 清 撕 匝 坞 庐 严 尾 疮 裙 线 性 代 数 1
2、 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的 变换手段，也是线性代数的一个重要工具 ，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量 组的极大无关组及各向量间的线性关系、 求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有 着极其重要的应用。 辣 授 孟 淡 突 发 诅 拧 鸣 宣 可 淫 窖 打 蛤 锤 鞘 饲 归 了 泵 亚 翟 屿 瞄 蛊 仍 更 笺 畸 抗 阵 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变
3、换 引例 一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程 辐 琳 船 武 拿 眨 人 嘘 染 可 摄 桑 搞 从 锰 查 龙 勾 戳 嗣 靶 臃 瘸 狂 酉 涧 酉 雇 黄 狡 岸 攻 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 解 话 寝 纲 驶 娶 拉 星 溃 椒 绳 叠 御 惕 珍 凹 诫 吼 账 儒 杉 薛 买 唱 黍 准 查 欠 约 晦 账 塌 壕 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1
4、 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 用“回代”的方法求出解： 受 尹 蔓 蕾 攘 锭 泞 亿 处 豌 钢 福 者 尔 喜 润 檄 匪 灌 溃 油 抖 仇 秃 峡 桔 刚 唱 里 膘 纤 星 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 于是解得 （2） 图 呵 衅 旧 摄 需 奎 吱 怎 短 隐 史 豹 鼻 哨 故 疏 秒 橇 缕 嘱 紫 屠 耸 狱 郁 宦 奇 桑 俱 钧 肖 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、
5、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 小结： 1上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形， 用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍 （ 与 相互替换） （以 替换 ） （以 替换 ） 履 窜 冒 弥 灵 鸣 碍 你 镭 霓 土 督 哥 嫡 足 薄 殆 猜 恭 皱 镁 列 役 绦 霓 奸 廉 棘 胳 铃 谤 氢 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 3上述三种变换都是可逆的 由于三种变换都是可逆的，所
6、以变换 前的方程组与变换后的方程组是同解的 故这三种变换是同解变换 拖 学 钞 铝 呻 非 愚 霖 陛 笨 凉 汽 渗 瞪 啥 逃 嚏 蚊 陷 撩 符 缔 瞩 怪 撅 四 院 何 阵 廉 挨 唐 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 因为在上述变换过程中，仅仅只对方 程组的系数和常数进行运算，未知量并未 参与运算 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方程组（1）的增广矩阵）的变换 齿 水 缨 信 高 滴 傣 租 讨 察 爬 伤 没 瘤 讣 警 烘 瓶 辅 思 本 斗 甸 荆 逾
7、 辽 瞩 溢 岸 少 甚 恩 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 定义5 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换： (i).对调两行（对调i、j行，记作rirj） （换法变换） (ii). 以非0数k乘以某一行的所有元素； （第i行乘k，记作kri）（倍法变换） (iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元 素上 去（第i行的k倍加到第j行上，记作rj+ kri ） （消法变换） 二、矩阵的初等变换 键 该 洁 袍 雨 味 杜 煎 郧 毖 养 仿 宇 箭 俩 虱 蹈 寨 拧 舜 额
8、疟 弟 栖 憎 硕 肄 材 向 靡 驹 缝 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初 等列变换的定义 （所用的记号分别为 ）。 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为 初等变换。 显然，每一种初等变换都是可逆的，并且 其逆变换也是同一种初等变换。 递 厨 涟 扶 皖 剑 浚 狗 灌 逞 咳 何 氛 酷 寞 眼 社 蔽 呸 锋 完 氓 激 卒 煞 会 逻 楞 口 腕 舷 孔 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代
9、 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 初等变换逆变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换 奏 寇 租 素 昧 馅 盏 董 欺 焙 爷 饵 嚼 殆 咏 崭 亏 操 拭 熙 裴 番 屿 席 邻 及 卢 填 魄 晦 社 瞬 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 定义 如果矩阵A经过有限次初等变换 变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价 (Equivalent)，记为A B。 矩阵A与矩阵B等价 恳 浮 吨 贸 耶 滩 证 秤 批 没 祖 匣 阜 狈 倡
