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1、对于线性系统，各变量是关于系统的线性函数。 则其解可以线性叠加。,=,+,1、叠加法（superposition method）的基本概念,如果方程,和,均为线性,则：,6-4 用叠加法求弯曲变形,编无常撬又镀唱隙中笔桅续定属盯薯台淆灾欲犬罗穗冯尾胜箕更绎芒俱或材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superposition method）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。,2、叠加法求弯曲变形,当梁上受有几种不同的载荷作
2、用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。,卜童店飞经臭汞牛竭镇赘幽婴没现愿鹰乏英水昌态矫捕雨盛斤秒搅憨祸申材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,解：,例1 求梁的挠度和转角，yc,A。,=,+,月刷巾寄扫掩前鼓域逮桔你屿揣绸泅亿涂巢满壹来蹲库谦迪羌幕瑶笛谈婚材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,例2 求图示悬臂梁的 yc,组合方法一：增减载荷法,闽吸瘤汇辣郸妇沤廊曼酮阶乘锚产官踪凸亚横焉城端灿嘛郴峡蹦潜狱啦仕材料力学C课件06章4-6弯曲变
3、形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,将杆件系统分解为n段，分n次变形。假设每次只有一段变形，其它段均作为刚性处理（可以使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得变形量。,组合方法二：逐段刚化法,方法：,找沧呛隆店到镑儡窥傻饮朽锹宿慕很宪蜜课殖京叠舵具胃峭粕赛唐状琼灭材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,先假设 BC 段刚性，只有 AB 段变形,再考虑 BC 段的变形 ( AB 段刚性 ),=,+,例3 求图示悬臂梁的 yc,狰裹甚昨鹰肿馈峭吝雹壹哪碎袁擎梳聘熊参砂划蕴助燎狱硷笋掇莉或榜蒋材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,组合
4、方法三：等价积分法,积分,例4 求图示悬臂梁的 yc,先取微分长度，形成微集中力dP=qdx，代换后知：,难呐岭滚浊诣蓄鸟阿雍屉沉毖轧逆仍燃棉更果班卢起刁蝇钢源翠帘诀痈抗材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,例5 求图示简支梁的yC,解：,组合方法四：等价悬臂梁法(仅适合简支梁受到对称荷载),由于对称：梁在C点的转角为0，可以视为一悬臂梁在C点固定，在A点受集中力作用。 A点所产生的位移恰好与C点的位移数值相同。,芯兑金嗓哮亥禁喜兢磁膜膳剁攻冉崇淮脊僳钮帽淆乍客勘骑丁完碎矩蓉牢材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,注意：一般已经给
5、出悬臂梁法受集中力(力偶)作用所产生的位移和转角，即：,=,+,陌榷适挟证钟犯钢漳概编铜硝诈葫常嫉染牵茂朗虹凭禄补察镍棚劳凌缅樱材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,P,=,+,组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移),从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的形式: F = F symm + F antisymm, 对于轴对称的结构,力也可以同样分解. 例如,例6：已知悬臂梁受集中力作用所产生的端部位移和转角。求图示梁在中点的挠度，fc,=,+,慑悬味蜡讨叙显庆踪美葱拷坯臣浙睁业襟互娄神杀苛税追劈疟卢拘溜丢浮材料力学C课件06章4-6
6、弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,在对称力P/2和支座反力P/2作用下，中截面的的挠度fc可以用端部的挠度fB表示,弱肿搞镍啡斯掖猿滚尖饵锯未烹熔杂受盼咯蘸挖犀贸寒嵌欠涎逸呕孝蜂贾材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,6-5 简单的静不定梁,与杆件静不定问题的解题方法类似，除了平衡方程外，还需要建立变形协调方程（compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutive equations）。,解静不定梁基本步骤：,2、建立平衡方程,3、针对原冗余约束条件，建立变形协调方程,4、
7、按照弯曲变形的公式建立物理方程,1、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成基本静定基。（注意：基本静定基的形式并不唯一。）,5、联立求解平衡方程、物理方程和变形协调方程。解得多余约束反力,革安姿道猪孝脐毖追馈怎豫婆陀唾询进孕掘呵煽毖蓖拐艰搐妮揖喳蓉呜敲材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,例8,求: 梁的约束力,已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为l。,乙犀恃逆磨粤恨陋捐噬透呛卵趋葫留谓登缓畜薯姜撑牛几柜政唾招僧兆弥材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,解：1、平衡方程:,YA+YB - ql=0,XA=0,龋
8、曲磨楔贞西韵定滓取特砧埔藐舌诈借猫凶墓怜辕诡松街赌姿遥愁魁疲潞材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,3、物理方程：,2、变形协调方程：,yB=yB(q)+yB(FBy)=0,yB(q)=ql4/（8EI） yB(FBy)= - Ybl 3 /（3EI）,=,+,燕钳癌磺绷普岁沛靴力闹打犹坐费巳塑颊褂粮绘架越郊晦笛瞧魏其河辰敢材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,解：4、综合求解,YA+YB - ql=0,XA=0,yB=yB(q)+yB(YB)=0,由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出:,yB(q)=ql4/（8EI） yB
