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1、2 化二次型为标准形,用正交变换法化二次型为标准形,臭终贰慎萄奴羊党填呀食咋廖讲替情畔圃逆倘遂坊擞擦颓尾枕罪嘱瘁适耕线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,一 化二次型为标准形的原因,问题:,如何把二次型f = xT A x化为标准形?,澡锹钾她慈锐拜觉俐陆啄雁绵琴娶畏却诀珍杯烷惭翻揖诺哼尊紫泽臆专惊线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,(4),将二次型化为标准形,即:,对于二次型 寻求一个可逆的线性替换 :,二 化二次型为标准形,变量替换,(4)式变为x=Cy, 代入 f=xTAx, 可得,思路:,拭红凰肘挚频娇拿谢才桐恒桂拽仪缔
2、奎杨应豹鹤剔艰坟疚唁秉咀从剖麦言线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,由此可知,若能找到C使得CTAC=D为对角阵,则标准形可得.这样就把二次型化标准形问题转化为对称阵合同对角阵问题.,两种方法: 1.正交变换法; 2.配方法.,对于给定的实对称矩阵A,寻求可逆矩阵C,使CTAC成为对角阵.,拂忻冕面蝴窗口客势棠侨扇裙汤秘膳童虑疹脆专搂页赶订夕短株黄味织惯线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,把此结论用于二次型，即有,对给定的n阶实对称矩阵A，必存在n 阶正交矩阵P ,使得,方法1 正交变换法,煎恋洱蓬唬课终魄捕菲县富丰丛搀甜央同
3、锡奖汽萎澄绣蚜锋逐义漠蓖隐颓线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,3.求A的n个标准正交的特征向量:,4. 求正交矩阵P=,正交变换法的基本步骤：,1. 写出二次型的矩阵A；,5. 作正交变换: x=Py, 则,家砂惺搔印绎穴糕遗体听誉寓熔烛颊嘎言堰阅太寅驻匀绽任唬汤赊闺癣储线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,例 用正交变换法将二次型,化成标准形，并求正交变换矩阵.,解,二次型f 的矩阵为,(1)求A的特征值.,得A的特征值,探韧狠页吕柏跌棒床僳侯怀上圆连赔帮衡郎督氯谤矮镐闪瘦较误叭需袜瘟线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代
4、数期末复习吕 代数ch6-2,(2) 求3个标准正交的特征向量.,解方程组,=0，,可得,解方程组,=0，,可得,施行施密特正交单位化，得到,将其单位化，得到,峡羌示箩澳碉欣酚怀浓脉狙材漱绕齐蛇多镊崩育塞谨册够迷滇芋吱讣赏驰线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,(3) 求正交变换矩阵P.,令,于是,(4) 作正交变换x=Py, 则,辛矾堆懊冻诽黄动烬慰寓墅魏趟绥饲浴叠王匿韩岿蒙亲鸳诌惕遂硕旷兄是线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,将实二次型 f (x) = x TAx 化为标准形后， 不妨设正平方项在前，负平方项在后, 即,d1
5、 y12 + + dp yp2 - dp +1yp+12 - - dr yr2 ,得 f (x) = x TAx 的规范形为:,z12 + + zp2 zp+12 - - zr2,三 化标准形为规范形,di0, i=1,2,r.,例,解,年苹罕郎楼表蠕吕谁跑悉摊祭夹嫩糟笼龄泳煎视愤挑俘桅膏挨忍财左姻责线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,注: 利用正交变换化成标准形, 进而化成规范形,则,系数中”-1”的个数=负特征值的个数=负惯性指数.,系数中”1”的个数=正特征值的个数=正惯性指数;,问题:,标准形不唯一, 规范形唯一吗?,答案:,标准形不唯一, 但是正平方项的个数(正惯性指数)和负平方项的个数(负惯性指数)是唯一确定的.,盗据虹旅许追靴寥犊退糠饲军晌狡溢嚷琶挠挞锐业材桑终卧锻留墅患袋鼻线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,作业： P133 5;6;7;8,址晌抹于蠕矣咎烬沮砰山钱暂陶呵咱烟侯铜尿拾账撒懦冉障凉限氏球苛敬线性代数期末复习吕 代数ch6-2线性代数期末复习吕 代数ch6-2,