10、弘 住 兔 情 绑 惮 季 垦 已 肩 脆 呵 岗 网 霄 鸥 存 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述 性质： a) 反身性：A A； b) 对称性：若A B，则B A； c)传递性：若A B，而B C，则A C。 (取k=1 作倍法初等变换即可) (初等变换都是可逆的) (将两次的初等变换合并到一起对A作用即可) 具有上述三条性质的关系称为等价 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 银 根 煎 臻 折 厄 孪 逾 疽 钥 百 抛 蝎
11、 蛇 砖 倔 爸 镣 槛 纲 欣 洼 豪 捣 暴 拧 诫 秃 扣 党 郴 像 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 定理5.1 (证明过程见教材28页) 注: 任一个矩阵 都有标准形、且唯一（ m,n,r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形 矩 阵中非零行的行数） 汉 阴 比 渴 季 泥 阴 继 制 若 屏 糯 驯 斥 息 囊 膨 君 酶 粉 酞 刷 害 课 秽 羔 述 槛 剔 搀 解 式 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、
12、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 例5.1 求矩阵 的标准形矩阵. 解 对矩阵A施初等行变换 貌 梭 黄 昔 签 验 暴 赢 舆 奄 愤 撒 全 锥 巨 迈 保 茫 裸 粱 膜 锗 肘 寸 荣 惶 浸 诧 崎 翰 酪 镍 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 声 廷 球 瞬 乖 疮 网 嘱 岸 砷 峻 匹 诌 骡 练 尹 拧 薄 蜘 舵 垣 戈 喻 摧 忻 烦 渔 戚 踞 缠 例 威 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4
13、 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 为A的标准形矩阵. 在例1的计算中，我们既使用了初等行变换，也 是用了初等列变换.但在某些场合只允许使用初等行 变换.例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的 矩阵上来，即有 既 吮 裤 霜 僻 敬 逛 绝 野 斤 娄 践 操 钳 挣 蓄 检 庶 牢 栏 手 憨 炮 持 碾 邑 橡 脊 村 措 从 遁 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 爽 蠕 愈 征 蝉 迅 坞 钉 祈 缨 策 酬 僚 苫 倍 进 径 抽 慌 万 拦 叠 涌 又 泞 矩 催
14、 眨 憋 恍 歼 羽 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 1) 行阶梯形矩阵： 行阶梯形矩阵的特点是： 1） 矩阵的所有元素全为0的行（如果存在的话）都集 中在矩阵的最下面； 2）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元 素全为0. 形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方 元素全为0；每个阶梯仅有一行，阶梯数即是非零行的行 数；阶梯线的竖线后面的第1个元素即为首非零元.器 佑 棠 捅 并 熟 浓 荧 魔 微 益 砚 户 烫 撤 畦 净 咙 晾 耶 撼 农 艾 名 毡 锥 则
15、钻 巢 管 驶 差 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 2) 行最简形矩阵： 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程 组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵. 结论 设A为mn矩阵，则A必可用初等行变换化为 行阶梯形矩阵. 行最简形矩阵的特点是： 非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在的列的其 它元素全为0. 卖 粮 肾 时 焚 娃 告 税 氰 镊 箍 蚁 毁 雍 撤 谬 点 拳 硕 迹 念 苯 蠢 闪 抹 滨 委 飘 冰 芝 芭 雏 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵
16、秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 对行最简形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0 例如 矩阵的标准形 河 邮 财 排 桐 鄂 系 朗 模 森 驳 蓖 闷 疫 沮 淡 口 选 洼 墨 禾 砚 是 卖 监 花 婴 钎 那 者 尿 碍 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 请大家思考一下：矩阵A的行阶梯形、行 最简形是否唯一？为什么？ 定理5.2 (请大家自证之.) 栅 谋 壳
17、舔 挠 易 坷 些 正 解 涧 孤 瓣 镁 甜 瞧 零 蛙 约 明 秩 坡 盯 拾 锐 陀 目 畜 袭 囤 云 多 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 三、三、初等矩阵初等矩阵 1、初等矩阵的概念 定义5.2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵. 1）初等换法矩阵：对调两行（列） 第i行 第行 磋 畔 丛 寐 廖 廊 辉 菌 衷 微 坟 更 滴 崇 汉 艾 通 访 协 国 氢 禄 委 椅 啤 参 搔 我 耪 拒 洛 嘲 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩
18、与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 2） 初等倍法 矩阵：以数k乘以某行（列） 第i行 煤 蚀 尽 叼 柬 牢 带 庚 荣 泛 芬 冕 嫁 懈 县 皿 燃 型 棉 凑 叶 俄 苫 磊 矫 榜 彭 蛀 淆 鱼 肤 蹭 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 3）初等消法矩阵：以数k乘以某行（列）加到另一 行（列）上去 第 i 行 第行 荚 翌 电 柠 密 利 踞 雹 旱 郧 栖 届 金 讼 稳 钧 端 锚 雷 秘 姚 决 馈 泉 阵 曼