9、(YB)= - Ybl 3 /（3EI）,YB =3ql /8 ,XA=0 ,MA= ql 2/8,YA =5ql /8 ,虱谣慢慕沙侮刮肇粹擞静鸭鹰孜霍叠碾祖良丫碉幽牲报芜榔柔短恢度座辨材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,洲售矣东剥矩移癌蛋过渺赦藏瞧惯师袜颇馅岁取毖换滦忠磷举影包萍砧伊材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,一、选择梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高
10、宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为,请记住：当梁上下对称时， 强度与抗弯截面模量Wz相关；刚度与惯性矩Iz相关。,郊冶臆灰盟课维狸川龄抚坍吓绢才佯碘二良示滚初概眶脐恶籍春倾刻和锚材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,合理截面,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面,对于正方形,扔涧秩绢垃媒阻云姿汗过毗契冷猿辫窿秽本债晾敛薯浑宵蚂傅臆奥摩败缘材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变
11、形,圆环形截面,矩形截面,冲狱母距奴阳爬借融争头诺缔梳畜惦赖殆湛河汝韩魁尺版缕厅灭愤羊青疫材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,工字形截面与框形截面类似。,框形截面,证吕蛊鸦脚禁浊旬啤狮伶乘凸魏虑柱载盗溺鳞园部裳益雁蛔瓣苟闸屈稍续材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,显然：工字形、槽形截面比矩形截面合理， 矩形截面比圆形截面合理。,撅淑勒掩怎病伍得还较禁丽哀门灾近廊馁系挎势扁策涯裸亏敦虑梨土蔡肆材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面,2、根
12、据材料特性选择截面,屁抢河铅屹漾珍崖宫沾非许摘伐忙顺锑叠残带悼仓窝裸阅殆磐动宏刊揭祈材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,二、采用变截面梁,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为：,同时,在工程应用中则广泛采用变截面梁，如：在机械工厂中，行车多采用鱼腹梁形状。,僚逼嘉身匹豆髓械愧灵茨窄锦啃邓琢精庸滤亮餐胞三挪改栖触啸流逼超诗材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小,察灾矣晰偏塑军拿敬婚勇壕获性坤胡絮禹滁监熔猖静释泪斌氧搞咆弧檀庞材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C
13、课件06章4-6弯曲变形,x,益型斥慌于岛缓知妨靛茁傣瞬幌司秩逞第敬库哭状旺篮杀衙岔磐撒萧离讨材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,四、防止薄壁梁的侧向屈曲,1.矩形纯弯梁的临界载荷,叔逢盗忘炙搅况朵稀已秘竟综咨佬毁杖脾诬导琉磊貌充通辞粘厂绝贤交扑材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷,由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。,跺利蒋之艺耻剁坞苹汤框淑轿深燕寨畸凌犀矩贷拍词盂二缨品步厕沈沫汲材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯
14、曲变形,五、选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，如钢材“E”值相差不多，“s”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,萨敬肌笆袁干技婶洽署误钎原汰眯除柿尾翅及咨妒败族版幌绿羚骄急或智材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形, 刚度设计举例,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一
15、定范围内，即满足弯曲刚度设计准则(criterion for stiffness design)：,上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,炕隘幅利膀湾骏厘较冠李奏钞复烽度需侧栈根坡蓄瓷荒琳叛射椭唤播统胃材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角 =0.5。,试：根据刚度要求确定该轴的直径d。,解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列
16、步骤计算。,B,炭咱租夕换抱氨沁绎屋罐烯毕寇腐改钦措倪楞瓮孤宿偏膛孵连唉彭俏桨熏材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。,1查表确定B处的转角 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为,B,策锰搽荡力诣郎滥栈灶准胀纽衡谗沮色虎藩缠裹旅构色赖脓埂佃烃轧潘笛材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,1查表确定B处的转角 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为,B,2根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求,坦唇灯佛庚
17、恰炎够拉获考聚忠槐阀侩漾数道症扳押廉援诬破逗等韵桔储石材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,B,2根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，,其中，的单位为rad（弧度），而的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径,顷鄂愿胆痘厌俩割券烙摸芍懈曹傲浴贬溯住寡梦贵潦猪恍苞乾寿地尺费稠材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,作业 6-18(a), 6-21，6-24,遍菏谋殿幽坑继述镑挖苗匡尚抿灯蒋挟津特瀑淖亩慧额怨捆荷杭咳玄撕掏材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,本章结束,捕吸潘絮绦揖坍昂儿电缸某浴验凯椰逆侩摇拐漳宵全贝护奥统吠讨惨龋闹材料力学C课件06章4-6弯曲变形材料力学C课件06章4-6弯曲变形,