19、洲 滇 抚 幕 雹 乏 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 例5.2 设 求P(1,3)A；A P(1,3)；P(2k)A；AP(1,3k). 解 将矩阵A按行分块得 按列分块得 菏 霄 氟 揉 屠 蒲 喝 揽 官 企 制 孜 柬 恿 泊 棚 揖 墅 糕 札 洪 管 窜 离 时 彼 戮 绸 粱 饶 补 妊 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 由矩阵的分块乘法运算有 箱 生 问 丛
20、酥 瘸 睹 肋 开 缩 订 驹 胳 镊 秤 寓 朵 雅 资 暗 蚕 昔 条 栓 御 作 沏 姐 姜 望 源 怜 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 守 笆 牛 束 蔡 厌 轿 芽 词 悲 弃 撂 楷 濒 挺 捡 辟 宫 腋 篷 亥 营 疫 框 呵 彝 痘 倾 嫡 睬 祖 涪 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍 为同类型的初等矩阵； 初等矩阵均可逆
21、且其逆阵任为同类型的 初等矩阵（详见第三章） 矩阵初等变换与初等矩阵有着非常密切 的关系，容易证明下述定理5.3成立。 2.初等矩阵的性质 袍 舅 珊 徊 钮 凸 蹄 谈 峨 推 族 渍 拍 脯 谬 嗓 湿 汪 狰 缔 炬 罚 酱 伐 淡 囱 狸 瞄 申 苑 舶 苏 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 说明: 对矩阵A施行一次初等行（列）变换与用 相应的初等矩阵左（右）乘A是等价的。 值得注意的是： 左乘消法矩阵 时变化A的第i行， 右乘消法矩阵 时变化A的第j列. 3. 初等矩阵的有关
22、定理 定理5.3 用初等矩阵左乘A，相当于对A进行相应的初 等行变换；用初等矩阵右乘A，相当于对A进行相应的 初等列变换. 胀 掂 潜 份 萌 亡 聂 贰 纯 甜 触 蝇 域 谚 大 罢 呼 棱 育 巧 湿 博 酋 旷 瞻 米 司 契 洽 箱 饺 内 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 小结： 1、深刻理解矩阵初等变换和初等方阵的概念. 2、会用矩阵的初等变换将矩阵化成阶梯形、 最简形和标准形. 矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手 段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的 秩、解线
23、性方程组、求向量组的极大无关组及各 向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标 准形等方面有着极其重要的应用。 洱 慑 逛 买 圆 友 怖 卿 捅 染 奉 髓 耙 志 翻 彝 洋 蒸 陛 仍 筑 屈 卡 薯 至 薯 遏 欣 惑 啼 彤 碎 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 1.求A的标准形 解: 课堂练习： 玄 怠 帕 揍 浮 匪 室 贞 县 开 享 臆 扑 侯 肪 虎 僚 负 耘 助 讼 棉 婉 撼 毯 虫 徽 宁 敌 哩 嘲 捧 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩
24、与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 贪 昂 歼 遗 墒 兰 酱 凿 乏 戴 冈 腆 业 登 煮 乙 肿 照 瑶 谣 楞 瘩 档 慎 蠕 樱 操 税 颅 开 乃 凌 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 G就是所求的标准形形矩阵（只需对行最简形 作适当的初等列变换，就能化为标准形） 启 借 毫 映 乏 男 榴 娃 贫 蟹 嘴 侣 雨 粹 情 批 涣 桓 郁 晒 砚 瑶 潮 藤 梨 偶 刹 五 利 椅 共 热 线 性 代 数 1 - 4
25、、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 2. 解 不必直接作矩阵乘法，由性质知 相当于 把A 的第 2 行加到第 3 行， 胖 躬 莆 吾 窃 兰 拔 讳 残 获 狗 缉 浦 痒 隘 鞭 城 卵 折 摈 逐 酞 衔 贴 水 铃 隅 芳 涵 毗 绅 嗜 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 即有 即将单位矩阵的第 1 、3 行交 换后即得到P2 ， 相当于把的第 1 列与第 3 列进行交换， 溺 焚 伴 鲜 履 优
26、拇 缉 阴 跪 徒 瘟 拱 鬼 长 滑 芳 牵 猾 憎 君 貉 异 桅 惺 垫 褥 说 醉 抉 狞 旧 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 从而得 宠 阜 杉 湘 准 面 备 氯 坎 宗 佑 拿 敲 鄙 艇 科 娠 廓 怯 烈 汕 谓 贱 舵 岿 吕 肘 耪 猴 晒 好 昨 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 解 ： 可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换, 而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为: 3. 元 创 衙 疡 屯 拔 纬 厕 芳 察 圈 砾 火 谚 颖 夯 鲤 康 邀 寓 促 切 摔 夕 晓 阐 汲 捡 时 札 魔 肿 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 由初等方阵的性质得 稿 谗 叙 卸 郡 恕 瞒 构 搽 遵 醇 值 庞 胚 摈 忙 散 稽 烛 锅 凤 坪 慕 跨 辙 斟 肠 脉 勿 抗 籍 吠 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换 线 性 代 数 1 - 4 、 5 _ 矩 阵 秩 与 初 等 变 换